حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:

١٢) ب (ب^٢ - ١٢ب + ١)

ب (ب^٢ - ١٢ب + ١) = ب (ب^٢) -١٢ب (ب) + ب

= ب^٣ - ١٢ب^٢ + ب

١٣) ٢جـ^٢(٥جـ^٣ - ١٥جـ^٢ + ٢جـ + ٢)

المقدار = ٢جـ^٢(٥جـ^٣ - ١٥جـ^٢ + ٢جـ + ٢)

= ٢جـ^٢(٥جـ^٣) - ٢جـ^٢(١٥جـ^٢) + ٢جـ^٢(٢جـ) + ٢(٢جـ^٢)

= ١٠جـ^٥ - ٣٠جـ^٤ + ٤جـ^٣ + ٤جـ^٢

١٤) ٢ب ر^٢(٢ب ر + ٥ب^٢ر - ١٥ب)

المقدار = ٢ب ر^٢(٢ب ر + ٥ب^٢ر - ١٥ب)

= ٢ب ر^٢(٢ب ر) + ٢ب ر^٢(٥ب^٢ ر) + ٢ب ر^٢(-١٥ب)

= ٤ب^٢ ر^٣ + ١٠ب^٣ ر^٣ - ٣٠ب^٢ ر^٢

١٥) ٤ن^٣ ل (٢ن^٢ ل^٢ - ١٠ن ل^٤ + ٢)

المقدار = ٤ن^٣ ل (٢ن^٢ ل^٢ - ١٠ن ل^٤ + ٢)

= ٤ن^٣ ل (٢ن^٢ ل^٢) - ٤ن^٣ ل (١٠ن ل^٤) + ٢(٤ن^٣ ل)

= ٨ن^٥ ل^٣ - ٤٠ن^٤ ل^٥ + ٨ن^٣ ل

بسط كل عبارة فيما يأتي:

١٦) -٣(٥س^٢ + ٢س + ٩) + س (٢س - ٣)

المقدار = -٣(٥س^٢ + ٢س + ٩) + س (٢س - ٣)

= -٣(٥س^٢) - ٣(٢س) - ٣(٩) + س (٢س) - س (٣)

= -١٥س^٢ -٦س - ٢٧ + ٢س^٢ - ٣س

= -١٣س^٢ - ٩س - ٢٧

١٧) أ (-٨أ^٢ + ٢أ + ٤) + ٣ (٦أ^٢ - ٤)

المقدار = أ (-٨أ^٢ + ٢أ + ٤) + ٣(٦أ^٢ - ٤)

= أ (-^٢١٨) + أ (٢‌أ) + ٤أ + ١٨أ^٢ - ١٢

= -٨أ^٣ + ٢٠أ^٢ + ٤أ - ١٢

١٨) -٤د (٥د^٢ - ١٢) + ٧(د + ٥)

المقدار = -٤د (٥د^٢ - ١٢) + ٧(د + ٥)

= -٤د (٥د^٢) + ٤د (١٢) + ٧د + ٣٥

= -٢٠د^٣ + ٥٥د + ٣٥

١٩) -٩جـ (-٢جـ + جـ^٢) + ٣(جـ^٢ + ٤)

المقدار = -٩جـ (-٢جـ + جـ^٢) + ٣(جـ^٢ + ٤)

= -٩جـ (-٢جـ) - ٩جـ(جـ^٢) + ٣(جـ^٢) + ٣(٤)

= -٩جـ^٣ + ٢١جـ^٢ + ١٢

٢٠) ٤ن (٢ن^٣ ب^٢ - ٣ن ب^٢ + ٥ن) + ٤ب (٦ن^٢ ب - ٢ن ب^٢ + ٣ب)

المقدار = ٤ن (٢ن^٣ ب^٢ - ٣ن ب^٢ + ٥ن) + ٤ب (٦ن^٢ ب - ٢ن ب^٢ + ٣ب)

= ٤ن (٢ن^٣ ب^٢) - ٤ن (٣ن ب^٢) + ٤ن(٥ن) + ٤ب (٦ن^٢ ب) - ٤ب (٢ن ب^٢) + ٤ب(٣ب)

= ٨ن^٤ ب^٢ + ١٢ن^٢ ب^٢ + ٢٠ن^٢ - ٨ن ب^٣ + ١٢ب^٢

٢١) سدود: واجهة سد على شكل شبه منحرف، طول قاعدتها السفلية مِثلا ارتفاعها، وقاعدتها العليا أقل من $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ ارتفاعها بـ ١٠ أمتار.

أ) اكتب عبارة لإيجاد مساحة هذه الواجهة.

مساحة شبه المنحرف = نصف (القاعدة السفلى + القاعدة العليا) الارتفاع.

• القاعدة السفلى = ٢ع
• القاعدة العليا = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ع - ١٠

المساحة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$(٢ع + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ع - ١٠) × ع

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$($\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٥}}$ ع - ١٠) × ع

= ($\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٠}}$ ع - ٥) × ع

= $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٠}}$ ع^٢ - ٥ع

ب) إذا كان ارتفاع السد ٦٠ متراً، فأوجد هذه المساحة.

المساحة = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٠}}$(^٢٦٠) - ٥(٦٠)

= ٣٦٦٠ م^٢

حلل كلاً من المعادلات الآتية:

٢٢) ٧(ن^٢ + ٥ن - ٩) + ن = ن (٧ن - ٢) + ١٣

٧(ن^٢ + ٥ن - ٩) + ن = ن (٧ن - ٢) + ١٣

٧ن + ٣٥ن - ٦٣ + ن = ٧ن - ٢ن + ١٣

٣٦ن - ٦٣ = -٢ن + ١٣

٣٨ن = ١٣+ ٦٣

ن = ٧٦ ÷ ٣٨

ن = ٢

٢٣) ٥(٤ع + ٦) - ٢(ع - ٤) = ٧ع (ع + ٤) - ع (٧ع - ٢) - ٤٨

٥(٤ع + ٦) - ٢(ع - ٤) = ٧ع (ع + ٤) - ع (٧ع - ٢) - ٤٨

٢٠ع + ٣٠ - ٢ع + ٨ = ٧ع^٢ + ٢٨ - ٧ع^٢ + ٢ع - ٤٨

١٨ع + ٣٨ = ٢ع - ٢٠

١٨ع - ٢ع = - ٢٠ - ٣٨

١٦ع = - ٥٨

ع = $\frac{-\mathrm{٥٨}}{\mathrm{١٦}}$

ع = $\frac{-\mathrm{٢٩}}{\mathrm{٨}}$

٢٤) ٩جـ (جـ - ١١) + ١٠(٥جـ - ٣) = ٣جـ (جـ + ٥) + جـ (٦جـ - ٣) - ٣٠

٩جـ (جـ - ١١) + ١٠(٥جـ - ٣) = ٣جـ (جـ + ٥) + جـ (٦جـ - ٣) - ٣٠

٩جـ^٢ - ٩٩ + ٥٠جـ - ٣٠ = ٣جـ ^٢+ ١٥ + ٦جـ^٢ - ٣جـ - ٣٠

٩جـ^٢ - ٣جـ^٢ - ٦جـ^٢ - ٥٠جـ + ٣جـ = ٣٠ - ٣٠

٦جـ^٢ - ٦جـ^٢ - ٤٧جـ = ٠

- ٤٧جـ = ٠

جـ = ٠

٢٥) ٢ن (٥ن - ٢) - ١٠(ن^٢ - ٣ن + ٦) = -٨ن (ن + ٤) + ٤(٢ن^٢ - ٧ن)

١٠ن^٢ - ٤ن - ١٠ن^٢ + ٣٠ن - ٦٠ = - ٨ن^٢ - ٣٢ن + ٨ن^٢ - ٢٨ن

٢٦ن - ٦٠ = -٣٢ن - ٢٨ن

٢٦ن - ٦٠ = ٦٠

٨٦ن = ٦٠

ن = $\frac{\mathrm{٦٠}}{\mathrm{٨٦}}$

بسط كل عبارة فيما يأتي:

٢٦) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ ن ب^٢(٣٠ب^٢ + ٩ن^٢ ب - ١٢)

المقدار = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ن ب^٢ (٣٠ب^٢) + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ن ب^٢ (٩ن^٢ ب) + ١٢(-$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ن ب^٢)

= ٢٠ن ب^٤ + ٦ن^٣ ب^٣ - ٨ن ب^٢

٢٧) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ر^٢ ل (١٠ر^٣ + ٥رل^٣ + ١٥ل^٢)

المقدار = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ر^٢ ل (١٠ر^٣) + $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ر^٢ ل (٥ر ل^٣) + $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ر^٢ ل (١٥ل^٣)

= ٦ر^٥ ل + ٣ر^٣ ل^٤ + ٩ر^٢ ل^٣

٢٨) - س^٢ ع (٢ع^٢ + ٤س ع^٣) + س ع^٢(س ع + ٥س^٣ ع) + س^٢ ع^٣(٣س^٢ ع + ٤س ع)

المقدار = - س^٢ ع (٢ع^٢) - س^٢ ع (٤س ع^٣) + س ع^٢(س ع) + س ع^٢(٥س^٣ ع) س^٢ ع^٣(٣س^٢ ع) + س^٢ ع^٣(٤س ع)

= - ٢ع^٣ س^٢ - ٤س^٣ ع^٤ + س^٢ ع^٣ + ٥س^٤ ع^٣ + ٣س^٤ ع^٤ + ٤س^٣ ع^٤

= -ع^٣ س^٢ + ٥س^٤ ع^٣ + ٣س^٤ ع^٤

٢٩) تنس أرضي: يبني نادي التنس ملعباً جديداً يحيط به ممر منتظم، كما في الشكل المجاور.

أ) اكتب عبارة تمثل مساحة ملعب التنس

مساحة الملعب = الطول × العرض

= (١,٥ + ٢٤) × س

= ١,٥س^٢ + ٢٤س

ب) اكتب عبارة تمثل مساحة الممر.

مساحة الملعب = الطول × العرض.

= (١,٥س + ٢٤) × س

= ١,٥س^٢ + ٢٤س

٣٠) تمثيلات: ستستكشف في هذه المسألة درجة ناتج ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود.

أ) جدولياً: اكتب ثلاث وحيدات حد مختلفة الدرجات وثلاث كثيرات حدود مختلفة الدرجات، ثم حدد درجة كل وحيدة حد وكثيرة حدود، واضرب وحيدات الحد في كثيرات الحدود، وحدد درجة ناتج الضرب، وأخيراً سحب نتائجك في الجدول على النحو الآتي:

ب) لفظياً: خمن درجة ناتج ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود، ما درجة ناتج وحيدة حد من الدرجة أ، في كثيرة حدود من الدرجة ب؟

درجة ناتج الضرب هي مجموع درجتي وحيدة الحد وكثيرة الحدود أ + ب.

٣١) تحد: أوجد قيمة ب التي تجعل ٣س ^ب(٤س^{٢ب + ٣} + ٢س^{٣ب - ٢}) = ١٢س^١٢ + ٦س^١٠

٣س ^ب(٤س^{٢ب + ٣} + ٢س^{٣ب - ٢}) = ١٢س^١٢ + ٦س^١٠

(٣س ^ب) (٤س^٢ب+٣) + (٣س ^ب) (٢س^٣ب-٢) = ١٢س^١٢ + ٦س^١٠

١٢س^+٢ب+٣+ب + ٦س^-٢+٣ب+ب = ١٢س^١٢ + ٦س^١٠

١٢س^٣ب+٣ + ٦س^٤ب-٢ = ١٢س^١٢ + ٦س^١٠

بالمقارنة نجد أن ٣ب + ٣ = ١٢

٣ب = ٩

ب = ٣

٣٢) تبرير: هل توجد قيمة للمتغير س تجعل العبارة: (س + ٢)^٢ = س^٢ + ^٢٢ صحيحة؟ وإذا كان كذلك، فأوجد هذه القيمة، وفسر إجابتك.

نعم، صفر عند تعويض بدلاً من س في المعادلة فكلا الطرفين يساوي ^٢٢ = ٤ وهذا يجعل المعادلة صحيحة.

٣٣) مسألة مفتوحة: اكتب وحيدة حد وكثيرة حدود باستعمال المتغير نفسه، أوجد ناتج ضربهما.

٣ن، ٤ن + ١، ١٢ن + ٣ن

٣٤) اكتب: صف خطوات ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود.

لضرب وحيدة حد في كثيرة حدود استعمل خاصية التوزيع اضرب وحيدة الحد في كل حد في كثيرة الحدود ثم بسط بضرب المعاملات معاً واستعمال خاصية ضرب القوى للمتغيرات.

٣٥) يبيع محل ملابس بنطالاً، وقميصاً أسبوعياً، فإذا كان ثمن القميص ٨٠ ريالاً، والبنطال ١٢٠ ريالاً، فأي العبارات الآتية تمثل المبلغ الذي يحصل عليه المحل ثمناً لذلك؟

أ) ٨٠م + ١٢٠ن

ب) ١٢٠م + ٨٠ن

جـ) ٢٠٠(م + ن)

د) ٩٦٠٠م ن

٣٦) إذا كانت أ = ٥س + ٧ص، ب = ٢ص - ٣س، فأوجد أ + ب.

أ) ٢س - ٩ص

ب) ٣ص + ٤س

جـ) ٢س + ٩ص

د) ٢س - ٥ص