حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي لقيم θ جميعها الموضحة بجانب كل منها:

1) ${\cos }^2\theta +2\cos \theta +1=0;0^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& co{s}^2\theta +2cos\theta +1=0\\ & \therefore (cos\theta +1{)}^2=0\\ & \therefore cos\theta =-1\\ & \therefore \theta ={80}^{\circ }\end{array}$

2) $2{\cos }^2\theta +\cos \theta =1;0^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& 2co{s}^2\theta +cos\theta =1\\ & \therefore (cos\theta +1)(2cos\theta -1)=0\\ & \therefore cos\theta =-1cos\theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore \theta ={180}^{\circ },{60}^{\circ },{300}^{\circ }\end{array}$

3) $-2{\sin }^2\theta =7-15\sin \theta ;0^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& -2si{n}^2\theta =7-15sin\theta \\ & \therefore 2si{n}^2\theta -15sin\theta +7=0\\ & \therefore (2sin\theta -1)(sin\theta -7)=0\\ & \therefore sin\theta =\frac{1}{2}sin\theta =7\\ & \therefore \theta ={150}^{\circ },{30}^{\circ }\end{array}$

4) $\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}=0;0^{\circ }\le \theta \le {240}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& cos\theta +\frac{\sqrt{3}}{2}=0\\ & \therefore cos\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & \therefore \theta ={150}^{\circ },{30}^{\circ }\end{array}$

حل كل معادلة مما يأتي، لقيم θ جميعها إذا كان قياس θ بالراديان:

5) 4sin²θ - 1 = 0

$\begin{array}{rl}& 4si{n}^2\theta -1=0\\ & \therefore si{n}^2\theta =\frac{1}{4}\\ & \therefore sin\theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore \theta =\left\{\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi ,\pm \frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\}\end{array}$

6) 2cos² θ = 1

$\begin{array}{rl}& 2co{s}^2\theta =1\\ & \therefore co{s}^2\theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore cos\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \therefore \theta =\left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\right\}\end{array}$

7) $\sin \frac{\theta }{2}-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}=0$

$\begin{array}{rl}& sin\frac{\theta }{2}-2si{n}^2\frac{\theta }{2}=0\\ & sin\frac{\theta }{2}(1-2sin\frac{\theta }{2})=0\\ & sin\frac{\theta }{2}=01-2sin\frac{\theta }{2}=0\\ & \frac{\theta }{2}=0,180sin\frac{\theta }{2}=-\frac{1}{2}\\ & \theta =0^{\circ },{360}^{\circ }\frac{\theta }{2}=30\\ & \theta ={60}^{\circ }\end{array}$

8) 2cos² θ + 4cos θ = -2

$\begin{array}{rl}& \therefore 2co{s}^2\theta +4cos\theta =-2\\ & \therefore co{s}^2\theta +2cos\theta +1=0\\ & \therefore (cos\theta +1{)}^2=0\\ & \therefore cos\theta =-1\\ & \therefore \theta =\{\pi +2k\pi \}\end{array}$

حل كل معادلة مما يأتي لقيم θ جميعها إذا كان قياس θ بالدرجات:

9) cos²θ - sin²θ + 2 = 0

$\begin{array}{rl}& \cos 2\theta -{\sin }^2\theta +2=0\\ & \therefore 1-2{\sin }^2\theta -{\sin }^2\theta +2=0\\ & \therefore 3-3{\sin }^2\theta =0\\ & \therefore {\sin }^2\theta =1\\ & \therefore \sin \theta =1\\ & \therefore \theta =\{{90}^{\circ }+k{180}^{\circ }\}\end{array}$

10) sin²θ - sinθ = 0

$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\theta -\sin \theta =\mathbf{0}\\ & \therefore \sin \theta (1-\sin \theta )=\mathbf{0}\\ & \therefore \sin \theta =0,\sin \theta =1\\ & \therefore \theta =\{k\mathbf{180},{90}^{\circ }+k\mathbf{360}\}\end{array}$

11) 2sin²θ - 1 = 0

$\begin{array}{rl}& 2{\sin }^2\theta -1=0\\ & \therefore {\sin }^2\theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \therefore \theta =\{{45}^{\circ }+k{90}^{\circ }\}\end{array}$

12) cosθ - 2cosθsin θ = 0

$\theta =\{{30}^{\circ }+k{360}^{\circ },{150}^{\circ }+k{360}^{\circ },{90}^{\circ }+k{180}^{\circ }\}$

13) الليل والنهار: إذا كان عدد ساعات النهار في إحدى المدن هو d، ويمكن تمثيلها بالمعادلة $d=3\sin \frac{2\pi }{365}t+12$، حيث t عدد الأيام بعد 21 مارس، فأجب عما يأتي:

a) في أي يوم سيكون عدد ساعات النهار في المدينة $10\frac{1}{2}h$ تماماً؟

عدد ساعات النهار 10.5 ساعة، ويكون ذلك بعد 213 أو 335 يوماً بعد يوم 21 مارس، وهذا يعني أن ساعات النهار ستكون في 20 اكتوبر أو 19 أكتوبر، ستكون عدد ساعات النهار 10.5 ساعة.

b) باستعمال النتيجة في الفرع a، ما أيام السنة التي يكون فيها عدد ساعات النهار $10\frac{1}{2}$ ساعات على الأقل إذا علمت أن أطول نهار في السنة يحدث تقريباً يوم 22 يونيو؟ فسر إجابتك.

كل يوم من 19 فبراير إلى 20 أكتوبر، بما أن طول نهار في السنة يحدث تقريباً يوم 22 يونيو لذا فإن الأيام بين 19 فبراير إلى 20 أكتوبر تتزايد في الطول حتى يوم 22 يونيو ثم يبدأ النهار بالنقصان إلى يوم 20 اكتوبر.

حل كل معادلة مما يأتي:

14) ${\sin }^{2}2\theta +{\cos }^2\theta =0$ لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات.

$\begin{array}{rl}& {\sin }^{2}2\theta +{\sin }^2\theta =0\\ & \therefore 4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =0\\ & \therefore {\sin }^2\theta (4{\cos }^2\theta +1)=0\\ & \therefore \sin \theta =0,{\cos }^2\theta =-\frac{1}{4}\\ & \therefore \theta =\{{90}^{\circ }+k\left({\mathbf{180}}^{\circ }\right)\}\end{array}$

15) $\sin 2\theta -\cos \theta =0$ لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات.

$\begin{array}{rl}& \sin 2\theta -\cos \theta =\mathbf{0}\\ & \therefore 2\sin \theta \cos \theta -\cos \theta =\mathbf{0}\\ & \therefore \cos \theta (2\sin \theta -1)=\mathbf{0}\\ & \therefore \cos \theta =0,\sin \theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore \theta =\{k\left({180}^{\circ }\right),{30}^{\circ }+k\left({360}^{\circ }\right),{150}^{\circ }+k\left({360}^{\circ }\right)\}\end{array}$

16) tanθ=1 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات.

$\begin{array}{rl}& \tan \theta =1\\ & \therefore \theta =\{{45}^{\circ }+k{180}^{\circ },{45}^{\circ }+k\left({180}^{\circ }\right)\}\end{array}$

17) ${\cos }^2\theta =\frac{1}{4};0^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& co{s}^2\theta =\frac{1}{4}\\ & \therefore cos\theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore \theta =\{{60}^{\circ },{120}^{\circ },{240}^{\circ },{300}^{\circ },{135}^{\circ },{225}^{\circ }\}\end{array}$

18) $2{\sin }^2\theta =1;{90}^{\circ }<\theta <{270}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& 2si{n}^2\theta =1\\ & \therefore si{n}^2\theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore sin\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \therefore \theta =\{{135}^{\circ },{225}^{\circ }\}\end{array}$

19) $\sin 2\theta -\cos \theta =0;0\le \theta \le 2\pi$

$\begin{array}{rl}& sin2\theta -cos\theta =0\\ & \therefore 2sin\theta cos\theta -cos\theta =0\\ & \therefore cos\theta (2sin\theta -1)=0\\ & \therefore cos\theta =0,sin\theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore \theta =\{\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\}\end{array}$

20) $4{\sin }^2\theta -1=0;{180}^{\circ }<\theta <{360}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& 4si{n}^2\theta -1=0\\ & \therefore si{n}^2\theta =\frac{1}{4}\\ & \therefore sin\theta =\frac{1}{2}\\ & \therefore \theta =\{{210}^{\circ },{330}^{\circ }\}\end{array}$

21) tan θ - sin θ = 0 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات.

$\begin{array}{rl}& tan\theta -sin\theta =\mathbf{0}\\ & \therefore \frac{sin\theta }{cos\theta }-sin\theta =\mathbf{0}\\ & \therefore \frac{sin\theta -cos\theta sin\theta }{cos\theta }=\mathbf{0}\\ & \therefore sin\theta -cos\theta sin\theta \\ & \therefore sin\theta (1-cos\theta )=\mathbf{0}\\ & \therefore sin\theta =\mathbf{0},cos\theta =\mathbf{1}\\ & \therefore \theta =\{{\mathbf{0}}^{\circ }+k{\mathbf{180}}^{\circ }\}\end{array}$

22) 4sin² θ = 4 sin θ - 1 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات.

$\theta =\{{30}^{\circ }+k{360}^{\circ },{150}^{\circ }+k{360}^{\circ }\}$

23) ناطحات سحاب: يبلغ ارتفاع برج الفيصلية في الرياض 876ft، أوجد θ إذا كان طول ظله في الشكل أدناه 685m.

$\begin{array}{rl}& \tan \theta =\frac{876}{685}=1.28\\ & \therefore \theta ={21}^{\circ }\end{array}$

24) أنهار: تمثل الدالة $y=3\sin \left[\frac{\pi }{6}(x-4)\right]+8$، عمق نهر خلال أحد الأيام؛ حيث 24 , … , 2 , 1 , 0 = x و24 تدل على الساعة الثانية عشرة عند منتصف الليل، 13 تدل على الساعة الواحدة بعد الظهر، وهكذا....

a) ما أقصى عمق للنهر في ذلك اليوم؟

y=11m

b) في أي وقت نحصل على أقصى عمق؟

في الساعة 7 صباحاً، 7 مساءً.

حل كل معادلة مما يأتي، لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالراديان:

25) $(\cos \theta )(\sin 2\theta )-2\sin \theta +2=0$

$\begin{array}{rl}& cos\theta sin2\theta -2sin\theta +2=0\\ & \therefore cos\theta (2sin\theta cos\theta )-2sin\theta +2=0\\ & \therefore 2sin\theta co{s}^2\theta -2sin\theta +2=0\\ & \therefore sin\theta co{s}^2\theta -sin\theta +1=0\\ & \therefore sin\theta (co{s}^2\theta -1)+1=0\\ & \therefore sin\theta (-si{n}^2\theta )+1=0\\ & \therefore -sin3=-1\\ & \therefore sin\theta =1\\ & \therefore \theta =\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \}\end{array}$

26) $2{\sin }^2\theta +(\sqrt{2}-1)\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta =\{\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi \}$

27) $2\sin \theta =\sin 2\theta$

$\begin{array}{rl}& 2sin\theta =sin2\theta \\ & \therefore 2sin\theta =2sin\theta cos\theta \\ & \therefore 2sin\theta -2sin\theta co{s}^2\theta =0\\ & \therefore 2sin\theta (1-co{s}^2\theta )=0\\ & \therefore sin\theta =0,\therefore sin\theta =1\\ & \therefore \theta =\{\frac{5\pi }{\mathbf{6}}+2k\pi ,\frac{7\pi }{\mathbf{4}}+2k\pi \}\end{array}$

حل المعادلتين الآتيتين، لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالدرجات:

28) $\sin 2\theta +\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$

$\theta =\{{30}^{\circ }+{360}^{\circ }k,{150}^{\circ }+{360}^{\circ }k,{330}^{\circ }+{360}^{\circ }k\}$

29) $1-{\sin }^2\theta -\cos \theta =\frac{3}{4}$

$\theta =\{{120}^{\circ }+{360}^{\circ }k,{240}^{\circ }+{360}^{\circ }k\}$

30) ألماس: حسب قانون سنيل n₁sin i= n₂sin r (snell's law)، حيث n₁ معامل الانكسار للضوء في الوسط الذي يخرج منه الضوء، و n₂ معامل الانكسار للوسط الذي يدخل فيه الضوء وi قياس زاوية السقوط وr قياس زاوية الانكسار.

a) إذا كان معامل الانكسار للماس 2.42، ومعامل الانكسار للهواء 1، وقياس زاوية سقوط الضوء على حجر ألماس هو °35، فما قياس زاوية الانكسار؟

حوالي 13.71°

b) اشرح كيف يستطيع بائع المجوهرات استعمال قانون سنيل؛ لمعرفة إذا كان هذا ألماساً حقيقياً ونقياً أم لا؟

بقياس زاوية السقوط للضوء وانعكاساتها لتحديد معامل انكسار الضوء فإذا كان معامل الانكسار يساوي 2.42 يكون ماساً نقياً.