حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد خصائص القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانياً:

1) $\frac{(x+2{)}^2}{9}+\frac{y^2}{49}=1$

• الاتجاه: رأسي.
• المركز: (2,0-)
• البؤرتان: $(-2,\pm 2\sqrt{10})$
• الرأسان: $(-2,\pm 7)$
• الرأسان المرافقان: (5,0-) ,(1,0)
• المحور الأكبر: x=-2
• المحور الأصغر: y=0

2) $\frac{(x+4{)}^2}{9}+\frac{(y+3{)}^2}{4}=1$

• الاتجاه: أفقي.
• المركز: (-4,3-)
• البؤرتان: $(-4\pm \sqrt{5},-3)$
• الرأسان: $(-1,-3)\cdot (-7,-3)$
• الرأسان المرافقان: $(-4,-5)\cdot (-4,-1)$
• المحور الأكبر: y=-3
• المحور الأصغر: x=-4

3) $x^2+9y^2-14x+36y+49=0$

• الاتجاه: أفقي.
• المركز: (7,2)
• البؤرتان: $(7\pm 4\sqrt{2},-2)$
• الرأسان: $(13,-2)\cdot (1,-2)$
• الرأسان المرافقان: $(7,-4)\cdot (7,0)$
• المحور الأكبر: y=-2
• المحور الأصغر: x=7

4) $4x^2+y^2-64x-12y+276=0$

• الاتجاه: رأسي.
• المركز: (8,6)
• البؤرتان: $(8,\pm 2\sqrt{3})$
• الرأسان: (8,10) ,(8,2)
• الرأسان المرافقان: (10,6) ,(6,6)
• المحور الأكبر: x=8
• المحور الأصغر: y=6

اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:

5) الرأسان (-13,3) ,(-7,3-) والبؤرتان (-11,3) ,(-5,3-).

• بما أن الرأسان $(h-a,k)=(-7,-3)\cdot (h+a,k)=(13,-3)$ لذا فإن $a=10\cdot h=3\cdot k=-3$
• بما أن البؤرتان $(h-c,k)=(-5,-3)\cdot (h+c,k)=(11,-3)$ لذا فإن c=8 وبالتالي فإن $b=\sqrt{100-64}=6$

وبالتالي إن معادلة القطع الناقص هي: $\frac{(x-3{)}^2}{100}+\frac{(y+3{)}^2}{36}=1$

6) الرأسان (-4,9) ,(4,3) وطول المحور الأصغر 8 وحدات.

• بما أن الرأسان $(h,k-c)=(4,-9)\cdot (h,k+c)=(4,3)$ لذا فإن $c=6\cdot h=4\cdot k=-3$
• بما أن طول المحور الأصغر 2b=8 فإن b=4
• وبالتالي فإن $a=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}$
• وبالتالي إن معادلة القطع الناقص تكون $\frac{(x-4{)}^2}{16}+\frac{(y+3{)}^2}{20}=1$

7) إحداثيات نهايتي المحور الأكبر (1,2)، (13,2-) وإحداثيات نهايتي المحور الأصغر (6,0-)، (6,4-).

• نستخدم نهايتي المحور الأكبر في إيجاد a حيث $a=\frac{1-(-13)}{2}=7$
• نستخدم نهايتي المحور الأكبر في إيجاد b حيث $b=\frac{4-0}{2}=2$

وبما أن الإحداثي y لنهايتي المحور الأكبر متساويان فإن المحور الأكبر أفقي ومعادلة القطع الناقص هي: $\frac{(x+6{)}^2}{49}+\frac{(y-2{)}^2}{4}=1$

8) البؤرتان (-6,3-)، (6,9-) وطول المحور الأكبر 20 وحدة.

بما أن البؤرتان $(h,k-c)=(-6,-3)\cdot (h,k+c)=(-6,9)$ لذا فإن $c=6\cdot k=3\cdot h=-6$

بما أن طول المحور الأكبر 2a=20 فإن a=10

وبالتالي فإن $b=\sqrt{100-36}=8$

وبما أن الإحداثي x لنهايتي البؤرتان متساويان فإن المحور الأكبر الرأسي، ومعادلة القطع الناقص هي: $\frac{(x+6{)}^2}{64}+\frac{(y-3{)}^2}{100}=1$

9) الرأسان المرافقان (3,7-) ,(13,7-) وطول المحور الأكبر 16 وحدة.

وبما أن الرأسان المترافقان $(\mathit{h}-\mathit{b},\mathit{k})=(-13,7)\cdot (\mathit{h}+\mathit{b},\mathit{k})=(-3,7)$ لذا فإن: $b=5\cdot h=-8\cdot k=7$

بما أن طوال المحور الأكبر 2a=16 فإن a=8

وبما أن الإحداثي x للرأسان المرافقان مستاويان فإن المحور الأكبر الرأسي، فإن معادلة القطع الناقص هي $\frac{(x+8{)}^2}{25}+\frac{(y-7{)}^2}{64}=1$

حدد الاختلاف المركزي للقطع الناقص المعطاة معادلته في كل ما يأتي:

10) $\frac{(x+5{)}^2}{72}+\frac{(y-3{)}^2}{54}=1$

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{72-54}}{\sqrt{72}}=0.5$

11) $\frac{(x+6{)}^2}{40}+\frac{(y-2{)}^2}{12}=1$

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{40-12}}{\sqrt{40}}=0.837$

12) $\frac{(x-8{)}^2}{14}+\frac{(y+3{)}^2}{57}=1$

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{57-14}}{\sqrt{57}}=0.869$

13) $\frac{(x+8{)}^2}{27}+\frac{(y-7{)}^2}{33}=1$

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{33-27}}{\sqrt{33}}=0.426$

14) سباق: وضح الشكل المجاور مضمار سباق على شكل قطع ناقص اختلافه المركزي 0.75.

a) ما أقصى عرض w لمضمار السباق؟

$\begin{array}{rl}& e=\frac{c}{a},\therefore 0.75=\frac{c}{500}\\ & \therefore c=375\\ & b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{500}^2-{375}^2}=330.72\\ & \therefore 2b=661.44ft\end{array}$

b) اكتب معادلة القطع الناقص إذا كانت نقطة الأصل هي مركز المضمار.

$\frac{x^2}{25000}+\frac{y^2}{109375}=1$

اكتب معادلة الدائرة التي تحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي، ثم مثل منحناها بيانياً.

15) المركز (3,0) ونصف القطر 2.

$(x-3{)}^2+y^2=4$

16) المركز (-4,3-) والقطر 12.

$(x+6{)}^2+(y+3{)}^2=36$

17) المركز هو نقطة الأصل، ونصف القطر 7.

$(x-2{)}^2+y^2=49$

اكتب معادلة الدائرة المعطى طرفا قطر فيها في كل مما يأتي:

(2, 1) , (2, -4) (18

$(x-2{)}^2+(y+1.5{)}^2=\frac{25}{4}$

(-4, -10) , (4, -10) (19

$x^2+(y+10{)}^2=16$

(5, -7) , (-2, -9) (20

$(x-1.5{)}^2+(y+8{)}^2=\frac{53}{4}$

(-6, 4) , (4, 8) (21

$(x+1{)}^2+(y+6{)}^2=29$

22) معادلات: ستنتج الصورة العامة لمعادلة القطع الناقص الذي محوره الأكبر رأسي، ومركزه نقطة الأصل.

افترض أن p(x,y) نقطة على منحنى القطع الناقص الذي مركزه (0,0) وإحداثيات بؤرته ورؤوسه موضحه باستعمال تعريف القطع الناقص والبعد بين أي نقطة على المنحنى عن البؤرتين ثابت.

$\begin{array}{rl}& \sqrt{x^2+(y-c{)}^2}+\sqrt{x^2+(y+c{)}^2}=2a\\ & \sqrt{x^2+(y-c{)}^2}=2a-\sqrt{x^2+(y+c{)}^2}\\ & x^2+y^2-2cy+c^2=4a^2-4a\sqrt{x^2+(y+c{)}^2}+x^2+y^2+2cy+c^2\\ & 4a\sqrt{x^2+(y+c{)}^2}=4a^2+4cy\\ & a^2(x^2+y^2+2cy+c^2)=a^4+2a^{2}cy+c^2{y}^2\\ & a^2{x}^2+a^2{y}^2+2a^{2}cy+a^2{c}^2=a^4+2a^{2}cy+c^2{y}^2\\ & a^2{x}^2+a^2{y}^2+a^2{c}^2=a^4+c^2{y}^2\\ & a^2{x}^2+a^2{y}^2-c^2{y}^2=a^4-a^2{c}^2\\ & a^2-c^2=b^2\to \to a^2{x}^2+b^2{y}^2=a^2{b}^2\\ & \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\end{array}$

23) بالرجوع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس، أجب عما يأتي:

a) أوجد طول المحور الأصغر لمدار كوكب عطارد.

طول المحور الأصغر 71.35 مليون ميل.

b) أوجد الاختلاف المركزي للمدار.

e=0.203

أوجد المركز والبؤرتين والرأسين لكل قطع ناقص مما يأتي:

24) $\frac{(x+5{)}^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$

• المركز: (5,0-)
• البؤرتين: (2,0-) ,(8,0-)
• الرأسين: (1,0-) ,(9,0-)

25) $9y^2-18y+25x^2+100x-116=0$

• المركز: (2,1-)
• البؤرتين: (-2,3-) ,(2,5-)
• الرأسين: (-2,4-) ,(2,6-)

26) $65x^2+16y^2+130x-975=0$

• المركز: (1,0-)
• البؤرتين: (1,7-) ,(-1,7-)
• الرأسين: $(-1,-\sqrt{65})\cdot (-1,\sqrt{65})$

27) شاحنات: تستعمل في شاحنات نقل السوائل خزانات مقطعها العرضي على شكل قطع ناقص؛ لأنها أكثر ثباتاً من الخزانات الأسطوانية، ويكون السائل فيها أقل حركة.

a) ارسم المقطع العرضي لخزان الشاحنة أعلاه على مستوى إحداثي.

b) اكتب معادلة تمثل شكل المقطع العرضي للخزان.

$\frac{x^2}{11.56}+\frac{y^2}{4.41}=1$

c) أوجد الاختلاف المركزي للقطع الناقص الذي يمثل المقطع العرضي للخزان.

e=0.79

اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:

28) الرأسان (10,0) ,(10,0-) والاختلاف المركزي $\frac{3}{5}$.

$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

29) الرأسان المرافقان (6,1) ,(0,1) والاختلاف المركزي $\frac{4}{5}$

$\frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{(y+1{)}^2}{25}=1$

30) المركز (-2,4) وإحدى البؤرتين $(2,-4+2\sqrt{5})$ والاختلاف المركزي $\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\frac{(x-2{)}^2}{16}+\frac{(y+4{)}^2}{36}=1$

31) الوتر البؤري للقطع الناقص هو قطعة مستقيمة تمر بإحدى البؤرتين، وتعامد المحور الأكبر، ويقع طرفاها على منحنى القطع، ويساوي طولها $\frac{2b^2}{a}$ وحدة، حيث a نصف طول المحور الأكبر، b نصف طول المحور الأصغر، اكتب معادلة قطع ناقص أفقي مركزه (3,2) وطول محوره الأكبر 16 وحدة، وطول وتره البؤري 12 وحدة.

$\frac{(x-3{)}^2}{64}+\frac{(y-2{)}^2}{48}=1$

32) هندسة: تتقاطع المستقيمات $x-5y=-3,2x+3y=7,4x-7y=27$ لتشكل مثلثاً، اكتب معادلة الدائرة التي تمر برؤوس المثلث.

$(x-6.5{)}^2+(y-4.5{)}^2=32.5$

اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي تمر بالنقاط المعطاة في كل مما يأتي:

(2, 3), (8, 3), (5, 6) (33

$(x-5{)}^2+(y-3{)}^2=9$

(1,-11),(-3,-7),(5,-7) (34

$(x-1{)}^2+(y+7{)}^2=16$

(0, 9), (0, 3), (-3, 6) (35

$x^2+(y-6{)}^2=9$

(7, 4), (-1, 12), (-9, 4) (36

$(x+1{)}^2+(y-4{)}^2=64$