حل اسئلة تدرب وحل المسائل

بسَط كل عبارة فيما يأتي:

12)

$\begin{array}{c}\frac{24a^3{b}^2-16a^2{b}^3}{8ab}\\ \frac{24a^3{b}^2}{8ab}-\frac{16a^2{b}^3}{8ab}=\\ 3a^{2}b-2a{b}^2=\end{array}$

13)

$\begin{array}{rl}& \frac{5x^{2}y-10xy+15x{y}^2}{5xy}\\ & \frac{5x^{2}y}{5xy}-\frac{10xy}{5xy}+\frac{15x{y}^2}{5xy}=\\ & x+3y-2=\end{array}$

14)

$\begin{array}{rl}& \frac{7g^3{h}^2+3g^{2}h-2g{h}^3}{gh}\\ & \frac{7g^3{h}^2}{gh}+\frac{3g^{2}h}{gh}-\frac{2g{h}^3}{gh}=\\ & 7g^{2}h+3g-2h^2=\end{array}$

15)

$\begin{array}{c}\frac{4a^{3}b-6ab+2a{b}^2}{2ab}\\ \frac{4a^{3}b}{2ab}-\frac{6ab}{2ab}+\frac{2a{b}^2}{2ab}=\\ 2a^2+b-3=\end{array}$

16)

$\begin{array}{c}\frac{16c^4{d}^4-24c^2{d}^2}{4c^2{d}^2}\\ \frac{16c^4{d}^4}{4c^2{d}^2}-\frac{24c^2{d}^2}{4c^2{d}^2}=\\ 4c^2{d}^2-6=\end{array}$

17)

$\begin{array}{r}\frac{9n^3{p}^3-18n^2{p}^2+21n^2{p}^3}{3n^2{p}^2}\\ \frac{9n^3{p}^3}{3n^2{p}^2}-\frac{18n^2{p}^2}{3n^2{p}^2}+\frac{21n^2{p}^3}{3n^2{p}^2}=\\ 3np+7p-6=\end{array}$

استعمل القسمة الطويلة (خوارزمية القسمة) أو القسمة التركيبية لإيجاد الناتج في كل مما يأتي:

18)

$(a^2-8a-26)÷(a+2)$

$\begin{array}{r}a-10\\ a+2\overline{)a^2-8a-26}\\ \frac{(-)a^2+2a}{-10a-26}\\ \frac{(-)-10a-20}{-6}\end{array}$

$a-10-\frac{6}{a+2}=$

19)

$(b^3-4b^2+b-2)÷(b+1)$

$b^2-5b+6-\frac{8}{b+1}$

20)

$\begin{array}{r}(z^4-3z^3+2z^2-4z+4)(z-1{)}^{-1}\\ \frac{(z^4-3z^3+2z^2-4z+4)}{(z-1)}=\end{array}$

= $z^3-2z^2-4$

21)

$(x^5-4^{3}x+4x^2)÷(x-4)$

$x^4+4x^3+12x^2+52x+208+\frac{832}{x-4}=$

22)

$\frac{y^3+11y^2-10y+6}{y+2}$

$y^2+9y-28+\frac{62}{y+2}$

23)

$(g^4-3g^2-18)÷(g-2)$

$g^3+2g^2+g+2-\frac{14}{g-2}$

24) أي مما يأتي يكافئ: $(x^2+x-6)(2-x{)}^{-1}$؟

$\begin{array}{rl}& (2-x)(-x-3)\\ & -2x-6+x^2+3x\\ & x^2+x-6\end{array}$

الاختيار الصحيح D

استعمل القسمة التركيبية لإيجاد ناتج كل مما يأتي:

25)

$\begin{array}{c}6a^2-3a+9÷3a-2\\ \frac{(6a^2-3a+9)÷3}{(3a-2)÷3}=\\ \frac{(2a^2-a+3)}{(a-\frac{2}{3})}=\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 2a+\frac{1}{3}+\frac{\frac{29}{9}}{a-\frac{2}{3}}\\ & \frac{\frac{29}{9}}{a-\frac{2}{3}}=\frac{29}{9}÷a-\frac{2}{3}\end{array}$

$\frac{29}{9}\times \frac{3}{3a-2}=\frac{29}{9a-6}$

ناتج القسمه = $2a+\frac{1}{3}+\frac{29}{9a-6}$

26)

$\begin{array}{c}\frac{6x^5+5x^4+x^3-3x^2+x}{3x+1}\\ \frac{(6x^5+5x^4+x^3-3x^2+x)÷3}{(3x+1)÷3}=\\ \frac{(2x^5+\frac{5}{3}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-x^2+\frac{1}{3}x)}{(x+\frac{1}{3})}=\end{array}$

$\begin{array}{r}2x^4+x^3-x+\frac{2}{3}-\frac{\frac{2}{9}}{x+\frac{1}{3}}\\ \frac{\frac{2}{9}}{x+\frac{1}{3}}=\frac{2}{9}÷\frac{3x+1}{3}\end{array}$

$\frac{2}{9}\times \frac{3}{3x+1}=\frac{2}{9x+3}$

ناتج القسمه = $2x^4+x^3-x+\frac{2}{3}-\frac{2}{9x+3}$

27) هندسة: صّمم صندوق على شكل متوازي مستطيلات بحيث ترتبط أبعاده بعلاقة معينة بدلالة المتغير x فإذا كان حجم الصندوق $66x^3+31x^2+53x+30$ وارتفاعه x + 2 فما عرض قاعدته؟ وما طولها؟

مساحة قاعدة متوازي المستطيلات = $6x^2+19x+15$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ القانون العام

$\begin{array}{c}x=\frac{-19\pm \sqrt{(19{)}^2-4(6\left)\right(15)}}{2\left(6\right)}\\ x=\frac{-19\pm \sqrt{361-360}}{12}\end{array}$

$\begin{array}{rr}x=\frac{-19-1}{12}=\frac{-20}{12}& x=\frac{-19+1}{12}=-\frac{18}{12}\\ 3x+5=0& 2x+3=0\end{array}$

الطول والعرض $(3x+5),(2x+3)$

28) فيزياء: يرتبط فرق جهد التيار V بشدة التيار C والقوة P بالمعادلة $V=\frac{P}{C}$ فإذا عبر عن القوة بالدالة $P\left(t\right)=t^3+9t^2+26t+24$ وشدة التيار بالمعادلة $C=t+4$ فاكتب عبارة تمثل فرق الجهد V.

فرق الجهد = $\frac{t^3+9t^2+26t+24}{t+4}=$

فرق الجهد = $t^2+5t+6$

بسط كل عبارة فيما يأتي:

29)

$\begin{array}{r}(x^4-y^4)÷(x-y)\\ (x^4-y^4)=(x^2+y^2)(x^2-y^2)\\ (x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^2+y^2)(x-y)(x+y)\end{array}$

$\frac{(x^4-y^4)}{(x-y)}=\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{(x-y)}=(x^2+y^2)(x+y)$

30)

$\begin{array}{r}(28c^3{d}^2-21c{d}^2)÷\left(14cd\right)\\ \frac{28c^3{d}^2}{14cd}-\frac{21c{d}^2}{14cd}=\\ 2c^{2}d-\frac{3}{2}d=\end{array}$

31)

$\begin{array}{r}(a^3{b}^2-a^{2}b+2b)(-ab{)}^{-1}\\ \frac{a^3{b}^2}{-ab}-\frac{a^{2}b}{-ab}+\frac{2b}{-ab}=\\ -a^{2}b+a-\frac{2}{a}=\end{array}$

32)

$\frac{n^3+3n^2-5n-4}{n+4}$

ناتج القسمة = $n^2-n-1$

33)

$\frac{p^3+2p^2-7p-21}{p+3}$

ناتج القسمة = $p^2-p-4-\frac{9}{p+3}$

34)

$\frac{3z^5+5z^4+z+5}{z+2}$

$3z^4-z^3+2z^2-4z+9-\frac{13}{z+2}$

35) أعمال: يمكن تقدير عدد النسخ المبيعة من مجلة باستعمال المعادلة $n=\frac{3500a^2}{a^2+100}$ حيث a المبلغ الذي تنفقه المجلة على إعلان بمئات الريالات وn عدد النسخ المبيعة من المجلة.

a) أجر عملية القسمة المعبر عنها بالمقدار $\frac{3500a^2}{a^2+100}$.

$3500-\frac{350000}{a^2+100}=$

b) كم نسخة بيعت من المجلة إذا أُنفق على الدعاية والإعلان 6000 ريال؟

$3500-\frac{350000}{a^2+100}=3500-\frac{350000}{36000000+100}$

$n=3500-\frac{3500000}{36000100}\approx 3500$

3500 نسخة تقريباً.

36) تمثيلات متعددة: افترض أن مساحة مستطيل هي $2x^2+7x+3$ وطوله 2x +1.

a) حسياً:

العرض = x+3

b) رمزياً:

$(2x^2+7x+3)÷(2x+1)$

c) جبرياً:

$\frac{(2x^2+7x+3)÷2}{(2x+1)÷2}=\frac{x^2+\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}}{x+\frac{1}{2}}$

ناتج القسمة = x +3

نعم يتفق.