تدرب وحل المسائل

أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل من المضلعات المحدبة الآتية:

12) ذو 12 ضلعاً.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (12-2).180 =1800$°$

13) ذو 20 ضلعاً.

الحل:

n=20

(n-2).180 = (20-2).180 =3240$°$

14) ذو 29 ضلعاً.

الحل:

n=29

(n-2).180 = (12-2).180 =4860$°$

15) ذو 32 ضلعاً.

n=32

(n-2).180 = (12-2).180 =4500$°$

أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعات الآتية:

16)

الحل:

بما ان الشكل رباعي اذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

(n-2).180 = (4-2).180$°$ =360$°$

$\begin{array}{l}{360}^{\circ }=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Q}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{R}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{S}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{T}\\ \\ {360}^{\circ }=(2\mathrm{x}+5)+\mathrm{x}+(2\mathrm{x}+7)+\mathrm{x}\\ \\ {360}^{\circ }=6\mathrm{x}+12\\ \\ 360-12=6\mathrm{x}\\ \\ 348=6\mathrm{x}\\ \\ \mathrm{x}=58\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{R}=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{T}={58}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Q}=(2\mathrm{x}+5)=(2\times 58+5)={121}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{S}=(2\mathrm{x}+7)=(2\times 58+5)={123}^{\circ }\\ \end{array}$

17)

الحل:

$\begin{array}{l}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(4-2)\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }\\ \\ {360}^{\circ }=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{J}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{M}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{L}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{l}\\ \\ {360}^{\circ }=(3\mathrm{x}-6)+(2\mathrm{x}-8)+\mathrm{x}+(\mathrm{x}+1\\ \\ {360}^{\circ }=7\mathrm{x}-4\\ \\ 360+4=7\mathrm{x}\\ \\ 348=6\mathrm{x}\\ \\ \mathrm{x}=52\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{J}=(3\times 52-6)={150}^{\circ }\\ \\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{M}=(2\times 52-8)={96}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{L}=\mathrm{x}={52}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{K}=(\mathrm{x}+10)=(52+10)={62}^{\circ }\end{array}$

18)

الحل:

بما أن الشكل خماسي إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

$\begin{array}{l}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(5-2)\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }\\ {540}^{\circ }=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{A}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{B}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{C}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{D}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{E}\\ \\ {540}^{\circ }=90+90+(2x-20)+x+(2x+10)\\ \\ {540}^{\circ }=5x+170\\ \\ 540-170=5x\\ \\ 540=5x\\ \\ x=74\\ \\ m\mathrm{\angle }\mathrm{D}={74}^{\circ }\\ \\ m\mathrm{\angle }\mathrm{C}=(2\times 74-20)={128}^{\circ }\\ \\ m\mathrm{\angle }\mathrm{E}=(2\times 74+10)={158}^{\circ }\end{array}$

19)

الحل:

بما أن الشكل خماسي إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

$\begin{array}{r}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(5-2)\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }\\ \\ {540}^{\circ }=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{U}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{V}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{W}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Y}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Z}\\ \\ {540}^{\circ }=(\mathrm{x}+32)+(2\mathrm{x}-10)+(2\mathrm{x}-6)+\mathrm{x}+(2\mathrm{x}-20)\\ \\ {540}^{\circ }=8\mathrm{x}-4\\ \\ \mathrm{x}=68\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{U}=(68+32)={100}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{V}=(2\times 68-10)={126}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{W}=(2\times 68-6)={130}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Y}=\mathrm{x}={68}^{\circ }\\ \\ \mathrm{Z}=(2\times 68-20)={116}^{\circ }\end{array}$

20) ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع في الشكل المجاور؟

الحل:

n=5

(n-2).180 = (5-2).180 =540$°$

أوجد قياس زاوية داخلية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

21) ذو 12 ضلعاً.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (12-2).180 =1800$°$

$\frac{1800}{12}=150°$

22) الخماسي.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (5-2).180 =540$°$

$\frac{540}{5}=108°$

23) العشاري.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (10-2).180 =1440$°$

$\frac{1440}{10}=144°$

24) التساعي.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (9-2).180 =1260$°$

$\frac{1260}{9}=140°$

إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي:

25) 60º

الحل:

$\begin{array}{l}60n=(n-2)\cdot 180\\ \\ 60n=n180-360\\ \\ 60n-n180=-360\\ \\ -120n=-360\\ \\ n=3\end{array}$

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 3 ضلعاً يساوي 60º.

26) 90º

الحل:

$\begin{array}{l}90n=(n-2).180\\ \\ 90n=n180-360\\ \\ 90n-n180=-360\\ \\ -90n=-360\\ \\ n=4\end{array}$

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 4 ضلعاً يساوي 60º.

27) 120º

الحل:

$\begin{array}{l}120n=(n-2).180\\ \\ 120n=n180-360\\ \\ 120n-n180=-360\\ \\ -n60=-360\\ \\ n=6\end{array}$

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 6 ضلعاً يساوي 120º.

28) 156º

الحل:

$\begin{array}{l}156n=(n-2)\cdot 180\\ \\ 156n=n180-360\\ \\ 156n-n180=-360\\ \\ -24n=-360\\ \\ n=15\end{array}$

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 15 ضلعاً يساوي 156º.

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين:

29)

الحل:

$\begin{array}{l}(x-11)+(x+10)+(2x-42)+{31}^{\circ }={360}^{\circ }\\ 4x-12=360\\ \\ 4x=372\\ x=\frac{372}{4}=93\end{array}$

30)

الحل:

$\begin{array}{l}\left(2x\right)+(x+10)+(x+18)+3x+(x-1)+x={360}^{\circ }\\ \\ 9x+27=360\\ \\ 9x=333\\ \\ x=\frac{333}{9}=37\end{array}$

أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

31) العشاري.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

$\begin{array}{l}10\mathrm{n}=360\\ \mathrm{n}=\frac{360}{10}={36}^{\circ }\end{array}$

32) الخماسي.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

$\begin{array}{l}5\mathrm{n}=360\\ \mathrm{n}=\frac{360}{5}={72}^{\circ }\end{array}$

33) السداسي.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

$\begin{array}{l}6\mathrm{n}=360\\ \mathrm{n}=\frac{360}{6}={60}^{\circ }\end{array}$

34) ذو 15 ضلعاً.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

$\begin{array}{l}15\mathrm{n}=360\\ \mathrm{n}=\frac{360}{15}={24}^{\circ }\end{array}$

35) تصوير: تشكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعاً منتظماً ذا 14 ضلعاً.

a) أوجد قياس الزاوية الداخلية مقرّبة إلى أقرب عُشر.

الحل:

$°$2160=180. (14-2) n=14

قياس الزاوية الداخلية = $\frac{2160}{14}$ = $°$154.3 تقريباً.

b) أوجد قياس الزاوية الخارجية مقرّبة إلى أقرب عُشر.

الحل:

$°$360 = 14n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

25.7=n (بقسمة كلا الطرفين على 14).

اذن قياس الزاوية الداخلية = $°$154.3 تقريباً.

أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضالعه في كل مما يأتي وقرب إجابتك الى أقرب عشرة:

36) 7

الحل:

$°$900=180. (7-2) n=7

قياس الزاوية الداخلية = $\frac{900}{7}$ = $°$128.6 تقريباً.

$°$360 = 7n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

51.4=n (بقسمة كلا الطرفين على7).

إذن قياس الزاوية الداخلية = $°$51.4 تقريباً.

37) 13

الحل:

$°$1980=180. (13-2) n=13

قياس الزاوية الداخلية = $\frac{1980}{13}$ = $°$152.3 تقريباً.

$°$360 = 13n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

51.4=n (بقسمة كلا الطرفين على13).

إذن قياس الزاوية الداخلية = $°$27.7 تقريباً.

38) أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي °1080، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

الحل:

يقسم المضلع إلى ثمان مثلثات.

مجموع زوايا 8 مثلثات = 8 × $°$180

= $°$1440

مجموع الزوايا حول نقطة المركز = $°$360

مجموع زويا المضلع الثماني الداخلية = $°$1440 - $°$360 = $°$1080

قياس الزاوية الداخلية للمضلع الثماني المنتظم = $°$1080 ÷ 8 = $°$135

39) برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع.

الحل:

أفرض أن N تساوي مجموع قياسات الزوايا الخارجية لمضلع عدد أضلاعه n.

N تساوي مجموع قياسات الأزواج الخطية مطروحاً منه مجموع قياسات الزوايا الداخلية.

=180n - 180 (n-2)

=180n - 180n + 360 = 360

لذا، فإن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يساوي $°$360

جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين:

40) عشاري قياسات زواياه الداخلية:

(x+5)º,(x+10)º,(x+20)º,(x+30)º,(x+35)º,(x+40)º,(x+60)º,(x+70)º,(x+80)º,(x+90)º

الحل:

$\begin{array}{l}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(10-2)\cdot {180}^{\circ }={1440}^{\circ }\\ \\ {1440}^{\circ }=(\mathrm{x}+5)+(\mathrm{x}+10)+(\mathrm{x}+20)+(\mathrm{x}+30)+(\mathrm{x}+35)\\ +(\mathrm{x}+40)+(\mathrm{x}+60)+(\mathrm{x}+70)+(\mathrm{x}+80)+(\mathrm{x}+90)\\ \\ {1440}^{\circ }=10\mathrm{x}+440\\ \\ {1440}^{\circ }-440=10\mathrm{x}\\ \\ 1000=10\mathrm{x}\\ \\ \mathrm{x}=100\\ \\ (\mathrm{x}+5)=100+5={105}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+10)=100+10={110}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+20)=100+20={120}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+30)=100+30={130}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+35)=100+35={135}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+40)=100+40={145}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+60)=100+60={160}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+70)=100+70={170}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+80)=100+80={180}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+90)=100+90={190}^{\circ }\\ \\ {190}^{\circ },{180}^{\circ },{170}^{\circ },{160}^{\circ },{140}^{\circ },{135}^{\circ },{130}^{\circ },{120}^{\circ },{110}^{\circ },{105}^{\circ }:\text{الداخلية الزوايا}\end{array}$

41) الخماسي ABCDE الذي قياسات زواياه الداخلية:

6xº,(4x + 13)º , (x + 9)º , (2x - 8)º ,(4x - 1)

الحل:

$\begin{array}{l}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(5-2)\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }\\ \\ {540}^{\circ }=(4\mathrm{x}-1)+(2\mathrm{x}-8)+(\mathrm{x}+9)+(4\mathrm{x}+13)+6\mathrm{x}\\ \\ {540}^{\circ }=17\mathrm{x}+13\\ \\ {540}^{\circ }-13=17\mathrm{x}\\ \\ 527=17\mathrm{x}\\ \\ \mathrm{x}=31\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{E}=4\mathrm{x}-1=4\times 31-1={123}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{D}=2\mathrm{x}-8=2\times 31-8={54}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{C}=\mathrm{x}+9=31+9={40}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{B}=4\mathrm{x}+13=4\times 31+13={137}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{A}=6\mathrm{x}=6\times 31={186}^{\circ }\end{array}$

42) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العالقات بين الزوايا والأضالع في متوازي أضلاع.

a) هندسياً: رسم زوجين من المستقيمات المتوازية تتقاطع كما في الشكل المجاور، وسم الشكل الرباعي الناتج ABCD ثم كرر هذه الخطوات لتكوين شكلين آخرين: QRST,FGHJ.

الحل:

b) جدولياً: أكمل الجدول الآتي:

الحل:

c) لفظياً: خمن العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتقابلتان متطابقتين.

d) لفظياً: خمن العلاقة بين كل زاويتين متخالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتخالفتان متكاملتين.

e) لفظياً: خمن العلاقة بين كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الضلعان المتقابلتان متطابقتين.