حل أسئلة تأكد

حَل كل معادلة مما يأتي واذكر عدد جذورها ونوعها:

1)

$\begin{array}{r}{x}^2-3x-10=0\\ (x-5)(x+2)=0\end{array}$

$\begin{array}{rr}(x-5)=0& (x+2)=0\\ x=5& x=-2\end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان.

2)

$\begin{array}{r}{x}^3+12x^2+32x=0\\ x(x^2+12x+32)=0\\ x(x+4)(x+8)=0\\ x=0x=-4x=-8\end{array}$

للمعادلة ثلاث جذور حقيقية.

3)

$\begin{array}{r}16x^4-81=0\\ (4x^2-9)(4x^2+9)=0\\ (2x-3)(2x+3)(4x^2+9)=0\end{array}$

$\begin{array}{rrr}(2x-3)=0& (2x+3)=0& (4x^2+9)=0\\ x=\frac{3}{2}& x=-\frac{3}{2}& x^2=\frac{-9}{4}\\ & x=\pm \frac{3}{2}i& \end{array}$

4)

$\begin{array}{r}0=x^3-8\\ 0=(x-2)(x^2+2x+4)\\ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\left(1\right)\left(4\right)}}{2\left(1\right)}\end{array}$

$\begin{array}{rl}x=& \frac{-2\pm \sqrt{-12}}{2}\\ x=& \frac{-2\pm 2i\sqrt{3}}{2}\\ x=& -1\pm i\sqrt{3}\end{array}$

$x=-1-i\sqrt{3} , x=-1+i\sqrt{3} \text{, }x=2$

اذكر العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والحقيقية السالبة والتخيلية لكل دالة مما يأتي:

5)

$f\left(x\right)=x^3-2x^2+2x-6$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 3 أو 1

$f(-x)=(-x{)}^3-2(-x{)}^2+2(-x)-6$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 0

6)

$f\left(x\right)=6x^4+4x^3-x^2-5x-7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 1

$f(-x)=6(-x{)}^4+4(-x{)}^3-(-x{)}^2-5(-x)-7$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 3 أو 1

7)

$f\left(x\right)=3x^5-8x^3+2x-4$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 3 أو 1

$f(-x)=3(-x{)}^5-8(-x{)}^3+2(-x)-4$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(-x) هي 2 أو 0

8)

$f\left(x\right)=-2x^4-3x^3-2x-5$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x) هي 0

$f(-x)=-2(-x{)}^4-3(-x{)}^3-2(-x)-5$

عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة f(x-) هي 2 أو 0

اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها أعداد صحيحة إذا كانت الأعداد المعطاة في كل مما يأتي من أصفارها:

9)

4, -1, 6

عوامل كثيرة الحدود $(x-4)(x+1)(x-6)$

$\begin{array}{r}P\left(x\right)=(x^2+x-4x-4)(x-6)\\ =(x^2-3x-4)(x-6)\\ =x^3-3x^2-4x-6x^2+18x+24\\ =x^3-9x^2+14x+24\end{array}$

10)

2, 1, -1, 3

عوامل كثيرة الحدود $(x-3)(x+1)(x-1)(x-2)$

$\begin{array}{r}p\left(x\right)=(x-3)(x-2)(x^2-1)\\ =(x^2-5x+6)(x^2-1)\\ =x^4-5x^3+6x^2-x^2+5x-6\\ =x^4-5x^3+5x^2+5x-6\end{array}$

11)

-3i، 5, -2

عوامل كثيرة الحدود $(x+2)(x-5)(x+3i)(x-3i)$

$\begin{array}{r}P\left(x\right)=(x+2)(x-5)(x+3i)(x-3i)\\ =(x^2-5x+2x-10)(x+3i)(x-3i)\\ =(x^2-3x-10)\left[\right(x+3i\left)\right(x-3i\left)\right]\\ =(x^2-3x-10)[x^2-(3i{)}^2]\\ =(x^2-3x-10)[x^2-9i^2]\\ =(x^2-3x-10)(x^2+9)\\ =x^4-3x^3-10x^2+9x^2-27x-90\\ =x^4-3x^3-x^2-27x-90\end{array}$

12)

-4, 4+i

عوامل كثيرة الحدود $(x+4)(x-4-i)(x-4+i)$

$\begin{array}{r}P\left(x\right)=(x+4)\left[\right(x-4-i\left)\right(x-4+i\left)\right]\\ =(x+4)\left[\right((x-4)-i\left)\right((x-4)+i\left)\right]\\ =(x+4)\left[\right(x-4{)}^2-i^2]\\ =(x+4)[x^2-8x+16-i^2]\\ =(x+4)[x^2-8x+16+1]\\ =(x+4)[x^2-8x+17]\\ =x^3-8x^2+17x+4x^2-32x+68\\ =x^3-4x^2-15x+68\end{array}$