حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

34) مسألة مفتوحة: اكتب معادلة لقطع زائد يكون فيه طول المحور القاطع يساوي نصف المسافة بين البؤرتين.

$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{15}=1$

35) تبرير: افترض أن $r{x}^2=-s{y}^2-t$، حيث r,s,t أعداد ثابتة صف نوع القطع المخروطي الناتج في كل حالة، واشرح تبريرك.

rs = 0 (a

قطع مكافئ، إذا كان rs=0 لذا فإما أن الحد x² يساوي 0، أو أن الحد y² يساوي الصفر، وبما أن المعادلة لها فقط حد مربع وحيد فإنها ستكون دالة قطع مكافئ.

b) $rS>0$

قطع ناقص، إذا كان $rS>0$ فإن r و s كلاهما أكبر من 0 أو كلاهما أقل من 0، وفي كلتا الحالتين فإن الحدين المربعين لهما نفس الإشارة، لذا ستكون معادلة قطع ناقص.

r = s (c

دائرة، إذا كان r=s فإن معاملي الحدين التربيعين المضافين متساويان ويمكن إعادة كتابة المعادلة بحيث يصبح معامل كل منهما يساوي 1، لذا فالمعادلة تمثل دائرة.

d) $rs<0$

قطع زائد، إذا كان $rs<0$ فإن r وs مختلفان في الإشارة أي أن الحدين التربيعيين مختلفان في الإشارة لذا فالمعادلة معادلة قطع زائد.

36) تبرير: فترض أنك أعطيت اثنتين من خصائص القطع الزائد الآتية: رأسين، بؤرتين، المحور القاطع، المحور المرافق، خطي تقارب، هل يمكنك كتابة معادلة هذا القطع: دائماً أو أحياناً أو غير ممكن أبداً؟

أحياناً، ومثال على ذلك عندما تكون إحداثيات الرأسين والبؤرتين معلومة فإنه يمكن كتابة معادلة القطع الزائد، وعندما يكون كل من الرأسين والمحور القاطع معلوماً فقط فإن من غير الممكن كتابة معادلة القطع الزائد.

37) تحدٍ: قطع زائد بؤرتاه $F_1(0,9),F_2(0,-9)$ ويمر بالنقطة p، يزيد بعد P عن F₁ بمقدار 6 وحدات على بعد P عن F_2، اكتب معادلة القطع الزائد بالصيغة القياسية.

$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{72}=1$

38) برهان: يتشكل القطع الزائد المتطابق الساقين عندما b = a عند كتابة المعادلة على الصورة القياسية، برهن أن الاختلاف المركزي لكل قطع زائد متطابق الساقين هو $\sqrt{2}$.

بما أن القطع الزائد متساوي الساقين فإن a=b وبما أن:

$\begin{array}{rl}& \because c^2=a^2+b^2\\ & \therefore c^2=a^2+a^{2}a=b\\ & \therefore c^2=2a^2\\ & \therefore c=a\sqrt{2}\\ & \because e=\frac{c}{a}\\ & \therefore e=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}\end{array}$

لذا فإن الاختلاف المركزي للقطع الزائد متساوي الساقين يساوي $\sqrt{2}$

39) اكتب: صف خطوات إيجاد معادلة قطع زائد عندما تعطى بؤرتاه وطول محوره القاطع.

أولاً حدد إذا كان اتجاه القطع الزائد رأسياً أو أفقياً ثم استعمل البؤرتين لتحدد مركز القطع الزائد وتحديد قيم k,h واستعمل طول المحور القاطع لإيجاد a²، ثم أوجد c المسافة بين المركز وإحدى البؤرتين ثم استعمل المعادلة $b^2=c^2-a^2$ لتجد b²، وأخيراً استعمل الصورة القياسية لكتابة المعادلة بالاعتماد على المحور القاطع إن كان موازياً للمحور x أو المحور y.