مسائل مهارات التفكير العليا

32) تحدٍ: في الشكل المجاور إذا كان $\mathrm{△}WJZ$ متطابق الأضلاع $\mathrm{\angle }ZWP\cong \mathrm{\angle }WJM\cong \mathrm{\angle }JZL$، فأثبت أن $\overline{WP}\cong \overline{ZL}\cong \overline{JM}$.

• المعطيات: $\mathrm{△}WJZ$ متطابق الأضلاع $\mathrm{\angle }ZWP\cong \mathrm{\angle }WJM\cong \mathrm{\angle }JZL$
• المطلوب: أثبت أن $\overline{WP}\cong \overline{ZL}\cong \overline{JM}$
• البرهان: نعلم أن $\mathrm{△}WJZ$ متطابق الأضلاع وبما أن المثلث المتطابق الأضلاع يكون متطابق الزوايا، إذاً $\mathrm{\angle }ZWJ\cong \mathrm{\angle }WJZ\cong \mathrm{\angle }JZW$، وبحسب تعريف تطابق الزوايا يكون: $m\mathrm{\angle }ZWJ=m\mathrm{\angle }WJZ=m\mathrm{\angle }JZW$ وبما أن $\mathrm{\angle }ZWP\cong \mathrm{\angle }WJM\cong \mathrm{\angle }JZL$ فإنه بحسب تعريف تطابق الزوايا يكون $m\mathrm{\angle }ZWP=m\mathrm{\angle }WJM=m\mathrm{\angle }JZL$.

وباستعمال مسلمة جمع قياسات الزوايا ينتج أن:

$\begin{array}{rl}m\mathrm{\angle }ZWJ=m\mathrm{\angle }ZWP+m\mathrm{\angle }PWJ,m\mathrm{\angle }WJZ& =m\mathrm{\angle }WJM+m\mathrm{\angle }MJZ,\\ .m\mathrm{\angle }JZW& =m\mathrm{\angle }JZL+m\mathrm{\angle }LZW\end{array}$

وبالتعويض ينتج أن:

$\begin{array}{r}m\mathrm{\angle }ZWP+m\mathrm{\angle }PWJ=m\mathrm{\angle }WJM+m\mathrm{\angle }MJZ=\\ .m\mathrm{\angle }JZL+m\mathrm{\angle }LZW\end{array}$

وبالتعويض مرة أخرى ينتج أن:

$\begin{array}{rl}m\mathrm{\angle }ZWP+m\mathrm{\angle }PWJ=& m\mathrm{\angle }ZWP+m\mathrm{\angle }PJZ=\\ & ,m\mathrm{\angle }ZWP+m\mathrm{\angle }LZW\end{array}$

وبحسب خاصية الطرح للمساواة ينتج أن:

$m\mathrm{\angle }PWJ=m\mathrm{\angle }PJZ=m\mathrm{\angle }LZW$، ومن تعريف التطابق ينتج أن $\mathrm{\angle }PWJ\cong \mathrm{\angle }PJZ\cong \mathrm{\angle }LZW$ وبحسب مسلمة ASA ينتج أن: $△WZL\cong \mathrm{△}ZJM\cong \mathrm{△}JWP$، ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة، فإن $\overline{WP}\cong \overline{ZL}\cong \overline{JM}$.

تبرير: حدد ما إذا كانت كلّ من العبارتين الآتيتين صحيحة أحياناً أو دائماً أو غير صحيحة أبداً، ووضح إجابتك:

33) إذا كان قياس زاوية رأس المثلث المتطابق الضلعين عدداً صحيحاً، فإن قياس كلّ من زاويتي القاعدة عدد صحيح.

أحياناً؛ إذ تكون صحيحة فقط عندما يكون قياس زاوية الرأس عدداً زوجياً.

34) إذا كان قياس كلّ من زاويتي القاعدة عدداً صحيحاً، فإن قياس زاوية الرأس عدد فردي.

غير صحيحة أبداً؛ لأن قياس زاوية الرأس يساوي ((قياس إحدى زاويتي القاعدة)2-180°)، وإذا كان قياس إحدى زاويتي القاعدة عدداً صحيحاً، فإن مجموع قياس زاويتي القاعدة يكون عدداً زوجياً، وبالتالي فإن قياس زاوية الرأس سيكون زوجياً أيضاً.

35) مسألة مفتوحة: ارسم مثلثاً متطابق الضلعين، فيه زاويتا القاعدة منفرجتان إن أمكنك ذلك، وإلا فوضّح السبب.

لا يمكن أن يحوي المثلث أكثر من زاوية منفرجة؛ لذا لا يمكن رسم المثلث المطلوب.

36) اكتب: وضّح كيف تستعمل قياس زاوية قاعدة المثلث المتطابق الضلعين لإيجاد قياس زاوية الرأس.

مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي °180 وزاويتا القاعدة لهما القياس نفسه؛ لذا فإن قياس زاوية رأس المثلث يساوي °180 ناقصاً مثلي قياس إحدى زاويتي القاعدة.

37) في الشكل المجاور $\overline{AE},\overline{BD}$ تنصف كل منهما الأخرى في النقطة C أي المعلومات الإضافية الآتية تعد كافية لإثبات أن $\overline{DE}\cong \overline{DC}$؟

• $\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }BCA$
• $\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }D$
• $\mathrm{\angle }ACB\cong \mathrm{\angle }EDC$
• $\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }B$

38) إذا كان X=-3، فإن قيمة 4X²-7X+5 تساوي:

• 2
• 20
• 42
• 62