حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من المتباينات الآتية، ثم مثل مجموعة حلها بيانياً على خط الأعداد:

١٠) ف - ٦ $\ge$ ٣

ف - ٦ + ٦ $\ge$ ٣ + ٦ أضف ٦ إلى كلا الطرفين.

ف $\ge$ ٩

مجموعة الحل: {ف | ف $\ge$ ٩}.

١١) ر - ٨ $\le$ ٧

ر - ٨ + ٨ $\le$ ٧ + ٨ أضف ٨ إلى كلا الطرفين.

ر $\le$ ١٥

مجموعة الحل: {ر | ر $\le$ ٩}.

١٢) ت - ٣ > -٨

ت - ٣ + ٣ > -٨ + ٣ أضف ٣ إلى كلا الطرفين.

ت > - ٥

مجموعة الحل: {ت | ت > ٩}.

١٣) ١٣ > ١٨ + ر

١٣ - ١٨ > ١٨ - ١٨ + ر اطرح ١٨ من كلا الطرفين،

-٥ > ر

مجموعة الحل: {ر | ر < -٥}.

١٤) ٥ + جـ $\le$ ١

٥ - ٥ + جـ $\le$ ١ - ٥ اطرح ٥ من كلا الطرفين.

جـ $\le$ -٤

مجموعة الحل: {جـ | جـ $\le$ -٥}.

١٥) - ٢٣ $\ge$ ق - ٣٠

- ٢٣ + ٣٠ $\ge$ ق - ٣٠ + ٣٠ أضف ٣٠ إلى كلا الطرفين.

٧ $\ge$ ق

مجموعة الحل: {ق | ق $\le$ ٧}

١٦) و - ٥ $\le$ ٢و

و - و - ٥ $\le$ ٢و - واطرح و من كلا الطرفين.

- ٥ $\le$ و

مجموعة الحل: {و | و $\ge$ - ٥}

١٧) ٣ص + ٦ $\le$ ٢ص

٣ص - ٢ص + ٦ $\le$ ٢ص -٢ص اطرح ٢ص من كلا الطرفين.

ص + ٦ $\le$ ٠

ص $\le$ -٦ اطرح ٦ من كلا الطرفين.

مجموعة الحل: {ص | ص $\le$ - ٦}.

١٨) -٩ + ٢أ < ٣أ

-٩ + ٢أ - ٢أ < ٣أ - ٢أ اطرح ٢أ من كلا الطرفين.

-٩ < أ

مجموعة الحل: {أ | أ > - ٩}.

عرف كل متغير فيما يأتي، ثم اكتب المتباينة، وحلها:

١٩) ناتج طرح ٨ من عدد ما أقل من ٢١.

ن = العدد المتغير.

ن - ٨ < ٢١

ن - ٨ + ٨ < ٢١ + ٨

ن < ٢٩

مجموعة الحل: {ن | ن < ٢٩}.

٢٠) مثلا عدد ما أكبر من مجموع ذلك العدد و٩.

ن = العدد المتغير.

٢ن > ن + ٩

٢ن - ن > ن - ن + ٩

ن > ٩

مجموعة الحل: {ن | ن > ٩}.

حل كلاً من المسائل (٢١ - ٢٤) بتعريف متغير، وكتابة متباينة، ثم حلها:

٢١) توفير: يريد غانم أن يشتري سيارة ثمنها ٥٤٤٠٠ ريال على الأقل، وقد وفر ١٣٠٠٠ ريال، فما المبلغ المتبقي عليه لشراء السيارة؟

المتغير (ب) هو المبلغ المتبقي.

ب + ١٣٠٠٠ - ١٣٠٠٠ $\ge$ ٥٤٤٠٠ - ١٣٠٠٠

ب $\ge$ ٤١٤٠٠

مجموعة الحل: {ب | ب $\ge$ ٩}.

المبلغ المتبقي على الأقل ٤١٤٠٠ ريال.

٢٢) تقنية: أظهرت دراسة حديثة أن أكثر من ٢١ مليوناً ممن هم بين سن الثانية عشرة والسابعة عشرة يستعملون الإنترنت، منهم ١٦ مليوناً يستعملون الإنترنت في المدرسة، فما عدد الذين يستعملون الإنترنت خارج المدرسة؟

افرض أن س = عدد الذين يستعملون الإنترنت خارج المدرسة بالملايين؛

س > ٢١ - ١٦

س > ٥

مجموعة الحل: {س | س > ٥}.

هناك أكثر من ٥ ملايين من الشباب يستعملون الإنترنت خارج المدرسة.

٢٣) مكتبة: أضاف أحمد ٢٠ كتاباً جديداً إلى مكتبته فأصبح لديه أكثر من ٦١ كتاباً، فكم كتاباً كان لديه؟

افرض أن ق = عدد الكتب الموجودة في مكتبة أحمد أصلاً؛

ق + ٢٠ > ٦١

ق + ٢٠ - ٢٠ > ٦١ - ٢٠

ق > ٤١

مجموعة الحل: {ق | ق > ٤١}.

أي أنه كان في المكتبة أصلاً أكثر من ٤١ كتاباً.

٢٤) كرة سلة: أراد أحد اللاعبين إحراز ١٥٠ نقطة على الأقل في هذا الموسم، وسجل حتى الآن ١٢٣ نقطة، فكم نقطة بقيت عليه؟

افرض أن ص = عدد النقاط اللازمة؛

ص + ١٢٣ $\ge$ ١٥٠

ص + ١٢٣ - ١٢٣ $\ge$ ١٥٠ - ١٢٣

ص $\ge$ ٢٧

مجموعة الحل: {ص | ص $\ge$ ٢٧}.

أي يجب أن يسجل ٢٧ نقطة على الأقل.

٢٥) متطوعون: يتطوع بعض الشباب لخدمة حجاج بيت الله الحرام في مكة المكرمة ومنى، ويقول أحدهم: إن بإمكانه أن يتطوع لمدة لا تتجاوز ٣٠ ساعة في الأسبوع، فإذا تطوع المدة المبينة في الجدول المجاور، فما المدة التي يستطيع أن يتطوع بها هذا الأسبوع؟

افرض أن الزمن المتبقي = ن ساعة.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥} + \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤}$ + ن $\le$ ٣٠

$\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٣}}+\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٤}}$ + ن $\le$ ٣٠

١٢ × $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٣}}$ + ١٢ × $\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٤}}$ + ١٢ × ن $\le$ ١٢ × ٣٠

٦٤ + ٥١ + ١٢ن $\le$ ٣٦٠

١١٥ + ١٢ن $\le$ ٣٦٠

١١٥ - ١١٥ + ١٢ن $\le$ ٣٦٠ - ١١٥

١٢ن $\le$ ٢٤٥

ن = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{٢٠}$

أي الوقت المتبقي ٢٠ ساعة و٢٥ دقيقة على الأكثر.

حل كلاً من المتباينتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل، ثم مثل مجموعة الحل بيانياً على خط الأعداد:

٢٦) ٩,١ ص + ٤,٥ < ١٠,١ص

٩,١ ص - ٩,١ص + ٤,٥ < ١٠,١ص - ٩,١ص

٤,٥ < ص

مجموعة الحل: {ص | ص > ٤,٥}.

٢٧) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$د - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ $\le$ $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$د

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$د - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ $\le$ $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$د

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$د - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$د $\le$ $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$ + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

د $\le$ $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}+\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٩}}$

د$\le$$\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٩}}$

مجموعة الحل: {د | د $\le$ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}\mathrm{١}$}.

٢٨) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة عمليتي الضرب والقسمة على المتباينات.

أ) هندسياً: افترض وجود ١٢ كجم على الكفة اليمنى للميزان و١٨ كجم على الكفة اليسرى، وضح بالرسم هذا الموقف.

ب) عددياً: اكتب متباينة تمثل هذا الموقف.

١٢ كيلو جرام < ١٨ كيلو جرام,

جـ) جدولياً: أنشئ جدولاً يبين نتيجة جعل الكتل على كلتا الكفتين: مثلين، وثلاثة أمثال، وأربعة أمثال، وأنشئ جدولاً آخر يبين نتيجة إنقاص الكتل على كلتا الكفتين بنسبة $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، و$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، و $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ وخصص عموداً للمتباينة في كلا الجدولين.

د) لفظياً: صف تأثير ضرب أو قسمة كل من طرفي المتباينة، في العدد الموجب نفسه، على المتباينة.

إذا ضرب طرفا متباينة في عدد موجب تكون المتباينة الناتجة صحيحة، وإذا قسم كلاً من طرفي متباينة صحيحة على عدد موجب تكون المتباينة الناتجة صحيحة أيضاً.

٢٩) تبرير: حدد أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين التمثيل البياني لكل من المتباينتين س < ٤ وس $\le$٤.

كلا الخطين مظلل إلى اليسار، هناك دائرة عند العدد ٤ في المتباينة.

س < ٤ تدل على أن ٤ ليست ضمن التمثيل، وهناك نقطة عند ٤ في المتباينة.

س $\le$ تدل على أن ٤ ضمن التمثيل.

٣٠) تحد: افترض ب > د +$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، جـ + ١ < أ - ٤، د + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ > أ + ٢ رتب الأعداد أ، ب، جـ، د من الأصغر إلى الأكبر.

افرض ب > د + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

جـ + ١ < أ - ٤

د + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ > أ + ٢

رتب الأعداد من الأكبر إلى الأصغر: جـ < أ < د < ب

٣١) مسألة مفتوحة: اكتب ثلاث متباينات خطية تكافئ ص < -٣.

ص + ١ < - ٢

ص - ١ < - ٤

ص + ٣ < ٠

٣٢) اكتب ما خطوات حل المتباينة الخطية وتمثيل مجموعة حلها على خط الأعداد؟

أن حل المتباينة الخطية مشابه لحل المعادلة الخطية إذا يجب أن تفصل المتغير في أحد طرفي المتباينة، وعند تمثيل المتباينة بيانياً استعمل دائرة مفتوحة إذا كانت المتباينة تضم الإشارتين < أو >، إن كانت غير ذلك استعمل دائرة مغلقة.

وإذا كان المتغير في الجهة اليمنى من المتباينة وكانت إشارة المتباينة "أقل من" أو "أكثر من" فإن التمثيل البياني يمتد إلى اليسار وما عدا ذلك يمتد التمثيل البياني إلى اليمين.

٣٣) ما مجموعة حل المتباينة ٧ + س < ٥؟

أ) {س | س < ٢}

ب) {س | س > ٢}

جـ) {س | س < -٢}

د) {س | س > -٢}

٧ + س < ٥

٧ - ٧ + س < ٥ - ٧

س < -٢

٣٤) كان متوسط درجات ١٠ طلاب في مادة الكيمياء ٧٨، ثم اكتشف المعلم أنه أخطأ في رصد درجة هؤلاء الطلاب فكانت أقل من درجته الحقيقية بعشر درجات، فكم يصبح متوسط درجات الطلاب بعد التعديل؟

٧٨٠ + ١٠ = ٧٩٠

إذن متوسط الدرجات = $\frac{\mathrm{٧٩٠}}{\mathrm{١٠}}$ = ٧٩