حل أسئلة تدرب وحل المسائل

إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة P، فأوجد كلاً من $\cos \theta ,\sin \theta$ في كلّ ممَّا يأتي:

9) $P \left(\frac{{\displaystyle 6}}{{\displaystyle 10}},-\frac{{\displaystyle 8}}{{\displaystyle 10}}\right)$

$sin \mathrm{\Theta }=\frac{-4}{5},cos \mathrm{\Theta }=\frac{3}{5}$

10) $P \left(-\frac{{\displaystyle 10}}{{\displaystyle 26}},-\frac{{\displaystyle 24}}{{\displaystyle 26}}\right)$

$sin \theta =\frac{-12}{13},cos \theta =\frac{-5}{13}$

11) $P \left(\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)$

$sin \Theta =\frac{1}{2},cos \Theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$

12) $P \left(\frac{{\displaystyle \sqrt{6}}}{{\displaystyle 5}},\frac{{\displaystyle \sqrt{19}}}{{\displaystyle 5}}\right)$

$sin \Theta =\frac{\sqrt{19}}{5},cos \Theta =\frac{\sqrt{6}}{5}$

أوجد طول الدورة لكل من الدوال الآتية:

13)

3

14)

8

15)

$°$180

16)

$2\mathrm{\pi }$

17) العجلة الدوارة: يبيّن الشكل المجاور موقع مقعد راكب y بالأقدام عن مركز العجلة بعد t ثانية، إذا تغيَّر ارتفاع المقعد y في العجلة بصورة دورية كدالة في الزمن، فأجب عما يأتي:

a) أنشئ جدولاً يوضّح ارتفاع المقعد y عند الثواني الآتية: 9.5 , 7.5 , 5.5 , 3.75 , 2 , 0 , 11.25, 13, 15.5.

b) أوجد طول دورة الدالة.

12 شهر أو سنة واحدة.

c) مثل الدالة بيانياً، افترض أنَّ المحور الأفقي يمثّل الزمن t، والمحور الرأسي يمثّل الارتفاع.

أوجد القيم الدقيقة لكلّ دالة مثلَّثية ممَّا يأتي:

18) $\sin \frac{7\pi }{3}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

19) $\cos (-{60}^{\circ })$

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

20) $\cos {450}^{\circ }$

0

21) $\sin \frac{11\pi }{4}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

22) $\sin (-{45}^{\circ })$

$\frac{-\sqrt{2}}{2}$

23) $\cos {570}^{\circ }$

$\frac{-\sqrt{3}}{2}$

24) محركات: في المحرّك المجاور، تمثّل (d) المسافة من المكبس إلى مركز الدائرة التي تسمى ناقل الحركة (الكرنك)، وتشكّل دالة في الزمن، إذا علمت أن النقطة R الواقعة على ذراع المكبس تدور بسرعة 150 دورة/ثانية، فاعتمد على ذلك في الإجابة عن السؤالين الآتيين:

a) أوجد طول الدورة بالثواني.

$\frac{1}{150}$

b) إذا كانت أقصر قيمة للمسافة d تبلغ 1 cm، وأكبر قيمة 7 cm، فمثل منحنى الدالة بيانياً، معتبراً أن المحور الأفقي يمثل الزمن، t والمحور الرأسي يمثل المسافة.

25) تمثيلات متعددة: يقطع ضلع الانتهاء للزاوية المرسومة في الوضع القياسي دائرة الوحدة في النقطة P كما يبيِّن الشكل المجاور.

a) هندسياً: انسخ الشكل في دفترك، وارسم ضلع الانتهاء لكل زاوية من الزوايا التي قياساتها 30º, 60º, 150º, 210º , 315º في الوضع القياسي.

b) جدولياً: أنشئ جدولاً للقيم يوضّح ميل كلّ ضلع انتهاء، مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة.

c) تحليلياً: ماذا تستنتج بالنسبة إلى العلاقة بين ظلّ الزاوية والميل؟ وضّح إجابتك.

متروك للطالب.

أوجد القيمة الدقيقة لكلّ مما يأتي:

26) cos 45° - cos 30°

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$

27) (sin 30°)(sin 60°)6

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

28) $2\sin \frac{4\pi }{3}-3\cos \frac{11\pi }{6}$

$\frac{-5\sqrt{3}}{2}$

29) $\cos (-\frac{2\pi }{3})+\frac{1}{3}\sin 3\pi$

$\frac{-1}{2}$

30) ${(\sin {45}^{\circ })}^2+{(\cos {45}^{\circ })}^2$

1

31) $\frac{(\cos {30}^{\circ })(\cos {150}^{\circ })}{\sin {315}^{\circ }}$

$\frac{3\sqrt{2}}{4}$