حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد العلاقة العكسية لكل من العلاقتين الآتيتين:

9)

$\begin{array}{rl}& \left\{\right(1,-5),(2,6),(3,-7),(4,8),(5,-9\left)\right\}\\ & \left\{\right(-5,1),(6,2),(-7,3),(8,4),(-9,5\left)\right\}\end{array}$

10)

$\begin{array}{rl}& \left\{\right(3,0),(5,4),(7,-8),(9,12),(11,16\left)\right\}\\ & \left\{\right(0,3),(4,5),(-8,7),(12,9),(16,11\left)\right\}\end{array}$

أوجد معكوس كل من الدوال الآتية ثم مثّل الدالة ومعكوسها بيانياً على مستوى إحداثي واحد:

11)

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+2\\ & {\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-2\end{array}$

12)

$\begin{array}{r}g\left(x\right)=5x\\ g^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{5}x\end{array}$

13)

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}=-2\mathrm{x}+1\\ & {\mathrm{y}}^{-1}=\frac{\mathrm{x}-1}{-2}\end{array}$

14)

$\begin{array}{rl}h\left(x\right)& =\frac{x-4}{3}\\ h^{-1}\left(x\right)& =3x+4\end{array}$

15)

$\begin{array}{c}\mathrm{y}=-\frac{5}{3}\mathrm{x}-5\\ {\mathrm{y}}^{-1}=-\frac{3}{5}(\mathrm{x}+8)\end{array}$

16)

$\begin{array}{r}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+4\\ {\mathrm{h}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)=\pm \sqrt{\mathrm{x}-4}\end{array}$

17)

$\begin{array}{r}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={5\mathrm{x}}^2\\ {\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)=\pm \sqrt{\frac{1}{5}\mathrm{x}}\end{array}$

18)

$\begin{array}{c}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2-1\\ {\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)=\pm \sqrt{2\mathrm{x}+2}\end{array}$

19)

$\begin{array}{c}\mathrm{y}=(\mathrm{x}+1{)}^2+3\\ {\mathrm{y}}^{-1}=\pm \sqrt{\mathrm{x}-3}-1\end{array}$

في كل زوج مما يأتي حدّد هل كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى أم لا؟ ووضِح إجابتك.

20)

$f\left(x\right)=2x+3 ,g\left(x\right)=2x-3$

لا.

21)

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x+3 ,g\left(x\right)=-3x+9$

نعم.

22)

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}+10}{8} ,\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=8\mathrm{x}-10$

نعم.

23)

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^3 ,\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\frac{2}{3}\mathrm{x}}$

لا.

24)

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=(\mathrm{x}+6{)}^2,\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-6$

نعم.

25)

$f\left(x\right)=2\sqrt{x-5},g\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-5$

لا.

26) وقود: إذا كان عدد الكيلومترات التي تقطعها سيارة فهد لكل l لتر من البنزين يعبر عنه بالدالة K(l) = 12 l وكان سعر اللتر كما هو موضح في الشكل المجاور.

a) أوجد الدالة (l)c التي تمثل سعر l من لترات البنزين.

$c\left(1\right)=0.451$

b) أوجد دالة تمثل سعر الوقود المستهلك في الكيلو متر الواحد مستعملاً فكرة الدالة العكسية.

$\mathrm{c}\left(\mathrm{k}\right)\approx 0.04\mathrm{k}$

27) هندسة: يعبر عن مساحة الدائرة بالدالة : $.A=\pi r^2$

a) أوجد معكوس الدالة.

$\mathrm{r}=\sqrt{\frac{\mathrm{A}}{\pi }}$

b) استعمل المعكوس لإيجاد نصف قطر دائرة مساحتها $36 c{m}^2$.

3.39 cm تقريباً.

استعمل اختبار الخط الأفقي لتحدد ما إذا كان معكوس كل دالة من الدوال الآتية دالة أيضاً أم لا؟

28)

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-8$

نعم.

29)

$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)={2\mathrm{x}}^2$

لا.

30)

$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=3\mathrm{x}+7$

نعم.

31) درجات الحرارة: تستعمل الصيغة $F\left(x\right)=\frac{9}{5}x+32$ للتحويل من درجة الحرارة السيليزية إلى درجة الحرارة الفهرنهايتية.

a) أوجد $F^{-1}\left(x\right)$ ثم بيّن أن $F\left(x\right),F^{-1}\left(x\right)$ تمثّل كل منهما دالة عكسية للأخرى.

$\begin{array}{rl}{\mathrm{F}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{5}{9}(\mathrm{x}-32)& \\ \mathrm{F}\left[{\mathrm{F}}^{-1}\right(\mathrm{x}\left)\right]=\frac{9}{5}\left[\frac{5}{9}\right(\mathrm{x}-32\left)\right]+32& \\ =& \mathrm{x}-32+32\\ & =\mathrm{x}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{F}}^{-1}\left[\mathrm{F}\right(\mathrm{x}\left)\right]& =\frac{5}{9}[\frac{9}{5}\mathrm{x}+32-32]\\ & =\frac{5}{9}[\frac{9}{5}\mathrm{x}+0]\\ & =\mathrm{x}\end{array}$

b) فيم تستعمل $F^{-1}\left(x\right)$؟

يمكن أن تستعمل من أجل التحويل من درجة الحرارة الفهرنهايتية إلى درجة الحرارة السيليزية.

32) تمثيلات متعددة: تأمل الدالة $y=x^n$ , حيث $n=0,1,2,\dots$.

a) بيانياً:

b) جدولياً:

c)

n عدد فردي.