حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

42) اكتشف الخطأ: يحسب كل من أحمد وباسم قيمة ${\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)}^5$ فيستعمل أحمد نظرية ديموافر ويحصل على الإجابة $\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}$. ويقول باسم بأن أحمد قد أنجز جزءاً من المسألة فقط، أيهما إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

باسم؛ إجابة ممكنة؛ لقد قام أحمد بتحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية فقط؛ لذا عليه استعمال نظرية ديموافر لحساب القوة الخامسة.

43) تحدٍ: أوجد الجذور المحددة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة القطبية، ثم عيّن العدد المركب الذي له هذه الجذور.

$\begin{array}{r}3\left(cos \frac{\pi }{6}+isin \frac{\pi }{6}\right),3\left(cos \frac{5\pi }{6}+isin \frac{5\pi }{6}\right)\\ 3\left(cos \frac{3\pi }{2}+isin \frac{3\pi }{2}\right),27i\end{array}$

44)

$\begin{array}{r}2\left(cos \frac{\pi }{4}+isin \frac{\pi }{4}\right),2\left(cos \frac{3\pi }{4}+isin \frac{3\pi }{4}\right)\\ 2\left(cos \frac{5\pi }{4}+isin \frac{5\pi }{4}\right),2\left(cos \frac{7\pi }{4}+isin \frac{7\pi }{4}\right),-16\end{array}$

45) برهان: إذا كان $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$، $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ حيث $r_2\ne 0$ فأثبت أن $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)]$.

$\begin{array}{rl}\frac{z_1}{z_2}& =\frac{r_1(cos {\theta }_1+isin {\theta }_1)}{r_2(cos {\theta }_2+isin {\theta }_2)}\\ & =\frac{r_1}{r_2}\left(\frac{cos {\theta }_1+isin {\theta }_1}{cos {\theta }_2+isin {\theta }_2}\right)\\ & =\frac{r_1}{r_2}\left(\frac{cos {\theta }_1+isin {\theta }_1}{cos {\theta }_2+isin {\theta }_2}\right)\cdot \left(\frac{cos {\theta }_2-isin {\theta }_2}{cos {\theta }_2-isin {\theta }_2}\right)\\ & =\frac{r_1}{r_2}\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(\frac{cos {\theta }_{1}cos {\theta }_2-isin {\theta }_{2}cos {\theta }_1+isin {\theta }_{1}cos {\theta }_2-i^{2}sin {\theta }_{1}sin {\theta }_2}{co{s}^2 {\theta }_2-isin {\theta }_{2}cos {\theta }_2+isin {\theta }_{2}cos {\theta }_2-i^{2}si{n}^2 {\theta }_2}\right)\\ =\frac{r_1}{r_2}\end{array}$

$\left(\frac{{\displaystyle cos {\theta }_{1}cos {\theta }_2-isin {\theta }_{2}cos {\theta }_1+isin {\theta }_{1}cos {\theta }_2-i^{2}sin {\theta }_{1}sin {\theta }_2}}{{\displaystyle co{s}^2 {\theta }_2+si{n}^2 {\theta }_2}}\right)$

$\begin{array}{rl}=& \frac{r_1}{r_2}(cos {\theta }_{1}cos {\theta }_2-isin {\theta }_{2}cos {\theta }_1+isin {\theta }_{1}cos {\theta }_2+sin {\theta }_{1}sin {\theta }_2)\end{array}$

$\begin{array}{rl}=& \frac{r_1}{r_2}[(cos {\theta }_{1}cos {\theta }_2+sin {\theta }_{1}sin {\theta }_2)+i(sin {\theta }_{1}cos {\theta }_2-sin {\theta }_{2}cos {\theta }_1)]\end{array}$

$=\frac{r_1}{r_2}[cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+isin ({\theta }_1-{\theta }_2)]$

46) اكتب $\cos 3\theta$ بدلالة $\cos \theta$ cos مستعملاً نظرية ديموافر، إرشاد: أوجد قيمة $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.

$cos 3\theta =4co{s}^3 \theta -3cos \theta$

47) اكتب: وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$، حيث n عدد صحيح موجب.

1) اكتب الصيغة العامة للجذور النونية للعدد المركب وهي:

$\begin{array}{c}{r}^{\frac{1}{n}}\left(cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+isin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right)\\ .k=0,1,2,\dots ,n-1 \mathrm{حيث})\end{array}$

2) عوِّض عن n بالقيمة المطلوبة، إذا أردت إيجاد الجذور الرباعية (n = 4) وإذا أردت إيجاد الجذور الخماسية( n = 5 )، وهكذا.

3) افترض أن k = 0 ، وعوّض في الصيغة العامة؛ لإيجاد الجذر الأول، ثم افترض أن k = 1، وعوّض لإيجاد الجذر الثاني، وهكذا حتى تصل إلى n - 1، فتحصل على جميع الجذور المطلوبة.