حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد خصائص القطع الزائد المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانياً:

1) $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{17}=1$

• الاتجاه رأسي، المركز (0,0)
• الرأسان (-0,2) ,(0,2)
• البؤرتان $(0,\sqrt{21})\cdot (0,-\sqrt{21})$
• خط التقارب $y=\pm \frac{2\sqrt{17}}{17}x$

2) $\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{30}=1$

• الاتجاه: أفقي.
• المركز: (0,0)
• الرأسان: $(\pm 7,0)$
• البؤرتان: $(\mp \sqrt{79},0)$
• خط التقارب: $y=\mp \frac{\sqrt{30}}{7}x$

3) $\frac{(x-1{)}^2}{9}-\frac{(y-5{)}^2}{36}=1$

• الاتجاه: أفقي.
• المركز: (0,0)
• الرأسان: $(\pm 3,0)$
• البؤرتان: $(\mp \sqrt{30},0)$
• خط التقارب: $y=\mp \frac{\sqrt{21}}{3}x$

4) $\frac{(y+4{)}^2}{49}-\frac{(x-4{)}^2}{64}=1$

• الاتجاه: أفقي.
• المركز (0,0)
• الرأسان: $(0,\mp 5)$
• البؤرتان: $(0,\pm \sqrt{39})$
• خط التقارب: $y=\pm \frac{5\sqrt{14}}{14}x$

5) $3x^2-2y^2=12$

• الاتجاه: أفقي.
• المركز (0,0)
• الرأسان $(\pm 2,0)$
• البؤرتان: $(\mp \sqrt{\mathbf{10}},\mathbf{0})$
• خط التقارب: $y=\mp \frac{\sqrt{6}}{2}x$

6) $3y^2-5x^2=15$

• الاتجاه: رأسي.
• المركز (0,0)
• الرأسان: $(0,\mp \sqrt{5})$
• البؤرتان $(0,\pm 2\sqrt{2})$
• خط التقارب $y=\mp \frac{\sqrt{15}}{3}x$

7) إضاءة: يمكن تمثيل الضوء المنعكس من مصباح طاولة على جدار بقطع زائد معادلته $\frac{y^2}{225}-\frac{x^2}{81}=1$ مثل منحنى القطع الزائد بيانياً.

اكتب معادلة كل قطع زائد مما يأتي على الصورة القياسية، ثم حدد خصائصه، ومثل منحناه بيانياً:

x² - 4y² - 6x - 8y = 27 (8

• الاتجاه: أفقي.
• المركز: (-3,1)
• الرأسان: $(3\pm 4\sqrt{2},-1)$
• البؤرتان: $(3\pm 2\sqrt{\mathbf{10}},-1)$
• خط التقارب: $y+1=\mp \frac{2\sqrt{19}}{19}(x-3)$

-x² + 3y² - 4x + 6y = 28 (9

• الاتجاه: رأسي.
• المركز (-2,1-)
• الرأسان: $(-2,2),(-2,-4)$
• البؤرتان: $(-2,5),(-2,-7)$
• خط التقارب: $y+1=\mp \frac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$

-5x² + 2y² - 70x - 8y = 287 (10

• الاتجاه: رأسي.
• المركز: (7,2-)
• الرأسان:$(-7,-3)\cdot (-7,7)$
• البؤرتان: $(-7,2\mp \sqrt{35})$
• خط التقارب: $y+2=\mp \frac{\sqrt{10}}{2}(x+7)$

9y² - 4x² - 54y + 32x - 19 = 0 (11

• الاتجاه: رأسي.
• المركز: (4,3)
• الرأسان: (4,5) ,(4,1)
• البؤرتان: $(4,3\mp \sqrt{13})$
• خط التقارب: $y-3=\mp \frac{2}{3}(x-4)$

16x² - 9y² + 128x + 36y + 76 = 0 (12

• الاتجاه: أفقي.
• المركز (4,2-)
• الرأسان: (7,2-) , (1,2-)
• البؤرتان: $(-9,-2)\cdot (1,2)$
• خط التقارب: $y-2=\mp \frac{4}{3}(x+4)$

اكتب معادلة القطع الزائد الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:

13) البؤرتان (-1,7-)، (1,9-) وطول المحور المرافق 14 وحدة.

$\frac{(y-1{)}^2}{15}-\frac{(x+1{)}^2}{49}=1$

14) الرأسان (5,5-)، (7,5) والبؤرتان (9,5-)، (11,5).

$\frac{(x-1{)}^2}{39}-\frac{(y-5{)}^2}{64}=1$

15) الرأسان (1,3-)، (1,9-) وخطا التقارب $y=\pm \frac{3}{7}x+\frac{45}{7}$.

$\frac{(y-6{)}^2}{9}-\frac{(x+1{)}^2}{49}=1$

16) البؤرتان (17,7-)، (9,7) وخطا التقارب $y=\pm \frac{5}{12}x+\frac{104}{12}$

$\frac{(x+4{)}^2}{144}-\frac{(y-7{)}^2}{25}=1$

17) المركز (7,2-)، وأحد خطي التقارب $y=\frac{7}{5}x+\frac{59}{5}$ والمحور القاطع أفقياً وطوله 10 وحدات.

$\frac{(x+7{)}^2}{25}-\frac{(y-2{)}^2}{7}=1$

18) الرأسان (-2,2)، (2,10) وطول المحور المرافق 16 وحدة.

$\frac{(y-4{)}^2}{36}-\frac{(x-2{)}^2}{64}=1$

19) الاختلاف المركزي $\frac{7}{6}$ والبؤرتان عند (-13,2)، (-1,2-).

$\frac{(x-6{)}^2}{36}-\frac{(y+2{)}^2}{13}=1$

20) هندسة معمارية: يبين الشكل المجاور مخطط أرضية مكتب.

a) اكتب معادلة تمثل فرعي المنحنى في الشكل.

$\frac{(y-4{)}^2}{9}-\frac{7(x-5{)}^2}{225}=1$

b) إذا كانت كل وحدة في المستوى الإحداثي تمثل 15 ft، فما أقصر عرض لأرضية المكتب؟

90 ft.

حدد الاختلاف المركزي للقطع الزائد المعطاة معادلته في كل مما يأتي:

21) $\frac{(y-1{)}^2}{10}-\frac{(x-6{)}^2}{13}=1$

e=1.52

22) $\frac{(x+4{)}^2}{24}-\frac{(y+1{)}^2}{15}=1$

e=1.27

23) $\frac{(x-3{)}^2}{38}-\frac{(y-2{)}^2}{5}=1$

e=1.06

24) $\frac{(y+2{)}^2}{32}-\frac{(x+5{)}^2}{25}=1$

e=1.33

25) $3x^2-2y^2+12x-12y=42$

e=1.58

26) $-x^2+7y^2+24x+70y=-24$

e=2.83

27) طيران: يقع المطاران B، A على بعد 72 km كل منهما عن الآخر، بحيث يقع المطار B جنوب A، وعند لحظة ما كان بعد طائرة عن المطار B يزيد بمقدار 18 km عن بعدها عن المطار A.

a) اكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل، ويقع المطاران عند بؤرتيه، وتقع الطائرة على منحناه عند تلك اللحظة.

$\frac{y^2}{81}-\frac{x^2}{1215}=1$

b) مثل منحنى القطع الزائد بيانياً مع توضيح فرع القطع الذي تقع عليه الطائرة عند تلك اللحظة.

c) إذا كانت الطائرة في تلك اللحظة على بعد 40 km شرق كلا المطارين، فأوجد إحداثيي موقع الطائرة.

(40,13.7).

28) هندسة معمارية: يأخذ برج " كوب بورت” في اليابان شكل مجسم ناتج عن دوران قطع زائد حول محوره المرافق، افترض أن قيمة الاختلاف المركزي للقطع الزائد الذي نتج عن دوران البرج تساوي 19.

a) إذا كان أقصر عرض للبرج هو 8 m، فما معادلة القطع الزائد؟

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5760}=1$

b) إذا كان ارتفاع قمة البرج عن مركز القطع الزائد هو 32 m، وانخفاض القاعدة عن المركز هو 76 m، فأوجد نصف قطر القمة ونصف قطر القاعدة.

• نصف قطر القمة 4.3m تقريباً.
• نصف قطر القاعدة 5.7m تقريباً.

اكتب معادلة القطع الزائد الممثل بيانياً في كل مما يأتي:

29)

$\frac{y^2}{10}-\frac{(x+3{)}^2}{16}=1$

30)

$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$

31) طقس: يقف محمد وعلي في مكانين، البعد بينهما 4000 ft، إذا علمت أن الفرق الزمني بين سماع محمد لصوت رعد وسماع علي هو 3sec، وأن سرعة الصوت sec/ft 1100، فأوجد معادلة القطع الزائد الأفقي الذي يقع عليه مصدر البرق.

$\frac{x^2}{2722500}-\frac{y^2}{1277500}=1$

32) يتشكل القطع الزائد المتطابق الساقين عندما يكون خطا تقاربه متعامدين، وb = a عند كتابة معادلته على الصورة القياسية، اكتب معادلة القطع الزائد المتطابق الساقين في الشكل المجاور.

$\frac{2x^2}{121}-\frac{2y^2}{121}=1$

33) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذه المسألة نوعاً خاصاً من القطوع الزائدة يسمى القطع الزائد المرافق، ويظهر هذا القطع عندما يكون المحور المرافق لقطع زائد هو المحور القاطع لقطع زائد آخر.

a) بيانياً: مثل منحنى القطع $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$ ومنحنى القطع $\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1$ على المستوى الإحداثي نفسه.

b) تحليلياً: قارن بين المنحنيين من حيث: البؤرتان، الرأسان، خطا التقارب.

البؤرتان للمنحنى الأول هم (10,0-)، (10,0) والبؤرتان للمنحنى الثاني (-0,10)، (0,10) والرأسان للمنحنى الأول (6,0-)، (6,0) والرأسان للمنحنى الثاني (-0,6)، (0,6) والمنحنيان لهما نفس خطا التقارب.

c) تحليلياً: اكتب معادلة القطع الزائد المرافق للقطع الذي معادلته $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$

d) بيانياً: مثل منحنيي القطعين في الفرع c.

e) لفظياً: كون تخميناً حول تشابه القطعين الزائدين المترافقين.

القطعان الزائدان المرافقان لهما نفس خط التقارب ولهما نفس البعد بين المركز والبؤرتين.