حل أسئلة تدرب وحل المسائل

بسط كل عبارة مما يأتي، مفترضاُ أن المقام لا يساوي صفراً.

١٤) $\frac{{م}^{\mathrm{٤}} {ن}^{\mathrm{٢}}}{{م}^{\mathrm{٢}} ن}$

= م^٤-٢ ن^٢-١ = م٢ ن

١٥) $\frac{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٤}} {د}^{\mathrm{٤}} {\mathrm{هـ}}^{\mathrm{٣}}}{{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} {د}^{\mathrm{٤}} {\mathrm{هـ}}^{\mathrm{٣}}}$

= جـ^٤-٢ د^٤-٤ هـ^٣-٣

= جـ^٢

١٦) ($\frac{\mathrm{٣}س {ص}^{\mathrm{٤}}}{\mathrm{٥} {ع}^{\mathrm{٢}}}$)^٢

^{= $\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}} {س}^{\mathrm{٢}} {ص}^{\mathrm{٨}}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}} {ع}^{\mathrm{٤}}}$}

^{= $\frac{\mathrm{٩} {س}^{\mathrm{٢}} {ص}^{\mathrm{٨}}}{\mathrm{٢٥} {ع}^{\mathrm{٤}}}$}

١٧) $\frac{{س}^{-\mathrm{٤}} {ص}^{\mathrm{٩}}}{{ع}^{-\mathrm{٢}}}$

= س^-٤ ص^٩ ع^٢

= $\frac{{ص}^{\mathrm{٩}} {ع}^{\mathrm{٢}}}{{س}^{\mathrm{٤}}}$

١٨) $\frac{{أ}^{\mathrm{٧}} {ب}^{\mathrm{٨}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٨}}}{{أ}^{\mathrm{٥}} ب {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٧}}}$

= أ^٧-٥ ب^٨٠١ جـ^٨-٧

= أ^٢ ب^٧ جـ

١٩) (-$\frac{\mathrm{٥}{ن}^{\mathrm{٩}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٤}}{\mathrm{هـ}}^{\mathrm{٢}}}{ن {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} {\mathrm{هـ}}^{\mathrm{٣}}}$)^٠

$\frac{\mathrm{٥}{ن}^{\mathrm{٩}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٤}}{\mathrm{هـ}}^{\mathrm{٢}}}{ن {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} {\mathrm{هـ}}^{\mathrm{٣}}}$ = ١

٢٠) $\frac{{ل}^{\mathrm{١٢}} {ن}^{\mathrm{٧}} {ر}^{\mathrm{٢}}}{{ل}^{\mathrm{٢}} {ن}^{\mathrm{٧}} ر}$

= ل^١٢-٢ ن^٧-٧ ر^٢-١

= ل^١٠ ر

٢١) $\frac{\mathrm{٥}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} {د}^{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٨} \mathrm{جـ} {د}^{\mathrm{٥}} {ن}^{\mathrm{٠}}}$

= - $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ جـ^٢-١ د^٥-٥

= - $\frac{\mathrm{٥} \mathrm{جـ}}{\mathrm{٨}}$

٢٢) $\frac{-\mathrm{٢}{ن}^{\mathrm{٣}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}} {\mathrm{هـ}}^{\mathrm{٠}}}{\mathrm{٨}{ن}^{\mathrm{٢}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}$

= $\frac{-{ن}^{\mathrm{٣}-\mathrm{٢}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}-\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤}}$

= $\frac{- ن}{\mathrm{٤}}$

٢٣) $\frac{\mathrm{١٢}{م}^{-\mathrm{٤}} {ل}^{\mathrm{٢}}}{-\mathrm{١٥}{م}^{\mathrm{٣}} {ل}^{-\mathrm{٩}}}$

$\frac{\bcancel{\mathrm{١٢}} {م}^{-\mathrm{٤}-\mathrm{٣}} {ل}^{\mathrm{٢}+\mathrm{٩}}}{\bcancel{-\mathrm{١٥}}} = \frac{\mathrm{٤} {ل}^{\mathrm{١١}}}{-\mathrm{٥} {م}^{\mathrm{٧}}}$

٢٤) ($\frac{{أ}^{-\mathrm{٢}} {ب}^{\mathrm{٤}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٥}}}{{أ}^{-\mathrm{٤}} {ب}^{-\mathrm{٤}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٣}}}$)^٢

= $\frac{{أ}^{\mathrm{٢}\times \mathrm{٢}} {ب}^{\mathrm{٤}\times \mathrm{٢}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٥}\times \mathrm{٢}}}{{أ}^{-\mathrm{٤}\times \mathrm{٢}} {ب}^{-\mathrm{٤}\times \mathrm{٢}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٣}\times \mathrm{٢}}}= \frac{{أ}^{-\mathrm{٤}} {ب}^{\mathrm{٨}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{١٠}}}{{أ}^{-\mathrm{٨}} {ب}^{-\mathrm{٨}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٦}}} = أ-\mathrm{٤}+\mathrm{٨} {ب}^{\mathrm{٨}+\mathrm{٨}} {\mathrm{جـ}}^{\mathrm{١٠}-\mathrm{٦} }$

= أ^٤ ب^١٦ جـ^٤

٢٥) $\frac{{ر}^{\mathrm{٣}} {ن}^{-\mathrm{١}} {س}^{-\mathrm{٥}}}{ن {س}^{\mathrm{٥}}}$

= ر^٣ ن^-٢ س^-١٠

= $\frac{{ر}^{\mathrm{٣}}}{{ن}^{\mathrm{٢}} {س}^{\mathrm{١٠}}}$

٢٦) حواسيب: وصلت سرعة معالج الحاسوب عام ١٤١٤ هـ إلى ^٨١٠ عملية في الثانية تقريباً، وازدادت هذه السرعة إلى أكثر من (١٠)^١٠ عملية في الثانية عام ١٤٣٨هـ فبكم مرة يكون الحاسوب الجديد أسرع من القديم؟

عدد المرات = $\frac{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{١٠}}}{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٨}}}$ = ^١٠١٠^-٨ = ^٢١٠ = ١٠٠

٢٧) تمثيلات متعددة: تستعمل الصيغة م = ط نق^٢ لإيجاد مساحة الدائرة، وتستعمل الصيغة م = ل^٢ لإيجاد مساحة المربع الذي طول ضلعه ل، استخدم الشكل المجاور للإجابة عن الأسئلة الآتية:

أ) جبرياً: أوجد نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع.

$\frac{\mathrm{مساحة} \mathrm{الدائرة}}{\mathrm{مساسحة} \mathrm{المربع}}=\frac{ط}{\mathrm{٤}}$

ب) جبرياً: إذا ضرب كل من نصف قطر الدائرة وطول ضلع المربع في العدد ٢، فما نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟

ط/٤

ج) جدولياً: أكمل الجدول المقابل.

د) تحليلياً: ما الاستنتاج الذي توصلت إليه؟

نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع تساوي دائماً ط/٤.

٢٨) تبرير: هل المعادلة "س ^ص × س ^{ص ع} صحيحة أحياناً أم صحيحة دائماً أم غير صحيحة أبداً؟ فسر إجابتك.

المعادلة صحيحة أحياناً عندما س = ٠، ص = ٢، ع = ٣

وخاطئة عندما س = ١، ص = ٢، ع = ٣

٢٩) مسألة مفتوحة: أعط مثالاً لوحيدتي حد يكون ناتج قسمتهما ٢٤ أ^٢ ب^٣

وحيدتي الحد ٢٤ أ^٤ ب^٦، أ^٢ ب^٣

حيث $\frac{\mathrm{٢٤} {أ}^{\mathrm{٤}} {ب}^{\mathrm{٦}}}{{أ}^{\mathrm{٢}} {ب}^{\mathrm{٣}}}$ = ٢٤ أ^٢ ب^٣

٣٠) تحد: استعمل خاصية قسمة القوى لتفسير المساواة س^-ن = $\frac{\mathrm{١}}{{س}^{ن}}$

$\frac{\mathrm{١}}{{س}^{-ن}}$= $\frac{{س}^{\mathrm{٠}}}{{س}^{ن}}$ = س^{٠- ن} = س^{- ن}

٣١) اكتب: وضح كيف تستعمل خاصية قسمة القوى وخاصية قوى القسمة؟

• تستعمل خاصية ناتج قسمة القوى عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه وذلك بطرح الأسين.
• وتستعمل خاصية قوة ناتج القسمة لإيجاد قوة ناتج القسمة وذلك بتوزيع القوة على كل من المقام والبسط.

٣٢) هندسة: ما محيط الشكل المجاور؟

أ) ٤٠ س

ب) ٨٠ س

جـ) ١٦٠ س

د) ٤٠٠ س

الطول = ١٢س + ٨س = ٢٠س

العرض = ٢٠س

المحيط = ٢(٢٠س + ٢٠س)

= ٨٠س

الاختيار الصحيح ب) ٨٠س

٣٣) بسط العبارة: (٤^-٢ × ^٠٥ × ٦٤)^٣

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦٤}}$

ب) ٦٤

جـ) ٣٢٠

د) ١٠٢٤

(٤^-٢ × ^٠٥ × ٦٤)^٣ = ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}$ × ١ × ٦٤)^٣

= (٤)^٣ = ٦٤

الاختيار الصحيح ب) ٦٤