حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد $(f+g)\left(x\right),(f-g)\left(x\right),(f\cdot g)\left(x\right),\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)$ للدالتين f(x) g(x) في كل مما يأتي:

8)

$f\left(x\right)=x-1,g\left(x\right)=5x-2$

$\begin{array}{r}(\mathrm{f}+\mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)=6\mathrm{x}-3\\ (\mathrm{f}-\mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)=-4\mathrm{x}+1\\ (\mathrm{f}\cdot \mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)={5\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+2\\ \left(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\left(\frac{\mathrm{x}-1}{5\mathrm{x}-2}\right),\mathrm{x}\ne \frac{2}{5}\end{array}$

9)

$f\left(x\right)=x^2,g\left(x\right)=-x+1$

$\begin{array}{r}(\mathrm{f}+\mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\\ (\mathrm{f}-\mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-1\\ (\mathrm{f}\cdot \mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2\\ \left(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{-\mathrm{x}+1}\right),\mathrm{x}\ne 1\end{array}$

10)

$f\left(x\right)=3x^2-4,g\left(x\right)=x^2-8x+4$

$\begin{array}{r}(f+g)\left(x\right)=4x^2-8x\\ (f-g)\left(x\right)=2x^2+8x-8\\ (f\cdot g)\left(x\right)=3x^4-24x^3+8x^2+32x-16\\ \left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\left(\frac{3x^2-4}{x^2-8x+4}\right) , x\ne 4\pm 2\sqrt{3}\end{array}$

11) رياضة المشي: يمشي رائد على ممر متحرك فإذا كانت سرعته يعبر عنها بالدالة I(x)=3x-4 وسرعة الممر المتحرك يعبر عنها بالدالة W(x)=4x+7 حيث x الزمن بالثواني.

a) ما الدالة التي تعبر عن سرعته الكلية إذا كان يمشي في اتجاه سير الممر للمتحرك؟

$(\mathrm{W}+\mathrm{I})\left(\mathrm{x}\right)=7\mathrm{x}+3$

b) ما الدالة التي تعبر عن سرعته الكلية إذا مشى في عكس اتجاه سير الممر المتحرك؟

$(\mathrm{I}-\mathrm{W})\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{x}-11$

أوجد $f\circ g,g\circ f$ لكل زوج من الدوال الآتية إذا كان ذلك ممكناً:

12)

$\begin{array}{rl}f=& \left\{\right(-8,-4),(0,4),(2,6),(-6,-2\left)\right\}\\ & g=\left\{\right(4,-4),(-2,-1),(-4,0),(6,-5\left)\right\}\end{array}$

$(\mathrm{g}\circ \mathrm{f})=\left\{\right(-8,0),(0,-4),(2,-5),(-6,-1\left)\right\}$

13)

$\begin{array}{r}f=\left\{\right(5,13),(-4,-2),(-8,-11),(3,1\left)\right\}\\ g=\left\{\right(-8,2),(-4,1),(3,-3),(5,7\left)\right\}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\circ \mathrm{g}\\ & \mathrm{g}\circ \mathrm{f}\end{array}$ غير معرفة.

14)

$\begin{array}{r}\mathrm{f}=\left\{\right(-4,-14),(0,-6),(-6,-18),(2,-2\left)\right\}\\ \mathrm{g}=\left\{\right(-6,1),(-18,13),(-14,9),(-2,-3\left)\right\}\end{array}$

$f\circ g$ غير معرفة.

$(g\circ f)=\left\{\right(-4,9),(0,1),(-6,13),(2,-3\left)\right\}$

15)

$\begin{array}{r}\mathrm{f}=\left\{\right(-1,11),(2,-2),(5,-7),(4,-4\left)\right\}\\ \mathrm{g}=\left\{\right(5,-4),(4,-3),(-1,2),(2,3\left)\right\}\end{array}$

$(\mathrm{f}\circ \mathrm{g})=\left\{\right(-1,-2\left)\right\}$

$\mathrm{g}\circ \mathrm{f}$ غير معرفة.

أوجد $[f\circ g]\left(x\right),[g\circ f]\left(x\right)$ في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

16)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=2x^2-x+1,g\left(x\right)=4x+3\\ [f\circ g]\left(x\right)=32x^2+44x+16\\ [g\circ f]\left(x\right)=8x^2-4x+7\end{array}$

17)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=4x-1,g\left(x\right)=x^3+2\\ [f\circ g]\left(x\right)=4x^3+7\\ [g\circ f]\left(x\right)=64x^3-48x^2+12x+1\end{array}$

18)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=2x^2,g\left(x\right)=8x^2+3x\\ [f\circ g]\left(x\right)=128x^4+96x^3+18x^2\\ [g\circ f]\left(x\right)=32x^4+6x^2\end{array}$

19) صناعة: ينتج مصنع نوعين من الفناجين فإذا كان ثمن بيع x فنجان يعبر عنه بالدالة r(x)=605x وتكلفة إنتاج x فنجان يعبر عنها بالدالة c(x)=0.75x+1850.

a) اكتب الدالة p(x) التي تعبر عن ربح المصنع إذا باع x فنجان.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=5.75\mathrm{x}-1850$

b) أوجد ربح المصنع عند بيع 500 فنجان و1000 فنجان و5000 فنجان.

$P\left(500\right)=1025;P\left(1000\right)=3900 ; P\left(5000\right)=26900$

20) تسوق: يرغب سامر في شراء تلفاز ذي شاشة مسطحة معروض للبيع بخصم نسبته %35 من السعر الأصلي فإذا كان سعره الأصلي 2299 ريالاً ويضاف إليه %25.6 بدل ضمان بعد الخصم.

a) اكتب دالتين: الأولى تمثل سعر التلفاز بعد الخصم p(x) والثانية سعر التلفاز بعد إضافة بدل الضمان t(x).

$P\left(x\right)=0.65x;\mathrm{t}\left(x\right)=1.0625$

b) أي الدالتين الآتيتين يمثل سعر التلفاز النهائي: $[t\circ p]\left(x\right), { }_{\text{،}}[p\circ t]\left(x\right)$ ؟ وضح إجابتك.

بما أن $[\mathrm{p}\circ \mathrm{t}]\left(\mathrm{x}\right)=[\mathrm{t}\circ \mathrm{p}]\left(\mathrm{x}\right)$ فكلا الدالتان تمثلان سعر التلفاز النهائي.

c) كم سيدفع سامر ثمناً للتلفاز؟

ثمن التلفاز = 1587.75 ريالاً.

إذا كان $f\left(x\right)=x^2+x-12,g\left(x\right)=x-3$ فأوجد كل دالة فيما يأتي وحدد مجالها.

21)

$\begin{array}{c}(\mathrm{f}-\mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)\\ (\mathrm{f}-\mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-9\end{array}$

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

22)

$\begin{array}{r}2(g\cdot f)\left(x\right)\\ 2(g\cdot f)\left(x\right)=2x^3-4x^2-30x+72\end{array}$

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

23)

$\begin{array}{c}\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)\\ \left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=x+4\end{array}$

المجال = $\{\mathrm{x}\mid \mathrm{x}\ne 3\}$

إذا كان $f\left(x\right)=5x,g\left(x\right)=-2x+1,h\left(x\right)=x^2+6x+8$ فأوجد قيمة كل مما يأتي:

24)

$-69=g\left[h\right(3\left)\right]$

25)

$483=h\left[f\right(-5\left)\right]$

26)

$2303=\mathrm{h}\left[\mathrm{f}\right(9\left)\right]$

27)

$-30\mathrm{a}+5=\mathrm{f}\left[\mathrm{g}\right(3\mathrm{a}\left)\right]$

28)

$5a^2+70a+240=f\left[h\right(a+4\left)\right]$

29)

$-10a^2+10a+1=g\left[f(a^2-a)\right]$

30) تمثيلات متعددة: لتكن $f\left(x\right)=x^2,g\left(x\right)=x$.

a) جدولياً:

b) بيانياً:

c ) بيانياً :

d) لفظياً:

لأي قيمة من قيم x تكون المسافة الرأسية بين تمثيل الدالة g(x) البياني ومحور -x مساوية للمسافة الرأسية بين التمثيلين البيانيين للدالتين $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),(\mathrm{f}+\mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)$ وهي مساوية أيضاً للمسافة الرأسية بين التمثيلين البيانيين للدالتين $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),(\mathrm{f}-\mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)$.

31) توظيف: يمكن التعبير عن عدد الرجال والنساء الذين تم توظيفهم منذ عام 1434هـ في مؤسسة ما بالمعادلتين الآتيتين:

عدد الرجال: $y=7x+6$

عدد النساء: $y=5x+5$

حيث x تمثل عدد الأعوام منذ عام 1434هـ وy تمثل عدد الموظفين.

a) اكتب دالة تمثل العدد الكلي للرجال والنساء الذين تم توظيفهم منذ عام 1434هـ.

$y=12x+11$

b) إذا كانت الدالة f تمثل عدد الرجال الذين تم توظيفهم والدالة g تمثل عدد النساء اللاتي تم توظيفهن فماذا تمثل الدالة (x) (g - f)؟

تمثل الفرق بين عدد الرجال وعدد النساء الذي تم توظيفهم.

إذا كان $f\left(x\right)=x+2,g\left(x\right)=-4x+3,h\left(x\right)=x^2-2x+1$ فأوجد قيمة كل مما يأتي:

32)

$\begin{array}{r}(\mathrm{f}\cdot \mathrm{g}\cdot \mathrm{h})\left(3\right)\\ -180\end{array}$

33)

$\begin{array}{r}\left[\right(\mathrm{f}+\mathrm{g})\cdot \mathrm{h}]\left(1\right)\\ 0\end{array}$

34)

$\begin{array}{r}\left(\frac{h}{f\cdot g}\right)(-6)\\ \frac{49}{108}\end{array}$

35)

$$\begin{gathered} [\mathrm{f}\circ (\mathrm{g}\circ \mathrm{h}\left)\right]\left(2\right) \\ 1 \end{gathered}$$

36)

$\begin{array}{r}[\mathrm{g}\circ (\mathrm{h}\circ \mathrm{f}\left)\right](-4)\\ -33\end{array}$

37)

$\begin{array}{r}[\mathrm{h}\circ (\mathrm{f}\circ \mathrm{g}\left)\right]\left(5\right)\\ 256\end{array}$