مراجعة تراكمية

جبر: استعن بالمعين DFGH فيما يأتي: (الدرس 5-1).

54) إذا كان $m\mathrm{\angle }FGH=118°$ فأوجد $m\angle MHG$.

الحل: من خصائص المعين أنه يوجد ضلعين متتالين متطابقين.

إذن $\overline{FG}=\overline{HG}$

إذن $\angle HFG = \angle FHG$

وبما أن $\angle FGH = 118°$ إذن الزاويتين الأخيرتين في $△HFG$

$\mathrm{\angle }\mathrm{HFG}=\mathrm{\angle }\mathrm{FHG}\text{ أن بما}180-\left(118\right)={62}^{\circ }$

إذن $\angle MHG =\frac{62}{2}=31°$

55) إذا كان DM = 4x – 3,MG = x + 6 فأوجد DG

الحل: قطرا المعين ينصف كل منهما الآخر.

$\begin{array}{l}\mathrm{MG}=\mathrm{MD}\\ \\ \mathrm{x}+6=4\mathrm{x}-3\\ \\ 4\mathrm{x}-\mathrm{x}=6+3\\ \\ 3\mathrm{x}=9\\ \\ \mathrm{x}=3\\ \\ \mathrm{DG}=\mathrm{MG}+\mathrm{MD}\\ \\ \mathrm{DG}=\mathrm{x}+6+4\mathrm{x}-3\\ \\ \mathrm{DG}=5\mathrm{x}+3\\ \\ \mathrm{DG}=18\end{array}$

56) إذا كان HM = 12,HD = 15 فأوجد MG

الحل: من خصائص المعين أن كل ضلعين متتالين متطابقين.

$$\begin{gathered} HD = HG =15 \\ HM =12 \end{gathered}$$

حسب نظرية فيثاغورث:

$\begin{array}{l}(HG{)}^2=(MH{)}^2+(MG{)}^2\\ \\ (15{)}^2=(12{)}^2+(MG{)}^2\\ \\ (HG{)}^2=(15{)}^2-(12{)}^2\\ \\ (HG{)}^2=81\\ \\ HG=9\end{array}$

57) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين (الدرس 5-1).

المعطيات:

$\begin{array}{c}\text{ ، }\mathrm{\angle }CMF\cong \mathrm{\angle }EMF\\ \mathrm{\angle }CFM\cong \mathrm{\angle }EFM\end{array}$
المطلوب: $\mathrm{△}DMC\cong \mathrm{△}DME$

الحل:

المعطيات: $\mathrm{\angle }\mathrm{CMF}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{EMF},\mathrm{\angle }\mathrm{CFM}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{EFM}$

المطلوب: $\mathrm{\Delta DMC}\cong \mathrm{\Delta DME}$

البرهان: العبارات (المبررات).

1) $\mathrm{\angle }\mathrm{CMF}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{EMF},\mathrm{\angle }\mathrm{CFM}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{EFM}$ (معطيات).

2) $\overline{\mathrm{MF}}\cong \overline{\mathrm{MF}},\overline{\mathrm{DM}}\cong \overline{\mathrm{DM}}$ (خاصية الانعكاس).

3) $\mathrm{\Delta CMF}\cong \mathrm{\Delta EMF}$ (ASA).

4) $\overline{CM}\cong \overline{EM}$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).

5) $\angle DMC ,\angle CMF$ متكاملتان $\angle DME ,\angle EMF$ متكاملتان (نظرية الزوايا المتكاملة).

6) $\angle DMC \cong \angle DME$ (مكملات الزوايا المتطابقة تكون متطابقة).

7) $△DMC \cong △DME$ ($SAS$)

أوجد ميل القطعة المستقيمة المعطاة إحداثيات طرفيها في كل مما يأتي:

58) $(x,4y),(-x,4y)$

الحل:

الميل: $0=\frac{0}{2x}=\frac{4y-4y}{x+x}=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$

59) $(-x,5x),(0,6x)$

الحل:

الميل: $1=\frac{-x}{-x}=\frac{5x-6x}{-x-0}=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$

60) $(y,x),(y,y)$

الحل:

الميل: $\frac{x-y}{0}=\frac{x-y}{y-y}=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$

الميل غير معروف.