حل أسئلة تدرب وحل المسائل

عرف متغيراً في كل من السؤالين ٦، ٧ واكتب متباينة، وحلها، ثم فسر الحل:

٦) هاتف نقال: اشترى سعد بطاقة هاتف بمبلغ ٥٠ ريالاً، فإذا كان سعر الدقيقة ٠,٢٤ ريال، فكم دقيقة يمكنه أن يتكلم بهذه البطاقة؟

نفرض أن المتغير (د) هو عدد الدقائق التي يمكن أن يتكلمها سعد بالبطاقة المدفوعة.

٠,٢٤د $\le$ ٥٠

د $\le$ ٢٠٨,٣ أي يمكن لسعد أن يتحدث ٢٠٨ دقائق على الأكثر.

٧) نقود: يحتاج رائد إلى ٥٦٠ ريالاً على الأقل لتغطية نفقات رحلته، وقد بدأ بتوفير ٢٥ ريالاً من مصروفه كل أسبوع، فبعد كم أسبوع يمكنه القيام بالرحلة؟

افرض أن المتغير س هو عدد الأسابيع يجب أن يوفر فيها رائد.

٢٥س $\ge$ ٥٦٠

س $\ge$ ٢٢,٤ أي أن على رائد أن يوفر مدة ٢٣ أسبوع حتى يجمع المبلغ الكافي للرحلة.

حل كلاً من المتباينات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٨) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$م $\le$ -١٧

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$م $\le$ -١٧ اضرب كلا الطرفين في ٤

٤ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$م $\le$ ٤ × -١٧

م $\le$ - ٦٨

التحقق:

-٦٦ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ = - ١٦,٥ أي < -١٧

٩) -١١ > -$\frac{\mathrm{جـ}}{\mathrm{١١}}$

-١١ > -$\frac{\mathrm{جـ}}{\mathrm{١١}}$ اضرب كلا الطرفين في - ١١

-١١ × - ١١ > -$\frac{\mathrm{جـ}}{\mathrm{١١}}$ × -١١

١٢١ < جـ

التحقق:

-١٢٢ ÷ ١١ = - ١١,٩ أي < - ١١

١٠) - ١٠ $\le$$\frac{س}{-\mathrm{٢}}$

- ١٠ $\le$$\frac{س}{-\mathrm{٢}}$

-٢ × - ١٠ $\le$ -٢ ×$\frac{س}{-\mathrm{٢}}$

س $\le$ ٢٠

التحقق:

١٨ ÷ -٢ = -٩ أي > -١٠

١١) - ٧٢ < $\frac{ف}{-\mathrm{٦}}$

- ٧٢ < $\frac{ف}{-\mathrm{٦}}$ اضرب كلا الطرفين في - ٦

- ٦ × - ٧٢ < -٦ × $\frac{ف}{-\mathrm{٦}}$

ف < ٤٣٢

التحقق:

$\frac{\mathrm{٤٣٠}}{-\mathrm{٦}}$ = - ٧١,٦ أي > - ٧٢

١٢) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$هـ > ١٤

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$هـ > ١٤ اضرب كلا الطرفين في $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)هـ > ١٤ ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)

هـ > ٢١

التحقق:

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ × ٢٧ = ١٨ أي > ١٤

١٣) -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ن $\le$ - ١٨

-$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ن $\le$ - ١٨ اضرب كلا الطرفين في -٦

-٦ × -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ن $\ge$-٦ × - ١٨

ن $\ge$ ١٠٨

التحقق:

-$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ × ١٠٨ = -١٨

١٤) ٦ص $\le$ ٩٦

٦ص $\le$ ٩٦ اقسم كلا الطرفين على ٦

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٦}}$ص $\le$ $\frac{\mathrm{٩٦}}{\mathrm{٦}}$

ص $\le$١٦

التحقق:

٦ × ١٦ = ٩٦

١٥) ٤س < ٦٤

٤س < ٦٤ اقسم كلا الطرفين على ٤

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤}}$س < $\frac{\mathrm{٦٤}}{\mathrm{٤}}$

س < ١٦

التحقق:

٤ × ١٥ = ٦٠ أي < ٦٤

١٦) ٣٢ > -٢ع

٣٢ > -٢ع اقسم كلا الطرفين على -٢

$\frac{\mathrm{٣٢}}{-\mathrm{٢}}$< $\frac{-\mathrm{٢}}{-\mathrm{٢}}$ع

ع > - ١٦

التحقق:

-٢ × - ١٤ = ٢٨ أي < ٣٢

١٧) -٦ط > - ٧٢

-٦ط > - ٧٢ اقسم كلا الطرفين على - ٦

$\frac{-\mathrm{٦}}{-\mathrm{٦}}$ط < $\frac{\_\mathrm{٧٢}}{-\mathrm{٦}}$

ط < ١٢

التحقق:

-٦ × ١١ = ٦٦ أي > - ٧٢

١٨) -٣٣ $\ge$ -٣س

-٣٣ $\ge$ -٣س

$\frac{-\mathrm{٣٣}}{-\mathrm{٣}}\le$$\frac{-\mathrm{٣}}{-\mathrm{٣}}$س

س $\ge$١١

التحقق:

-٣ × ١٢ = -٣٦ أي < - ٣٣

١٩) -٧ف > ٥

-٧ف > ٥ اقسم كلا الطرفين على -٧

$\frac{-\mathrm{٧}}{-\mathrm{٧}}$ف < $\frac{\mathrm{٥}}{-\mathrm{٧}}$

ف < -$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$

التحقق:

-٧ × - $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$ = ٤ اي < ٥

٢٠) دورات تدريبية: من متطلبات الحصول على شهادة في إحدى الدورات حضور المشترك $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ أيام التدريب على الأقل، فإذا حقق سالم هذا الشرط بحضوره ١٥ يوماً تدريبياً، فما الحد الأعلى عدد أيام التدريب في هذه الدورة؟

افرض ن = عدد أيام التدريب،

١٥ > $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ن

١٥ × $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$ > $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ن × $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$

ن < ٢٥ إذن الحد الأعلى لعدد أيام التدريب في هذه الدورة ٢٥ يوم.

٢١) متحف: أراد مدرس التاريخ في مدرسة متوسطة اصطحاب طلابه لزيارة متحف، فإذا كان سعر بطاقة دخول المتحف للفرد ٨ ريالات، فما عدد الطلاب الذين يمكن أن يزوروا المتحف بمبلغ ٢٦٠ ريالاً؟

٨ط $\le$ ٢٦٠

$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٨}}$ط $\le$ $\frac{\mathrm{٢٦٠}}{\mathrm{٨}}$

ط $\le$$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣٢}$ إذن عدد الطلاب لا يزيد على ٣٢ طالباً.

٢٢) بنزين: إذا كان سعر لتر البنزين لا يقل عن ١,٣٧ ريال، فكم لتراً من البنزين (لأقرب جزء من عشرة) يمكن أن يشتري خالد بمبلغ ٧٥ ريالاً؟

٠,٤٥ل $\ge$٢٤

ل $\ge$ ٥٣,٣ أي أن عدد اللترات لا يزيد عن ٥٣,٣ لتر.

اكتب أمام كل متباينة رمز التمثيل البياني لحلها:

٢٣) -$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$هـ $\le$ ٩

(-$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)(-$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)هـ $\ge$ (-$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) ٩

هـ $\ge$ -$\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٢}}$ التمثيل ب)

٢٤) ٢٥ ك $\ge$ ٨

ك $\ge \frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢٥}}$

ك $\ge$ ٠,٣٢ التمثيل أ)

٢٥) ٣,٦س < -٤,٥

س < $\frac{\mathrm{٥}.\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}.\mathrm{٣}}$

س < - ١,٢٥ التمثيل د)

٢٦) ٢,٣ < -٥ت

$\frac{\mathrm{٣}.\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$ > ت

-٠,٤٦ > ت التمثيل جـ)

٢٧) حلوى: أشار ثلثا طلاب الصف الثالث في مدرسة متوسطة، وعددهم أقل من ٣٦ طالباً، إلى أنهم يفضلون الشوكولاتة على غيرها من الحلوى، فما عدد طلاب الصف؟

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ط < ٣٦

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ط < ٣٦ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

ط < ٥٤

أي أن عدد الطلاب أقل من ٥٤ طالباً.

٢٨) تمثيلات متعددة: حجم الهرم = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ مساحة قاعدته × الارتفاع.

أ) هندسياً: ارسم هرماً قاعدته مربعة طول ضلعها ل سم وارتفاعه ع سم.

ب) عددياً: إذا كان حجم الهرم ٧٢ سم^٣، فاكتب معادلة لإيجاد ارتفاعه.

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ل^٢ ع

٧٢ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ل^٢ ع

ل^٢ ع = ٢١٦

ع = $\frac{\mathrm{٢١٦}}{{ل}^{\mathrm{٢}}}$

جـ) جدولياً: أنشئ جدولاً يبين قيم ع عندما ل = ٣,١، ٦، ٩، ١٢

د) عددياً: اكتب متباينة لقيم ل الممكنة على أن يكون ل < ع، واكتب متباينة أخرى بقيم ع الممكنة على أن يكون ل > ع.

• ل > ع عندما ٠ < ل < ٦
• ل< ع عندما ع < ٦

٢٩) اكتشف الخطأ: حل كل من طلال وجمال المتباينة ٦د $\ge$ - ٨٤، فأيهما كانت إجابته صحيحة؟ اشرح تبريرك.

طلال؛ لأنه يحتاج لعكس اتجاه إشارة المتباينة عند القسمة على عدد موجب.

٣٠) تحد: حدد إذا كانت المتباينتان س^٢ > ١، س > ١ متكافئتين أم لا، وفسر إجابتك.

لا؛ غير متكافئين، مجموعة حل س^٢ > ١ تتضمن فيماً سالبة.

٣١) تبرير: وضح إذا كانت العبارة "إذا كان أ > ب فإن $\frac{\mathrm{١}}{أ}>\frac{\mathrm{١}}{ب}$" صحيحة أحياناً، أم دائماً، أم غير صحيحة أبداً"، وفسر إجابتك.

أحياناً، فهي صحيحة عندما أ > ٠، ب > ٠

٣٢) مسألة مفتوحة: اكتب موقفاً من واقع الحياة يمثل المتباينة -$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\ge$س.

لا تزيد درجة الحرارة في مكان ما على - $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ سيليزية.

٣٣) اكتب: ما الحالات التي يتغير فيها اتجاه إشارة المتباينة؟ وأعط أمثلة تؤيد ذلك.

يتغير اتجاه إشارة المتباينة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب لتبقى المتباينة صحيحة.

مثال: عند قسمة -٢س > ٤ على -٢ ينتج أن س < - ٢.

٣٤) إجابة قصيرة: أوجد قيمة س في الشكل الآتي.

طول الوتر = $\sqrt{{\left(\mathrm{٢٠}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{١٥}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٥ سم

$\frac{س}{\mathrm{٢٥}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٥}}$ تشابه مثلثات

١٥س = ٢٥ × ٦

س = ١٠ سم

٣٥) ما حل المعادلة: ٤س - ٣ = -٢س؟

أ) -٢

ب) -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

جـ) $\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٢}}$

د) ٢

٤س - ٣ = -٢س

٤س - ٣ + ٢س = -٢س + ٢س

٦س - ٣ + ٣ = ٣

٦س = ٣

س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ إذن الإجابة جـ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$