تدرب وحل المسائل

أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في كلّ ممَّا يأتي:

6)

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

$\begin{array}{rl}& \frac{6}{21}=\frac{8}{x}\\ & x=\frac{8\times 21}{6}\\ & x=28\end{array}$

7)

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{array}{rl}& \frac{x}{17}=\frac{7.5}{15}\\ & x=\frac{7.5\times 17}{15}\\ & x=8.5\end{array}$

8)

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

$\begin{array}{rl}& \frac{21}{x}=\frac{14+14}{6+6}\\ & x=\frac{21\times 12}{28}\\ & x=9\end{array}$

9)

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

$\begin{array}{rl}& \frac{8}{x}=\frac{12}{27}\\ & x=\frac{27\times 8}{12}\\ & x=18\end{array}$

10) طرق: شكل الطريقان المتقاطعان في الشكل أدناه مثلثين متشابهين، إذا كان AC=382ft، MP=248ft، تبعد محطة المحروقات 50ft عن التقاطع، فكم يبعد المصرف عن التقاطع مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة.

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

$\begin{array}{rl}& \frac{AC}{MP}=\frac{x}{50}\\ & \frac{382}{248}=\frac{x}{50}\\ & x=\frac{50\times 382}{248}=77\mathrm{ft}\end{array}$

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

11)

$\begin{array}{rl}& \frac{27}{b}=\frac{15}{28-b}\\ & 756-27b=15b\\ & 15b+27b=756\\ & 42b=756\\ & b=18\end{array}$

12)

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

$\begin{array}{rl}& \frac{y}{8}=\frac{30}{28-8}\\ & 20y=30\times 8\\ & y=\frac{240}{20}\\ & y=12\end{array}$

13) جبر: إذا كانت $\overline{AB},\overline{JK}$ارتفاعين، وكان:

$\begin{array}{r}\mathrm{△}DAC~\mathrm{△}MJL,AB=9\\ AD=4x-8,JK=21,JM=5x+3\end{array}$

فأوجد قيمة x.

$\begin{array}{rl}& \frac{AB}{JK}=\frac{AD}{JM}\\ & \frac{9}{21}=\frac{4x-8}{5x+3}\\ & 45x+27=21(4x-8)\\ & 45x+27=84x-168\\ & 84x-45x=27+168\\ & 39x=195\\ & x=5\end{array}$

14) برهان: اكتب برهاناً حراً للنظرية 6.9.

المعطيات:

$\mathrm{△}RTS~\mathrm{△}EGF$، $\overline{TA},\overline{GB}$ منصفا زاويتين.

المطلوب:

$\frac{TA}{GB}=\frac{RT}{EG}$

البرهان: بما أن الزوايا المتناظرة في المثلثين المتشابهين تكون متطابقة، فإن:

$\mathrm{\angle }R\cong \mathrm{\angle }E,\mathrm{\angle }RTS\cong \mathrm{\angle }EGF$

ولأن $\mathrm{\angle }RTS,\mathrm{\angle }EGF$ نصفتا، فإن:

$\begin{array}{c}2\left(m\mathrm{\angle }RTA\right)=m\mathrm{\angle }RTS\\ 2\left(m\mathrm{\angle }EGB\right)=m\mathrm{\angle }EGF\end{array}$

ولكن: $m\mathrm{\angle }RTS=m\mathrm{\angle }EGF$

$2\left(m\mathrm{\angle }RTA\right)=2\left(m\mathrm{\angle }EGB\right)$

إذاً $m\mathrm{\angle }RTA=m\mathrm{\angle }EGB$

أي أن: $\mathrm{\angle }RTA\cong \mathrm{\angle }EGB$

وبحسب مسلمة التشابه AA، يكون:

$\mathrm{△}RTA~\mathrm{△}EGB$

إذاً $\frac{TA}{GB}=\frac{RT}{EG}$

15) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 6.10.

المعطيات:

$\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}RST$

$\overline{DA}$ قطعة متوسطة ل $\mathrm{△}ABC$.

$\overline{UR}$ قطعة متوسطة ل $\mathrm{△}RST$.

المطلوب:

$\frac{AD}{RU}=\frac{AB}{RS}$

البرهان:

جبر: أوجد قيمة x في كلّ من السؤالين الآتيين:

16)

$\begin{array}{rl}& \frac{24}{18}=\frac{3x-1}{2x+1}\\ & 48x+24=54x-18\\ & 48x-54x=-18-24\\ & -6x=-42\\ & x=7\end{array}$

17)

$\begin{array}{rl}& \frac{8}{10}=\frac{6x+2}{9x-2}\\ & 72x-16=60x+20\\ & 72x-60x=20+16\\ & 12x=36\\ & x=3\\ & x=7\end{array}$

18) رياضة: تأمَّل المثلث المتشكل من المسارات بين أحمد وعبد الله وخالد في أثناء مباراة كرة قدم كما في الشكل المجاور، إذا ركل أحمد الكرة بمسار ينصف $\mathrm{\angle }B$ في $\mathrm{△}CBR$ فأيهما أقرب إلى الكرة؛ عبد الله أم خالد؟ وضح إجابتك.

عبد الله؛ إجابة ممكنة: بما أن مسار الكرة ينصف $\mathrm{\angle }B$ فإن النسبة بين طولي القطعتين اللتين قسم إليهما الضلع المقابل للزاوية CBR تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

أي: $\frac{CH}{RH}=\frac{BC}{BR}$ وبالتعويض:

$\begin{array}{r}\frac{CH}{RH}=\frac{202}{197}\approx 1.03\\ \frac{197}{RH}=\frac{202}{CH}\end{array}$

وحيث 197< 202 فإن RH>CH

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ من السؤالين الآتيين.

19) النظرية 6.11

المعطيات: $\overline{CD}$ تنصف $\angle ACB$.

وبالرسم $\overline{AE}\parallel \overline{CD}$

المطلوب: إثبات أن:

$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}$

البرهان:

نرسم، ونصل بين E,C.

20) المعطيات: $\overline{AS}$ تنصف $\angle HAG$

المطلوب: إثبات أن $\frac{HS}{GS}=\frac{AH}{AG}$

المعطيات:

$\mathrm{△}RTS~\mathrm{△}EGF$، $\overline{TA},\overline{GB}$ منصفا زاويتين.

المطلوب:

$\frac{TA}{GB}=\frac{RT}{EG}$

البرهان:

بما أن الزوايا المتناظرة في المثلثين المتشابهين تكون متطابقة، فإن:

$\mathrm{\angle }R\cong \mathrm{\angle }E,\mathrm{\angle }RTS\cong \mathrm{\angle }EGF$ ولأن $\mathrm{\angle }RTS,\mathrm{\angle }EGF$ نصفتا فأن:

$\begin{array}{rl}& 2\left(m\mathrm{\angle }RTA\right)=m\mathrm{\angle }RTS\\ & ،2\left(m\mathrm{\angle }EGB\right)=m\mathrm{\angle }EGF\end{array}$ ولكن:

$m\mathrm{\angle }RTS=m\mathrm{\angle }EGF$ إذاً:

$m\mathrm{\angle }RTA=m\mathrm{\angle }EGB$ أي أن:

$\mathrm{\angle }RTA\cong \mathrm{\angle }EGB$

وبحسب مسلمة التشابه AA يكون:

$\mathrm{△}RTA~\mathrm{△}EGB$ إذاً

$\frac{TA}{GB}=\frac{RT}{EG}$

21) أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفين فيها تساوي 13in، $\overline{AK}$ قطعة متوسطة ل $\mathrm{△}ABC$. إذا كان $EF=3\frac{1}{3}\text{in}$، فكم يكون BK؟

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\mathrm{EF}=\mathrm{DE}=3\frac{1}{2}\\ \mathrm{AB}=13\times 3=39\mathrm{in}\end{array} \\ \mathrm{△}\mathrm{ADE}◻\mathrm{△}\mathrm{ABK} \\ \frac{13}{39}=\frac{3.5}{\text{ BK }} \\ \mathrm{BK}=\frac{39\times 3.5}{13}=10.5\mathrm{in} \end{gathered}$$