حل أسئلة اختبار الفصل الثاني

أوجد الجذور التربيعية الآتية:

١) $\sqrt{\mathrm{٢٢٥}}$

$\sqrt{\mathrm{٢٢٥}}$ يشير إلى جذر تربيعي موجب.

بما أن ^٢١٥ = ٢٢٥

فإن $\sqrt{\mathrm{٢٢٥}}$ = ١٥

٢) $-\sqrt{\mathrm{٢٥},\mathrm{٠}}$

$-\sqrt{\mathrm{٢٥},\mathrm{٠}}$ يشير إلى جذر تربيعي سالب.

بما أن ٠,٥ = ٠,٢٥

فإن $-\sqrt{\mathrm{٢٥},\mathrm{٠}}$ = -٠,٥

٣) $\pm \sqrt{\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤٩}}}$

$\pm \sqrt{\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤٩}}}$ يشير إلى الجذرين التربيعين الموجب والسالب.

بما أن ($\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}$)^٢ = $\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤٩}}$

فإن $\pm \sqrt{\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤٩}}}$ = $\pm \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}$

٤) اختيار من متعدد: أي قائمة فيما يلي تحوي أعداداً مرتبة من الأصغر إلى الأكبر؟

أ) $\overline{\mathrm{٢}},\mathrm{٢}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$، ٢,٢٥، $\sqrt{\mathrm{٥}}$

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$، $\overline{\mathrm{٢}},\mathrm{٢}$، $\sqrt{\mathrm{٥}}$، ٢,٢٥

جـ) $\sqrt{\mathrm{٥}}$، ٢,٢٥، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$، $\overline{\mathrm{٢}},\mathrm{٢}$

د) ٢,٢٥، $\sqrt{\mathrm{٥}}$، $\overline{\mathrm{٢}},\mathrm{٢}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$

قدر كلاً مما يأتي إلى أقرب عدد كلي:

٥) $\sqrt{\mathrm{٦٧}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٦٧ هو ٦٤. $\sqrt{\mathrm{٦٤}}$ = ٨
• أصغر مربع كامل أكبر من ٦٧ هو ٨١. $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩

٦٤ < ٦٧ < ٨١

^٢٨ < ٦٧ < ^٢٩

$\sqrt{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$ < $\sqrt{\mathrm{٦٧}}$ < $\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}$

٨ < $\sqrt{\mathrm{٦٧}}$ < ٩

$\sqrt{\mathrm{٦٧}}$ يقع بين ٨، ٩ بما أن ٦٧ أقرب إلى ٦٤ منه إلى ٨١؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٦٧}}$ بعدد كلي هو ٨.

٦) $\sqrt{\mathrm{١١٨}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ١١٨ هو ١٠٠. $\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ = ١٠
• أصغر مربع كامل أكبر من ١١٨ هو ١٢١. $\sqrt{\mathrm{١٢١}}$ = ١١

١٠٠ < ١١٨ < ١٢١

^٢١٠ < ١١٨ < ^٢١١

$\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$ < $\sqrt{\mathrm{١١٨}}$ < $\sqrt{{\mathrm{١١}}^{\mathrm{٢}}}$

١٠ < $\sqrt{\mathrm{١١٨}}$ < ١١

$\sqrt{\mathrm{١١٨}}$ يقع بين ١٠، ١١ بما أن ١١٨ أقرب إلى ١٢١ منه إلى ١٠٠؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١١٨}}$ بعدد كلي هو ١١.

٧) $\sqrt{\mathrm{٨٢}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٨٢ هو ٨١. $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩
• أصغر مربع كامل أكبر من ٨٢ هو ١٠٠. $\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ = ١٠

٨١ < ٨٢ < ١٠٠

^٢٩ < ٨٢ < ^٢١٠

$\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}$ < $\sqrt{\mathrm{٨٢}}$ < $\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$

٩ < $\sqrt{\mathrm{٨٢}}$ < ١٠

$\sqrt{\mathrm{٨٢}}$ يقع بين ٩، ١٠ بما أن ٨٢ أقرب إلى ٩ منه إلى ١٠؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٨٢}}$ بعدد كلي هو ٩.

سم كل مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد حقيقي فيما يأتي:

٨) $-\sqrt{\mathrm{٦٤}}$

= -٨

فهو عدد صحيح، ونسبي.

٩) $\overline{ \mathrm{١٣}},\mathrm{٦}$

= ٦,١٣١٣١٣١٣١٣

كسر عشري دوري، فهو عدد نسبي.

١٠) $\sqrt{\mathrm{١٤}}$

= ٣,٥٦٣٢٣٧٨٤٧٣٨٥٥٣١٤٩٣٧٧٦٨٣٧٥٦١٤٧

بما أن الكسر العشري ليس منتهياً ولا متكرراً، فهو عدد غير نسبي.

١١) طعام: أجرى أحد المطاعم مسحاً لـ ٥٠ زبوناً، فبينت النتائج أن ١٥ شخصاً يحبون فطيرة الجبن، و٢٥ يحبون فطيرة اللبنة، و٤ يحبون النوعين معاً، كم شخصاً لا يحب فطيرة الجبن وفطيرة اللبنة؟ استعمل أشكال ڤن في الحل.

• أفهم: تعرف الذين يحبون فطيرة الجبن، واللبنة، والذين يحبونهما معاً.
• خطط: استعمل شكل ڤن لتنظيم البيانات.
• حل: ارسم دائرتين متقاطعتين تمثلان الفطيرتين، بما أنه يوجد ٤ يحبون الجبن واللبنة فضع ٤ في الجزء المشترك من الدائرتين.

استعمل الطرح لتحدد العدد في الجزأين المتبقين.

• عدد الأشخاص الذين يحبون فطيرة الجبن = ١٥ - ٤ = ١١
• عدد الأشخاص الذين يحبون فطيرة اللبنة = ٢٥ - ٤ = ٢١
• عدد الأشخاص الذين لا يحبون فطيرة الجبن وفطيرة اللبنة = ٥٠ - ١١ - ٤ - ٢١ = ١٤ شخصاً.

تحقق: تأكد أن كل دائرة تمثل العدد المناسب من الطلاب.

اكتب معادلة يمكن استعمالها لإيجاد طول الضلع المجهول في كل مثلث قائم الزاوية، ثم أوجد الطول المجهول مقرباً إلى أقرب عشر:

١٢)

ج^٢ = ^٢٨ + ^٢٦

ج^٢ = ^٢٨ + ^٢٦

ج^٢ = ٦٤ + ٣٦ = ١٠٠

ج = $\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٠ سم.

١٣)

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢١٠ = أ^٢ + ^٢٥

أ^٢ = ^٢١٠ - ^٢٥

أ = $\sqrt{\mathrm{٥٧}}$ = ٨,٧ سم تقريباً.

١٤) أ = ٥٥سم، ب = ٤٨ سم

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

ج^٢ = ^٢٥٥ + ^٢٤٨

ج^٢ = ٣,٢٥ + ٢٣٠٤ = ٥٣٢٩

ج = $\sqrt{\mathrm{٥٣٢٩}}$ = ٧٣ سم<

١٥) ب = ١٢م، جـ = ٢٠ م؟

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٢٠ = أ^٢ + ^٢١٢

أ^٢ = ^٢٢٠ - ^٢١٢

أ^٢ = ٤٠٠ - ١٤٤ = ٢٥٦

أ = $\sqrt{\mathrm{٢٥٦}}$ = ١٦ م.

حدد ما إذا كان كل مثلث بالأضلاع المعطاة فيما يأتي قائم الزاوية أم لا، وتحقق من إجابتك:

١٦) ١٢ سم، ٢٠ سم، ٢٤ سم.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٢٤ = ^٢٢٠ + ^٢١٢

٥٧٦ = ٤٠٠ + ١٤٤

٥٧٦ $\ne$ ٥٤٤

إذاً المثلث ليس قائم الزاوية.

١٧) ٣٤ سم، ٣٠ سم، ١٦ سم.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٣٤ = ^٢٣٠ + ^٢١٦

١١٥٦ = ٩٠٠ + ٢٥٦

١١٥٦ = ١١٥٦

إذاً المثلث قائم الزاوية.

١٨) ١٥م، ٢٥م، ٢٠م.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٢٥ = ^٢٢٠ + ^٢١٥

٦٢٥ = ٤٠٠ + ٢٢٥

٦١٥ = ٦٢٥

إذاً المثلث قائم الزاوية.

١٩) ٧سم، ١٤سم، ١٥سم.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢١٥ = ^٢١٤ + ^٢٧

٢٢٥ = ١٩٦ + ٤٩

٢٢٥ $\ne$ ٢٥٤

إذاً المثلث ليس قائم الزاوية.

٢٠) اختيار من متعدد: يلعب سعد بطائرته الورقية.

أي القياسات الآتية هي الأقرب لطول الخيط؟

أ) ١٣١ م

ب) ٨٣ م

جـ) ٩٧ م

د) ٦٣ م

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

ج^٢ = ^٢٩٠ + ^٢٣٦

ج^٢ = ٨١٠٠ + ١٢٩٦ = ٩٣٩٦

ج = $\sqrt{\mathrm{٩٣٩٦}}$ = ٩٦,٦ م

≈ ٩٧ تقريباً.

٢١) قياس: احسب محيط مثلث قائم الزاوية طولا ساقيه ١٠سم، ٨سم.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

ج^٢ = ^٢١٠ + ^٢٨

ج^٢ = ١٠٠ + ٦٤ = ١٦٤

ج = $\sqrt{\mathrm{١٦٤}}$ = ١٢,٨ سم.

٢٢) مسح: أراد فريق مسحي إيجاد المسافة من النقطة أ إلى ب أي (عرض النهر)، ما عرضه مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة؟

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٧٢ = أ^٢ - ^٢٢١

أ^٢ = ^٢٧٢ - ^٢٢١

أ^٢ = ٥١٨٤ - ٤٤١ = ٤٧٤٣

أ = $\sqrt{\mathrm{٤٧٤٣}}$ = ٦٨,٩ م.

مثل كل زوج مرتب مما يأتي، ثم احسب المسافة بين كل نقطتين مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم ذلك:

٢٣) (-٢، -٢)، (٥، ٦)

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

بما أن أ = ٥ - (-٢) = ٧

ب = ٦ -(-٢) = ٨

ج^٢ = ^٢٧ + ^٢٨

ج^٢ = ٦٤ + ٤٩

ج^٢ = ١١٣

ج = $\sqrt{\mathrm{١١٣}}$

ج = ١٠,٦ وحدة تقريباً.

٢٤) ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، ١)، ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١}$، $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١}$)

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

بما أن أ^٢ = ^٢٠,٧٥ + -^٢١

ب = -٠,٧٥ -(-٠,٢٥) = -١

= ٠,٥٦٢٥ + ١

= ١,٥٦٢٥

ج = $\sqrt{\mathrm{٥٦٢٥},\mathrm{١}}$

ج = ١,٢٥ وحدة.

٢٥) (-٠,٥، ٠,٢٥)، (٠,٢٥، -٠,٧٥)

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

ج^٢ = ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$)^٢ + ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^٢

ج^٢ = $\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٩}}+\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$

ج^٢ = $\frac{\mathrm{٢٩}}{\mathrm{٩}}$

ج = $\sqrt{\frac{\mathrm{٢٩}}{\mathrm{٩}}}=\frac{\mathrm{٤},\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$ = ١,٨ وحدة تقريباً.

أوجد إحداثيي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة الواصلة بين كل نقطتين فيما يأتي:

٢٦) (٢، ٣)، (٣، ٥)

م = ($\frac{{س}_{\mathrm{١}}+{س}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}، \frac{{ص}_{\mathrm{١}}+{ص}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$) قانون نقطة المنتصف

م = $\frac{\mathrm{٢} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٣}+\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$

م = ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢}}$)

م = (٢,٥، ٤)

٢٧) (-٣، ٤)، (-٢، -٣)

م = ($\frac{{س}_{\mathrm{١}}+{س}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}، \frac{{ص}_{\mathrm{١}}+{ص}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$) قانون نقطة المنتصف

م = $\frac{-\mathrm{٣}+(-\mathrm{٢})}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٤} +(-\mathrm{٣})}{\mathrm{٢}}$

م = ($\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)

م = (٣,٣٧٥، -٠,٢٥)

٢٨) (-١، -١)، (٣، ٢)

م = ($\frac{{س}_{\mathrm{١}}+{س}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}، \frac{{ص}_{\mathrm{١}}+{ص}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$) قانون نقطة المنتصف

م = $\frac{-\mathrm{١}+\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}،\frac{-\mathrm{١}+\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$

م = ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)

م = ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)

م = (١، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)

٢٩) (-٤، -٨)، (١٠، -٦)

م = ($\frac{{س}_{\mathrm{١}}+{س}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}، \frac{{ص}_{\mathrm{١}}+{ص}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$) قانون نقطة المنتصف

م = $\frac{-\mathrm{٤}+\mathrm{١٠}}{\mathrm{٢}}،\frac{-\mathrm{٨}+(-\mathrm{٦})}{\mathrm{٢}}$

م = ($\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}،\frac{-\mathrm{١٤}}{\mathrm{٢}}$)

م = (٣، -٧)