حل أسئلة تحقق من فهمك

أوجد قيمة كل محدد فيما يأتي:

1A)

$\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}-6& -7\\ 10& 8\end{array}\end{array}\right|=-48+70=22$

1B)

$\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}7& 5\\ 9& -4\end{array}\end{array}\right|=-28-45=-73$

جد قيمة كل محدد فيما يأتي:

2A)

$\left|\begin{array}{c}\begin{array}{rrr}-5& 9& 4\\ -2& -1& 5\\ -4& 6& 2\end{array}\end{array}\right|$

$\begin{array}{rl}(-5)(-1)\left(2\right)& =10\\ \left(9\right)\left(5\right)(-4)& =-180\\ \left(4\right)(-2)\left(6\right)& =-48\\ & \\ 10+(-180)+(-48)& =-218\end{array}$

$\begin{array}{rl}(-4)(-1)\left(4\right)& =16\\ \left(6\right)\left(5\right)(-5)& =-150\\ \left(2\right)(-2)\left(9\right)& =-36\end{array}$

قيمة المحدد =

$-218-(-170)=-48$

2B)

$\left|\begin{array}{c}\begin{array}{rrr}-8& -4& 4\\ 0& -5& -8\\ 3& 4& 1\end{array}\end{array}\right|$

$\begin{array}{r}(-8)(-5)\left(1\right)=40\\ (-4)(-8)\left(3\right)=96\\ \left(4\right)\left(0\right)\left(4\right)=0\\ 40+96+0=136\end{array}$

$\left(3\right)(-5)\left(4\right)=-60$

$\left(4\right)(-8)(-8)=256$

$\begin{array}{rl}& \left(1\right)\left(0\right)(-4)=0\\ & -60+256+0=196\end{array}$

قيمة المحدد =

$136-196=-60$

3) خرائط: يقف خالد وسعد ورضوان عند ثلاث نقاط مختلفة على خريطة المدينة التي يسكنونها فإذا كانت إحداثيات هذه النقاط هي: (9، 11)، (4، 6)، (15، 3)، بحيث تمثل كل وحدة على الخريطة 0.5 KM. فما مساحة المنطقة المثلثة التي يقفون عند رؤوسها؟

$|\begin{array}{ccccc}11& 9& 1 & 11& 9\\ 6& 4& 1 | & 6& 4\\ 3& 15& 1 & 3& 15\end{array}$

$44+27+90=161$

$|\begin{array}{ccccc}11& 9& 1 & 11& 9\\ 6& 4& 1 | & 6& 4\\ 3& 15& 1 & 3& 15\end{array}$

$12+165+54=231$

قيمة المحدد = $161-231=-70$

المساحة:

$\begin{array}{rl}& A=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}11& 9& 1\\ 6& 4& 1\\ 3& 15& 1\end{array}\end{array}\right|\\ & A=\frac{1}{2}\times -70=-35\end{array}$

كل وحدة على الخريطة:

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\leftarrow \frac{1}{2}km$

$A=\frac{-35}{4}=8.75{\mathrm{km}}^2$

حقق كل نظام فيما يأتي باستعمال قاعدة كرامر.

4A)

$\begin{array}{rl}& \left|\underset{\_}{C}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}7& 3\\ -5& -7\end{array}\end{array}\right|=7(-7)-3(-5)=-49-(-15)=-34\\ & x=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}37& 3\\ -41& -7\end{array}\end{array}\right|}{-34}=\frac{37(-7)-3(-41)}{-34}=\frac{-136}{-34}=4\\ & y=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}7& 37\\ -5& -41\end{array}\end{array}\right|}{-34}=\frac{7(-41)-37(-5)}{-34}=\frac{-102}{-34}=3\\ & (x,y)=(4,3)\end{array}$

4B)

$\begin{array}{rl}\begin{array}{c}8x-5y\\ 9x+7y=70\end{array}& \\ \left|\underset{\_}{C}\right|& =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}8& -5\\ 9& 7\end{array}& \end{array}\right]=8\left(7\right)-(-5)9=56+45=101\\ x& =\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{cc}70& -5\\ 3& 7\end{array}\end{array}\right|}{101}=\frac{70\left(7\right)-3(-5)}{101}=\frac{505}{101}=5\\ y& =\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{lc}8& 70\\ 9& 3\end{array}\end{array}\right|}{101}=\frac{8\left(3\right)-70\left(9\right)}{101}=\frac{-606}{101}=-6\\ (x,y)& =(5,-6)\end{array}$

حلل كل نظام معادللات مما يأتي باستعمال قاعدة كرامر .

5A)

$\begin{array}{rl}& 3x+5y+2z=-7\\ & -4x+3y-5z=-19\\ & 5x+4y-7z=-15\end{array}$

$\begin{array}{ll}3& 5\\ -4& 3=330\\ 5& 4\end{array}$ $\left|\underset{\_}{C}\right|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}3& 5& 2\\ -4& 3& -5\\ 5& 4& -7\end{array}\end{array}\right|$

$\begin{array}{rl}& =\{3\times 3\times -7+5\times -5\times 5+2\times -4\times 4\}-\{2\times 3\times 5+3\times -5\times 4+5\times -4\times -7\}\\ & =-220-110=-330\end{array}$

$\begin{array}{rl}& x=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}-7& 5& 2\\ -19& 3& -5\\ -15& 4& -7\end{array}\end{array}\right|}{-330}=\frac{370-715}{-330}=\frac{-237}{-330}=\frac{23}{22}\\ & y=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}3& -7& 2\\ -4& -19& -5\\ 5& -15& -7\end{array}\end{array}\right|}{-330}=\frac{694+161}{-330}=\frac{855}{-330}=-\frac{57}{22}\\ & z=\frac{\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}3& 5& -7\\ -4& 3& -19\\ 5& 4& -15\end{array}\end{array}\right|}{-330}=\frac{-498-(-33)}{-330}=\frac{-465}{-330}=\frac{31}{22}\end{array}$

$(x,y,z)=(\frac{23}{22},-\frac{57}{22},\frac{31}{22})$

5B)

$\begin{array}{c}\begin{array}{l}6x+5y+2z=-1\\ -x+3y+7z=12\\ 5x-7y-3z=-52\end{array}\\ \underset{\_}{C}|=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}6& 5& 2\\ -1& 3& 7\\ 5& -7& -3\end{array}\end{array}\right|=135-(-249)=384\\ x=\frac{\left|\begin{array}{cccc}-1& 52& -7& -3\end{array}\right|-52}{384}-\frac{1}{-7}\end{array}$

$y=\frac{\mid \begin{array}{ccccc}6& -1& 2& 6& -1\\ -1& 12& 7& -1& 12\\ 5& -52& -3& 5& -52\\ & 384& & & \end{array}=\frac{-147-(-2067)}{384}=\frac{1920}{384}=5}{384}$

$z=\frac{\mid \begin{array}{ccccc}6& 5& 5& 5& \\ -1& -7& -52& 5& -7\\ 5& 384& 3& & \end{array}=\frac{-643-(-259)}{384}=\frac{-384}{384}=-1}{384}$

$(x,y,z)=(-4,5,-1)$