حل أسئلة تدرب وحل المسائل

بين ما إذا كانت العلاقة بين كل كميتين في الجداول الآتية خطية أم لا، وإذا كانت خطية، فأوجد المعدل الثابت للتغير، وإذا لم تكن كذلك، فوضح السبب:

٧)

كل ٣ ساعات يباع ٩ أجهزة وكل ٤ ساعات يباع ١٢ جهاز $\leftarrow$ كل ساعة يباع ٣ أجهزة فمثلاً:

• بين الساعة ٥ و٨ كان عدد الأجهزة المباعة ٩ أجهزة $\leftarrow$ معدل التغير = $\frac{\mathrm{٢٤} - \mathrm{١٥}}{\mathrm{٨} - \mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٣}}$ = ٣ أجهزة/ ساعة.
• بين الساعة ٨ و١٢ كان عدد الأجهزة المباعة ١٢ جهاز $\leftarrow$ معدل التغير = $\frac{\mathrm{٣٦} - \mathrm{٢٤}}{\mathrm{١٢} - \mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٤}}$ = ٣ أجهزة/ ساعة.

بما أن معدل التغير ثابت فالعلاقة عدد الأجهزة المبيعة والزمن علاقة خطية، والمعدل الثابت للتغير هو ٣ أجهزة/ساعة، أي يباع ٣ أجهزة كل ساعة.

٨)

نلاحظ أنه عدد الزبائن يتغير بشكل متفاوت وغير متساوٍ مع مرور الزمن فمثلاً:

• بين الساعة ١ و٢ كان عدد الزبائن ١٢ زبوناً $\leftarrow$ معدل التغير = $\frac{\mathrm{٢٤} - \mathrm{١٢}}{\mathrm{٢} -\mathrm{١}}$ = ٢ زبون/ساعة.
• بين الساعة ٣ و٤ كان عدد الزبائن ٢٤ زبوناً $\leftarrow$ معدل التغير = $\frac{\mathrm{٦٠} - \mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤} - \mathrm{٣}}$ = ٢٤ زبون/ساعة.

بما أن معدل التغير غير ثابت فالعلاقة ليست خطية.

٩)

نلاحظ أن المسافة المقطوعة تتغير بشكل متفاوت وغير متساوٍ مع مرور الزمن فمثلاً:

• بين الثانية ١ و٢ المسافة المقطوعة ١٤,٧ متر $\leftarrow$ معدل التغير = $\frac{\mathrm{٦}, \mathrm{١٩} - \mathrm{٩},\mathrm{٤}}{\mathrm{٢} -\mathrm{١}}$= ١٤,٧ م/ثانية.
• بين الثانية ٢ و٣ المسافة المقطوعة ٢٤,٥ متر $\leftarrow$ معدل التغير = $\frac{\mathrm{١}, \mathrm{٤٤} - \mathrm{٦}, \mathrm{١٩}}{\mathrm{٣} - \mathrm{٢}}$ = ٢٤,٥ م/ثانية

بما أن معدل التغير غير ثابت فالعلاقة ليست خطية.

١٠)

كلما زاد عدد فناجين الزيت اللازمة بمقدار ٢ فناجين الخل اللازمة للخلط بمقدار $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ فنجان.

بما أن معدل التغير ثابت فالعلاقة بين كمية الزيت والخل علاقة خطية، والمعدل الثابت للتغير هو: $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{كمية} \mathrm{الزيت}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{كمية} \mathrm{الخل}}=\frac{\mathrm{٤} - \mathrm{٢}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}}\mathrm{١} -{\displaystyle \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}}}= \mathrm{٢} \times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$ فنجان زيت/ فنجان خل.

بما أن معدل التغير موجب أي نحتاج $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$ فنجان زيت لكل فنجان خل.

أوجد المعدل الثابت للتغير في كل شكل من الأشكال الآتية، وفسر معناه:

١١)

أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما:

• (٢، ٤) $\leftarrow$ خلال ٢ دقيقة يصبح مستوى الماء على ارتفاع ٤سم عن قاع الحوض.
• (٤، ٨) $\leftarrow$ خلال ٤ دقيقة يصبح مستوى الماء على ارتفاع ٨ سم عن قاع الحوض.

المعدل الثابت للتغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{مستوى} \mathrm{الماء}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٨} - \mathrm{٤}\mathrm{سم}}{\mathrm{٤} -\mathrm{٢}\mathrm{دقيقة}}=\frac{\mathrm{٤}\mathrm{سم}}{\mathrm{٢}\mathrm{دقيقة}}$ = ٢سم/دقيقة.

بما أن المعدل موجب أي: يرتفع مستوى الماء في الحوض بمقدار ٢ سم كل دقيقة.

١٢)

أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما:

• (٠، ٣٥٠) $\leftarrow$ في بداية التوقيت كانت المسافة المتبقية ٣٥٠ كلم.
• (٤، ١٥٠) $\leftarrow$ بعد مضي ٤ ساعات على بداية التوقيت أصبحت المساف المتبقية ١٥٠ كلم.

المعدل الثابت للتغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{المسافة} \mathrm{المتبقية}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{١٥٠} - \mathrm{٣٥٠} \mathrm{كلم}}{\mathrm{٤} - \mathrm{٠}}=\frac{-\mathrm{٢٠٠} \mathrm{كلم}}{\mathrm{٤} \mathrm{ساعة}}$ = - ٥٠ كلم/ساعة.

بما أن المعدل سالب أي: تنقص المسافة المتبقية بمقدار ٥٠ كلم كل ساعة.

١٣)

أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما:

• (٢، ٣٠٠٠) $\leftarrow$ بعد ٢ دقيقة من بداية التوقيت كان ارتفاع الطائرات ٣٠٠٠ قدم.
• (٦، ٢٠٠٠) $\leftarrow$ بعد مضي ٦ دقائق على بداية التوقيت أصبح ارتفاع الطائرات ٢٠٠٠ قدم.

المعدل الثابت للتغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الارتفاع}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن} }=\frac{\mathrm{٢٠٠٠} - \mathrm{٣٠٠٠} \mathrm{قدم}}{\mathrm{٦} - \mathrm{٢} \mathrm{دقيقة}}=\frac{- \mathrm{١٠٠٠} \mathrm{قدم}}{\mathrm{٤}\mathrm{دقيقة}}$ = - ٢٥٠ قدم/دقيقة.

بما أن المعدل سالب أي: يقل ارتفاع الطائرات بمقدار ٢٥٠ قدم كل دقيقة (تقترب من سطح الأرض بمقدار ٢٥٠ قدم كل دقيقة).

١٤)

أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما:

• (٢، ١٠٠) $\leftarrow$ بعد ٢ ساعة من بداية التوقيت كانت أرباح المتجر ١٠٠ ريال.
• (٤، ٢٠٠) $\leftarrow$ بعد مضي ٤ ساعات على بداية أرباح المتجر بمقدار المتجر ٥٠ ريال كل ساعة.

المعدل الثابت للتغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الأرباح}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٢٠٠} - \mathrm{١٠٠} \mathrm{ريال}}{\mathrm{٤} - \mathrm{٢}\mathrm{ساعة}}=\frac{\mathrm{١٠٠} \mathrm{ريال}}{\mathrm{٢} \mathrm{ساعة}}$ = ٥٠ ريال/ساعة.

بما أن المعدل موجب أي: تزداد أرباح المتجر بمقدار ٥٠ ريال كل ساعة.

بين ما إذا كان هناك علاقة خطية متناسبة بين كل كميتين من الكميات الموضحة في الأشكال السابقة.

١٥) سؤال ١١.

بما أن العلاقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ولها معدل ثابت للتغير ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي:

المعدل الثابت للتغير هو: $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{مستوى} \mathrm{الماء}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٤} - \mathrm{٠} \mathrm{سم}}{\mathrm{٢} - \mathrm{٠} \mathrm{دقيقة}}=$ ٢ سم/ دقيقة.

لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العلاقة بين مستوى الماء والزمن على شكل نسب: $\frac{\mathrm{مستوى} \mathrm{الماء}}{\mathrm{الزمن}}\leftarrow \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}$ = ٢،$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤}}$ = ٢، $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٦}}$ = ٢

بما أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى ٢ فالمقياسان متناسبان وبالتالي العلاقة الخطية متناسبة.

١٦) سؤال ١٢.

بما أن العلاقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي:

لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العلاقة بين الارتفاع والزمن على شكل نسب:

$\frac{\mathrm{الارتفاع}}{\mathrm{الزمن}}\leftarrow$$\frac{\mathrm{٣٠٠٠}}{\mathrm{٢}}$ = ١٥٠٠، $\frac{\mathrm{٢٠٠٠}}{\mathrm{٦}}$ = ٣٣٣,٣٣

بما أن أبسط صورة للنسب غير متساوية فالمقياسان غير متناسبان وبالتالي فالعلاقة الخطية غير متناسبة.

١٧) سؤال ١٣.

بما أن العلاقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ولها معدل ثابت للتغير ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي:

المعدل الثابت للتغير هو: $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{المسافة} \mathrm{المتبقية}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٢٥٠} - \mathrm{٣٥٠} \mathrm{كلم}}{\mathrm{٢} - \mathrm{٠} \mathrm{ساعة}}$ = -٥٠ كلم/ساعة.

لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العلاقة بين المسافة المتبقية والزمن على شكل نسب:

$\frac{\mathrm{الماسفة} \mathrm{المتبقية}}{\mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٢٥٠}}{\mathrm{٢}}$ = ١٢٥، $\frac{\mathrm{١٥٠}}{\mathrm{٤}}$ = ٣٧,٥، $\frac{\mathrm{٥٠}}{\mathrm{٦}}$ = ٨,٣

بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية فالمقياسان غير متناسبين وبالتالي العلاقة الخطية غير متناسبة.

١٨) سؤال ١٤.

بما أن العلاقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ولها معدل ثابت للتغير ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي:

مكالمات هاتفية: يبين الشكل المجاور تكاليف المكالمات الهاتفية التي أجراها كل من راشد وماجد، استعمل هذه المعلومات لحل السؤالين ١٩، ٢٠:

١٩) أيهما ينفق نقوداً أمثر في الدقيقة: راشد أم ماجد؟ وضح إجابتك.

• معدل التغير الثابت لماجد = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{التكلفة}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٤} - \mathrm{٤}}{\mathrm{٣} - \mathrm{٠}}$ = ٠,١٧ ريال / دقيقة.
• معدل التغير الثابت لراشد = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{التكلفة}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٠} - \mathrm{٠}}{\mathrm{١} - \mathrm{٠}}$ = ٠,٥٠ ريال/دقيقة.

ينفق راشد ٠,٥ ريال في الدقيقة بينما ينفق ماجد ٠,١٧ريال في الدقيقة الواحدة لذا فراشد ينفق في الدقيقة الواحدة نقوداً أكثر من ماجد.

٢٠) أي العلاقتين الممثلتين بيانياً تتضمن تناسباً بين الزمن بالدقائق والتكلفة بالريال؟ وضح إجابتك.

لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العلاقة بين التكلفة والزمن على شكل نسب:

ماجد:

$\frac{\mathrm{التكلفة}}{\mathrm{الزمن}}\leftarrow \frac{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ = ١,٥، $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ = ٠,٨٣

النسب غير متساوية فالمقياسان غر متناسبان وبالتالي العلاقة الخطية غير متناسبة:

راشد:

$\frac{\mathrm{التكلفة}}{\mathrm{الزمن}}\leftarrow \frac{\mathrm{٥},\mathrm{٠}}{\mathrm{١}}$ = ٠,٥، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}$ = ٠,٥

النسب متساوية فالمقياسان متناسبان وبالتالي العلاقة الخطية متناسبة.

٢١) مسألة مفتوحة: مثل بيانياً كميتين بينهما علاقة خطية متناسبة، وتحقق من حلك.

بما أن العلاقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي:

لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العلاقة بين المسافة المقطوعة والزمن على شكل نسب:

$\frac{\mathrm{المسافة} \mathrm{المقطوعة}}{\mathrm{الزمن}}\leftarrow \frac{\mathrm{١٠٠}}{\mathrm{١}}$ = ١٠٠، $\frac{\mathrm{٢٠٠}}{\mathrm{٢}}$ = ١٠٠، $\frac{\mathrm{٣٠٠}}{\mathrm{٣}}$ = ١٠٠، $\frac{\mathrm{٤٠٠}}{\mathrm{٤}}$= ١٠٠، $\frac{\mathrm{٥٠٠}}{\mathrm{٥}}$ = ١٠٠

بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متساوية فالمقياسان متناسبان وبالتالي فالعلاقة خطية متناسبة.

٢٢) اكتب: مسألة من الواقع يتطلب حلها إيجاد المعدل الثابت للتغير، ثم حلها، هل العلاقة الموضحة في هذه المسألة علاقة متناسبة؟ وضح إجابتك.

يبلغ إنتاج معمل سيارات خلال ٦ أشهر كما هو موضح في الجدول التالي:

هل العلاقة بين إنتاج المعمل والزمن هي علاقة خطية وإذا كانت خطية فما هو معدل التغير الثابت وهل هي متناسبة أم لا؟

نلاحظ أنه يزداد إنتاج السيارات بمقدار ١٠٠ سيارة كل شهرين.

بما أن معدل التغير الثابت فالعلاقة خطية $\leftarrow$ معدل التغير الثابت = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الإنتاج}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٢٠٠} - \mathrm{١٠٠}}{\mathrm{٤} - \mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٠٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٥٠ سيارة/شهر بما أن المعدل موجب أي ينتج المعمل ٥٠ سيارة كل شهر.

لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العلاقة بين الإنتاج والزمن على شكل نسب:

$\frac{\mathrm{الأرباح}}{\mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{١٠٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٥٠، $\frac{\mathrm{٢٠٠}}{\mathrm{٤}}$ = ٥٠، $\frac{\mathrm{٣٠٠}}{\mathrm{٦}}$ = ٥٠

بما أ، أبسط صورة للنسب السابقة متساوية فالمقياسان متناسبان وبالتالي فالعلاقة الخطية متناسبة.

٢٣) إذا كان ثمن ربطة الشعر الواحدة ٣,٥ ريال ريالات، فأي الجداول التالية يعبر عن القيم المناسبة للموقف؟

معدل التغير الثابت = ٣,٥ ريال/ربطة.

• $\leftarrow$ ٢ ربطة = ٢ × ٣,٥ = ٧ ريال.
• ٣ ربطة = ٣ × ٣,٥ = ١١,٥ ريال.
• ٤ ربطة = ٤ × ٣,٥ = ١٤ ريال.

٢٤) يبين الشكل التالي المسافة التي قطعها زيد بسيارته خلال رحلة، أي العبارات التالية صحيحة؟

أ) قاد زيد سيارته الرحلة الكاملة بسرعة ثابتة قدرها ١٢٠ كيلو متراً في الساعة.

ب) قاد زيد سيارته في آخر ساعة بسرعة ثابتة قدرها ٨٠ كيلو متراً في الساعة.

جـ) قاد زيد سيارته في آخر ساعة بسرعة ثابتة قدرها ٤٠ كيلو متراً في الساعة.

د) قاد زيد سيارته الرحلة الكاملة بسرعة ثابتة قدرها ٨٠ كيلو متراً في الساعة.

لا يمكن رسم خط مستقيم بين جميع النقاط ولكن يمكن رسم خط مستقيم يصل بين النقاط التي تمثل آخر ساعة مسير وبالتالي آخر ساعة مسير خطية يسير كل نصف ساعة ٤٠ كلم.

المعدل الثابت للتغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{المسافة}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{١٦٠} - \mathrm{٨٠} \mathrm{كلم}}{\mathrm{٢} - \mathrm{١} \mathrm{ساعة}}$ = ٨٠ كلم/ساعة.

بما أن معدل التغير ثابت فالعلاقة خطية أي يسير في الساعة الأخيرة بمعدل ٨٠ كلم كل ساعة.