حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٧) ٣ت + ٧ = - ٨

٣ت + ٧ = - ٨

٣ت + ٧ - ٧ = -٨ -٧ اطرح ٧ من كلا الطرفين.

٣ت = -١٥ أقسم طرفي المعادلة على ٣.

ت = - ٥

التحقق:

٣ × - ٥ + ٧ = - ٨

٨) ٨ = ١٦ + ٨ن

٨ = ١٦ + ٨ن

٨ - ١٦ = ١٦ - ١٦ + ٨ن

-٨ = ٨ ن

ن = -١

التحقق:

٨ = ١٦ + ٨ × - ١

٩) -٣٤ = ٦م - ٤

-٣٤ = ٦م - ٤

-٣٤ + ٤ = ٦م - ٤ + ٤ أضف ٤ إلى كلا الطرفين.

-٣٠ = ٦ م أقسم طرفي المعادلة على ٦.

-٥ = م

التحقق:

-٣٤ = ٦ × (-٥) - ٤

١٠) ١٤ = $\frac{\mathrm{٦} + ع}{-\mathrm{٢}}$

١٤ = $\frac{\mathrm{٦} + ع}{-\mathrm{٢}}$

-٢ (١٤) = -٢ ($\frac{\mathrm{٦} + ع}{-\mathrm{٢}}$) اضرب طرفي المعادلة بـ - ٢

- ٢٨ = ٦ + ع

- ٢٨ - ٦ = ٦ - ٦ + ع اطرح ٦ من كلا الطرفين.

- ٣٤ = ع

التحقق:

١٤ = $\frac{- \mathrm{٣٤} + \mathrm{٦}}{-\mathrm{٢}}$

١١) -١١ = $\frac{\mathrm{جـ} - \mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

-١١ = $\frac{\mathrm{جـ} - \mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

٦ (-١١) = ٦ ($\frac{\mathrm{جـ} - \mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$) اضرب طرفي المعادلة في ٦.

-٦٦ + ٥ = جـ - ٥ + ٥ أضف ٥ إلى كلا الطرفين.

- ٦١ = جـ

التحقق:

-١١ = $\frac{- \mathrm{٦١} - \mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

١٢) $\frac{-\mathrm{٢٢} و}{\mathrm{٣}}$ = - ٧

$\frac{-\mathrm{٢٢} و}{\mathrm{٣}}$ = - ٧

٣ ($\frac{-\mathrm{٢٢} و}{\mathrm{٣}}$) = ٣ (- ٧)

- ٢٢ و = - ٢١ اضرب طرفي المعادلة في ٣.

و = $\frac{\mathrm{٢١}}{\mathrm{٢٢}}$ أقسم طرفي المعادلة على - ٢٢

التحقق:

- ٢٢ × $\frac{\mathrm{٢١}}{\mathrm{٢٢}}$ ÷ ٣ = -٧

١٣) اتصالات: تقدم شركة للاتصالات العروض المبينة في الجدول الآتي، فإذا اختار محمد خط رجال الأعمال، وخصص له ١٠٠ ريال في الشهر، فاكتب معادلة تمثل هذا الموقف، وحدد عدد الدقائق التي يمكنه التحدث بها دون أن يتجاوز المبلغ المخصص شهرياً.

٠,١٥ + ٤٩,٩٩ = ١٠٠

٠,١٥ + ٤٩,٩٩ - ٤٩,٩٩ = ١٠٠ - ٤٩,٩٩

٠,١٥ م = ٥٠,٠١

م = ٣٣٣ دقيقة.

إذاً عدد الدقائق التي يمكنه التحدث بها دون أن يتجاوز المبلغ المخصص شهرياً = ٦٥٠ + ٣٣٣ = ٩٨٣

اكتب معادلة مسألة فيما يأتي، ثم حلها:

١٤) أوجد ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية مجموعها - ٨٤.

ص + (ص + ٢) + (ص + ٤) = - ٨٤

٣ص + ٦ = - ٨٤

٣ص + ٦ - ٦ = - ٨٤ - ٦

ص = - ٣٠؛

الأعداد هي: -٣٠، -٢٨، -٢٦

١٥) أوجد ثلاثة أعداد صحيحة فردية متتالية مجموعها ١٤١.

س + (س + ٢) + (س + ٤) = ١٤١

٣س + ٦ = ١٤١

٣س + ٦ - ٦ = ١٤١ - ٦

٣س = ١٣٥

س = ٤٥؛

الأعداد هي: ٤٥، ٤٧، ٤٩.

١٦) أوجد أربعة أعداد صحيحة متتالية مجموعها - ١٤٢.

ن + (ن + ١) + (ن + ٢) + (ن + ٣) = - ١٤٢

٤ن + ٦ = - ١٤٢

٤ن + ٦ - ٦ = - ١٤٢ - ٦

٤ن = - ١٤٨

ن = - ٣٧؛

الأعداد هي: - ٣٧، - ٣٦، - ٣٥، - ٣٤.

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

١٧) -٦م - ٨ = ٢٤

-٦م - ٨ = ٢٤

-٦م + ٨ - ٨ = ٢٤ + ٨

- ٦م = ٣٢

م = $\frac{-\mathrm{٣٢}}{\mathrm{٦}}$

م = $\frac{-\mathrm{١٦}}{\mathrm{٣}}$

التحقق:

-٦($\frac{-\mathrm{١٦}}{\mathrm{٣}}$) - ٨ = ٣٢ - ٨ = ٢٤

١٨) ٤٥ = ٧ - ٥ ن

٤٥ = ٧ - ٥ ن

٤٥ -٧ = ٧ - ٧ - ٥ ن

٣٨ = -٥ن

ن = -$\frac{\mathrm{٣٨}}{\mathrm{٥}}$

١٩) $\frac{\mathrm{٢}ب}{\mathrm{٣}}$ + ٦ = ٢٤

٣ ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$) ب + ٣ (٦) = ٣ (٢٤)

٢ب + ١٨ = ٧٢

٢ب + ١٨ - ١٨ = ٧٢ - ١٨

ب = ٢٧

٢٠) -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$أ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٥}}$

$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$ ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$) - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$ ($\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$)أ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$ ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٥}}$) اضرب طرفي المعادلة في $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢٠}}-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢٠}}$أ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢٠}}+\frac{\mathrm{١٨}}{\mathrm{٦٠}}$ أضف $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢٠}}$ في كلا الطرفين.

- أ = $\frac{\mathrm{٤٥}}{\mathrm{٦٠}}$

أ = $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

٢١) $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}-\frac{ب}{\mathrm{٢}}$

-٢($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$) = -٢($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$) - ٢($\frac{ب}{\mathrm{٢}}$) اضرب طرفي المعادلة في - ٢

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}=-\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}$ + ب أضف $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}$ في كلا الطرفين.

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}$ + ب

ب = $\frac{\mathrm{٦٦}}{\mathrm{٢٨}}=\frac{\mathrm{٣٣}}{\mathrm{١٤}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٤}}\mathrm{٢}$

٢٢) $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}(-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}})$ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}\left(\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\right)$س + $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}\left(\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\right)$ اضرب طرفي المعادلة في $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$

$-\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٦}}$= س + $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}$

- $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}$$-\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٦}}$= س + $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}$ - $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}$ اطرح $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}$ من كلا الطرفين.

س = - $\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{٦}}$ = - ٤

اكتب معادلة تمثل المسالة الآتية، ثم حلها:

٢٣) أسرة: تشكل أعمار ثلاثة إخوة أعداداً صحيحة متتالية مجموعها ٩٦.

س + (س + ١) + (س + ٢) = ٩٦

٣س + ٣ = ٩٦

٣س + ٣ - ٣ = ٩٦ - ٣

٣س = ٩٣

س =٣١

أعمار الأخوة: ٣١، ٣٢، ٣٣

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٢٤) -٥س - ٤,٨ = ٦,٧

-٥س - ٤,٨ = ٦,٧

-٥س - ٤,٨ + ٤,٨ = ٦,٧ + ٤,٨

-٥س = ١١,٥

س = - ٢,٣

التحقق:

-٥ × ٢,٣ - ٤,٨ = ٦,٧

٢٥) ٠,٦ جـ + ٩ = ١٤,٤

٠,٦ جـ + ٩ = ١٤,٤

٠,٦ جـ + ٩ - ٩ = ١٤,٤ - ٩

٠,٦ جـ = ٥,٤

التحقق:

٠,٦ × ٩ + ٩ = ١٤,٤

٢٦) $\frac{أ}{\mathrm{٢}}$ - ٤,٥ = ١١,٥

٢ ($\frac{أ}{\mathrm{٢}}$) - ٢ (٤,٥) = ٢ (١١,٥)

أ - ٩ = ٢٣

أ - ٩ + ٩ = ٢٣ + ٩

أ = ٣٢

٢٧) إذا كانت ٧م - ٣ = ٥٣، فما قيمة: ١١م + ٢؟

٧م - ٣ = ٥٣

٧م - ٣ + ٣ = ٥٣ + ٣

٧م = ٥٦

م = ٨

١١م + ٢ = ١١(٨) + ٢ = ٨٨ + ٢

قيمة ١١+ ٢ = ٩٠

٢٨) إذا كانت -٥ل + ٦ = -٦٩، فما قيمة: ٦ل - ١٥؟

-٥ل + ٦ = -٦٩

-٥ل + ٦ - ٦ = -٦٩ - ٦

-٥ ل = -٧٥

٦ل - ١٥ = ٦(١٥) - ١٥ = ٧٥

قيمة ١١م + ٢ = ٧٥

٢٩) مركز رياضي: إذا كان الاشتراك الشهري في مركز رياضي هو ٢٧٥ ريالاً شاملاً دخول المركز وموقفاً مجانياً للسيارة، بالإضافة إلى ١٥ ريالات في اليوم لقاء استعمال المسبح، أما غير المشتركين فيدفعون ٦ ريالات يومياً لموقف السيارة، و١٥ ريالاً لدخول المركز، و٩ ريالات لاستعمال المسبح.

٥س + ٢٧٥ = س (٦ + ١٥ + ٩)

٥س + ٢٧٥ = ٣٠س

٢٧٥ = ٢٥س

س = ١١

أ) اكتب معادلة لإيجاد عدد الزيارات التي تتساوى عندها التكلفة الكلية لكل من: المشترك وغير المشترك إذا استعمل كلاهما المسبح عند كل زيارة، ثم حل هذه المعادلة.

ب) كون جدولاً يبين التكلفة للمشترك ولغير المشترك بعد ٣، ٦، ٩، ١٢، ١٥ زيارة المركز.

جـ) عين هذه النقاط في المستوى الإحداثي، وصف ما تلاحظه على هذا التمثيل البياني.

كلتا الدالتين خطية إذا كان عدد زيارات الشخص للمركز أقل من ١١ زيارة يكون عدم الاشتراك أقل كلفة.

٣٠) مسألة مفتوحة: اكتب مسألة يمكن التعبير عنها بالمعادلة: ٢س + ٤٠ = ٦٠، ثم حل المعادلة.

قميص ثمنه ٦٠ ريال ويزيد ثمنه عن مثلي زوج جوارب بمقدار ٤٠ ريال فما ثمن زوج الجوارب؟

٢س + ٤٠ = ٦٠

٢س + ٤٠ - ٤٠ = ٦٠ - ٤٠

٢س = ٢٠

س = ١٠ ريال.

٣١) تبرير: صف الخطوات التي يمكن أن تستعملها لحل المعادلة: $\frac{\mathrm{هـ} +\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$- ٤ = ٦.

• أضف ٤ إلى طرفي المعادلة.
• ثم اضرب طرفي المعادلة في ٥.
• ثم اطرح ٣ من الطرفين.

٣٢) تحد: يمكن استعمال الصيغة ق = $\frac{\mathrm{١٨٠} \times (ن - \mathrm{٢})}{ن}$ لإيجاد قياس الزاوية الداخلية في مضلع، حيث ن تمثل عدد أضلاع المضلع، ق قياس كل زاوية من زواياه الداخلية. إذا علمت أن ق = ١٥٦°، فما عدد أضلاع المضلع؟

ق = $\frac{\mathrm{١٨٠} \times (ن - \mathrm{٢})}{ن}$

١٥٦ = $\frac{\mathrm{١٨٠} \times (ن - \mathrm{٢})}{ن}$

ن (١٥٦) = ن ($\frac{\mathrm{١٨٠} \times (ن - \mathrm{٢})}{ن}$​​​​​​)​

١٥٦ن = ١٨٠(ن - ٢)

١٥٦ن = ١٨٠ن - ٣٦٠

١٨٠ن - ١٥٦ن = ٣٦٠

٢٤ن = ٣٦٠

ن = ١٥

عدد أضلاع المضلع = ١٥ ضلع.

٣٣) اكتب: فقرة توضح ترتيب الخطوات التي يمكن أن تتبعها لحل معادلة متعددة الخطوات.

لحل معادلة متعددة الخطوات أولاً نتخلص من العدد (المطروح أو المجموع) على المتغير ثم نتخلص من العدد (المضروب أو المقسوم) في المتغير.

٣٤) إحصاء: يبين الجدول الآتي درجات ٥ طلاب في اختبار للرياضيات:

فما مدى درجات هؤلاء الطلاب؟

أ) ١٠

ب) ٢١

جـ) ٣٥

د) ٤٠

المدى = أعلى درجة - أقل درجة

= ٩٩ - ٧٧ = ٢١

إذن الإجابة ب) ٢١

٣٥) مربع محيطه ٢٠ سم، ما مساحته؟

أ) ٤ سم^٢

ب) ٥ سم^٢

جـ) ٢٠ سم^٢

د) ٢٥ سم^٢

محيط المربع = ٤ × طول الضلع.

طول الضلع = ٢٠ ÷ ٤ = ٥ سم

مساحة المربع = طول الضلع × نفس = ٥ × ٥ = ٢٥

الإجابة د) ٢٥ سم^٢