حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانياً، وحدد مجالها ومداها.

١٧) ص = س^٢ + ٤س + ٦

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص $\ge$ ٢}

١٨) ص = ٢س^٢ + ٤س + ٧

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص $\ge$ ٥}

١٩) ص = ٢س^٢ - ٨س -٥

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص $\ge$ -١٣}

أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي:

٢٠)

الرأس = (-٣، -٦)، محور التماثل س = -٣، المقطع الصادي = ٤.

٢١)

الرأس = (٠، -٤)، محور التماثل س = ٠، المقطع الصادي = -٤.

٢٢)

الرأس = (٠، ٠)، محور التماثل س = ٠، المقطع الصادي = ٠

تقنية: أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل والمقطع الصادي لكل دالة فيما يلي، ومثلها بيانياً باستخدام أحد التطبيقات الحاسوبية.

٢٣) ص = س^٢ +٨س + ١٠

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٨}}{\mathrm{٢}\times \mathrm{١}}$ = -٤

معادلة محور التماثل هي س = -٤

وعند س = -٤

ص = ١٦ - ٣٢ + ١٠ = - ٦

إذن الرأس هي (-٤، - ٦)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ١٠

٢٤) ص = ٢س^٢ +١٢س + ١٠

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}\times \mathrm{٢}}$ = -٣

معادلة محور التماثل هي س = -٣

وعند س = -٣

ص = ١٨ - ٣٦ + ١٠ = - ٨

إذن الرأس هي (-٣، - ٨)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ١٠

٢٥) ص = -٣س^٢ -٦س + ٧

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}\times -\mathrm{٣}}$ = -١

معادلة محور التماثل هي س = -١

وعند س = -١

ص = -٣ + ٦ + ٧ = ١٠

إذن الرأس هي (-١، ١٠)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٧

في الأسئلة ٢٦ - ٢٨، أجب عما يأتي:

٢٦) ص = -٢س^٢ -٨س + ١

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة عظمى، لأن أ = - ٢ وهي قيمة سالبة إذن المنحنى مفتوح لأسفل.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة العظمى هي ٩،

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$= $\frac{-(-\mathrm{٨})}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٢}}$ = -٢

ص = - ٨ + ١٦ + ١ = ٩

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص $\le$ ٩}

٢٧) ص = س^٢ +٤س - ٥

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة صغرى، لأن أ = ١ وهي قيمة موجبة إذن المنحنى مفتوح لأعلى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة الصغرى هي -٩،

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$= $\frac{-\left(\mathrm{٤}\right)}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$ = -٢

ص = ٤ - ٨ - ٥ = -٩

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص $\ge$ -٩}

٢٨) ص = -٣س^٢ -٦س + ٧

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة صغرى، لأن أ = ٣ وهي قيمة موجبة إذن المنحنى مفتوح لأعلى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة العظمى هي -٤٨،

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$= $\frac{-\left(\mathrm{١٨}\right)}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣}}$ = -٣

ص = ٢٧ - ٥٤ - ٢١ = -٤٨

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص $\ge$ -٤٨}

مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً:

٢٩) ص = -٣س^٢ +٦س - ٤

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$= $\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٣}}$ = ١

معادلة محور التماثل هي س = ١ وعند س = ١

ص = - ٣ + ٦ - ٤ = -١

إذن الرأس هي (١، -١)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = -٤

٣٠) ص = -٢س^٢ -٤س - ٣

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$= $\frac{-(-\mathrm{٤})}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٢}}$ = -١

معادلة محور التماثل هي س = -١ وعند س = -١

ص = - ٢ + ٤ - ٣ = -١

إذن الرأس هي (-١، -١)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = -٣

٣١) ص = ٣س^٢ -١٢س + ٥

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$= $\frac{-(-\mathrm{١٢})}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣}}$ = ٢

معادلة محور التماثل هي س = ٢ وعند س = ٢

ص = ١٢ - ٢٤ + ٥ = -٧

إذن الرأس هي (٢، -٧)

وبما أن أ قيمة موجبة فالتمثيل مفتوح لأعلى لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٥

٣٢) كرة قدم: قذف حارس المرمى الكرة من مستوى سطح الأرض إلى الأعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ٩٠ قدماً في الثانية، والدالة ع = -١٦ن + ٩٠ تمثل ارتفاع الكرة بعد (ن) ثانية.

أ) ما ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة؟

ع = -١٦ن + ٩٠ن

ع = - ١٦ × ١ + ٩٠(١) = ٧٤ قدماُ.

ب) متى تكون الكرة على ارتفاع ١٢٦ قدماً؟

١٢٦ = -١٦ن^٢ + ٩٠ن

١٦ن^٢ -٩٠ن + ١٢٦ = ٠

٨ن^٢ - ٤٥ن + ٦٣ = ٠

ن = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

ن = $\frac{\mathrm{٤٥} \pm \sqrt{{\mathrm{٤٥}}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}\times \mathrm{٨} \times \mathrm{٦٣}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٨}}$

ن = $\frac{\mathrm{٤٥} + \mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$ ٣,٤ ≈ ٣ ثوان تقريباً.

ن = $\frac{\mathrm{٤٥} - \mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$ = ٢,٦٣ ثانية تقريباً.

جـ) ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟

١٢٦,٦ قدم تقريباً.

٣٣) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة حل المعادلات التربيعية باستعمال جداول القيم.

أ) جبرياً: حدد الدالة المرتبطة بكل معادلة فيما يأتي، ثم انسخ الجدول وأكمله.

ب) بيانياً: مثل كل دالة مرتبطة باستعمال الحاسبة البيانية.

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س^٢ - س - ١٢

[-١٠، ١٠] SCL: ٢

[-١٠، ١٠] SCL: ٥

ص = س^٢ +٨ س - ٩

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س^٢ -١٤س + ٢٤

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س^٢ +١٦س + ٢٨

جـ) تحليلياً: استعمل قيم الجدول الموجودة على حاسبتك لتحديد أصفار كل دالة مرتبطة، ثم اكتب الأصفار في الجدول أعلاه.

د) لفظياً: وضح العلاقة بين عدد حلول المعادلة وأصفار الدالة المرتبطة بها؟

عدد أصفار الدالة يساوي درجتها ويساوي عدد حلول المعادلة.

٣٤) مسألة مفتوحة: اكتب دالة تربيعية معادلة محور التماثل تمثيلها البياني هي س = -$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$، ملخصاً خطوات عملك.

ص = ٤س^٢ + ٣س + ٥

٣٥) اكتشف الخطأ: تحاول عبير ومنى إيجاد التماثل للقطع المكافئ، فأيهما كانت إجابتها صحيحة؟ فسر إجابتك.

عبير نسيت منى إشارة السالب مع - ٤.

٣٦) تحد: اكتب معادلة التمثيل البياني المجاور باستعمال محور التماثل وأحد المقطعين السينين.

بما أن المنحنى لأسفل إذن أ قيمة سالبة.

الرأس = (٣، ٢٥)، س = ٣، ص = ١٦

ص = -٣س^٢ + ٨س -٢س + ١٦

ص = -٣س^٢ + ٦س + ١٦

٣٧) تبرير: إذا كان رأس قطع مكافئ هو النقطة (٢ ٠)، وإحدى نقاطه (٥ ٩)، فأوجد نقطة أخرى عليه، واشرح طريقة إيجادها.

(-١، ٩) أمثل النقاط المعطاة وارسم القطع المكافئ المار بها أجد انعكاس النقطة (٥، ٩) حول المستقيم س = ٢

٣٨) اكتب: وضح كيفية إيجاد محور التماثل لمعادلة الدالة التربيعية، ثم فسر الخصائص الأخرى للتمثيل البياني التي يمكنك اشتقاقها منه، وكيف توصلت إليها.

أجد قيم أ، ب من الصورة القياسية وأعوض ذلك في معادلة محور التماثل س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$ وهذا يعطي الإحداثي السيني ولإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى للدالة أعوض في المعادلة الأصلية.

٣٩) هندسة: دائرة مساحتها ٣٦ط وحدة مربعة، إذا زاد نصف قطرها إلى مثليه، فكم تصبح مساحة الدائرة الجديدة؟

أ) ٧٢ ط وحدة مربعة

ب) ١٤٤ ط وحدة مربعة

جـ) ١٢٩٦ ط وحدة مربعة

د) ٩ ط وحدة مربعة.

٣٦ط = ط نق^٢

نق = ٦

نصف القطر الجديد = ٢ × ٦ = ١٢

مساحة الدائرة = ط (١٢)^٢ = ١٤٤ ط

٤٠) ما مدى الدالة د(س) = -٤س^٢ - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$؟

أ) جميع الأعداد الصحيحة التي تقل عن أو تساوي $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ب) جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة.

جـ) جميع الأعداد الحقيقة.

د) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي - $\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٢}}$