حلول الأسئلة

السؤال

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

الحل

$\cos 165^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 165 & = c o s (120 + 45) = c o s 120 c o s 45 - s i n 120 s i n 45 \\ = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

$\cos 105^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 105 & = c o s (60 + 45) = c o s 60 c o s 45 - s i n 60 s i n 45 \\ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

$\cos 75^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 75 & = c o s (30 + 45) = c o s 30 c o s 45 - s i n 30 s i n 45 \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

$\cos \frac{π}{12}$

$\begin{aligned} c o s (\frac{π}{12}) & = c o s (45 - 30) = c o s 45 c o s 30 + s i n 45 s i n 30 \\ = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$

$\sin 135^{\circ}$

$\begin{aligned} s i n (- 30) = & s i n (60 - 90) = s i n 60 c o s 90 - c o s 60 s i n 90 \\ = - 1 \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \end{aligned}$

$\sin (- 210^{\circ})$

$\begin{aligned} s i n (- 210) & = s i n (60 - 270) = s i n 60 c o s 270 - c o s 60 s i n 270 \\ = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

$\cos 135^{\circ}$

$c o s (135) = c o s (180 - 45) = c o s 180 c o s 45 + s i n 180 s i n 45 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 195^{\circ}$

$\begin{aligned} t a n 195 & = t a n (90 + 105) = \frac{t a n 90 + t a n 105}{1 - t a n 90 (t a n 105)} \\ = & \frac{t a n 90 + [\frac{t a n 60 + t a n 45}{1 - t a n 60 t a n 45}]}{1 - t a n 90 [\frac{t a n 60 + t a n 45}{1 - t a n 60 t a n 45}]} = 2 - \sqrt{3} \end{aligned}$

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

1) $\cos 165^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 165 & = c o s (120 + 45) = c o s 120 c o s 45 - s i n 120 s i n 45 \\ = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

2) $\cos 105^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 105 & = c o s (60 + 45) = c o s 60 c o s 45 - s i n 60 s i n 45 \\ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

3) $\cos 75^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 75 & = c o s (30 + 45) = c o s 30 c o s 45 - s i n 30 s i n 45 \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

4) $\cos \frac{π}{12}$

$\begin{aligned} c o s (\frac{π}{12}) & = c o s (45 - 30) = c o s 45 c o s 30 + s i n 45 s i n 30 \\ = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$

5) $\sin 135^{\circ}$

$\begin{aligned} s i n (- 30) = & s i n (60 - 90) = s i n 60 c o s 90 - c o s 60 s i n 90 \\ = - 1 \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \end{aligned}$

6) $\sin (- 210^{\circ})$

$\begin{aligned} s i n (- 210) & = s i n (60 - 270) = s i n 60 c o s 270 - c o s 60 s i n 270 \\ = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

7) $\cos 135^{\circ}$

$c o s (135) = c o s (180 - 45) = c o s 180 c o s 45 + s i n 180 s i n 45 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

8) $\tan 195^{\circ}$

9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار c بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة $c = 2 \sin (120^{\circ} t)$ .

a) أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين.

$C = 2 \sin [90 t + 30 t]$

b) استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين من الزوايا الخاصة؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة.

$\begin{matrix} C = 2 s i n (90 + 30) = 2 (s i n 90 c o s 30 + c o s 90 s i n 30) \\ = 2 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{matrix}$

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

10) $\sin (90^{\circ} + θ) = \cos θ$

$\begin{aligned} s i n (90 + θ) & = s i n 90 c o s θ + c o s 90 s i n θ \\ = 1 \times c o s θ = c o s θ \end{aligned}$

11) $\cos (\frac{3 π}{2} - θ) = - \sin θ$

$\begin{aligned} c o s (\frac{3 π}{2} - θ) = & c o s \frac{3 π}{2} c o s θ + s i n \frac{3 π}{2} s i n θ \\ = s i n \frac{3 π}{2} \times s i n θ = s i n θ \end{aligned}$

12) $\tan (θ + \frac{π}{2}) = - \cot θ$

$\begin{aligned} t a n (θ + \frac{π}{2}) & = \frac{s i n (θ + \frac{π}{2})}{c o s (θ + \frac{π}{2})} = \frac{s i n θ c o s \frac{π}{2} + c o s θ s i n \frac{π}{2}}{c o s θ c o s \frac{π}{2} - s i n θ s i n \frac{π}{2}} \\ = \frac{c o s θ \times 1}{- s i n θ \times 1} = - c o t θ \end{aligned}$

13) $\sin (θ + π) = - \sin θ$

$\begin{matrix} s i n (θ + π) = s i n θ c o s π + c o s θ s i n π \\ = s i n θ \times - 1 = - s i n θ \end{matrix}$

14) $\cos (\frac{π}{2} + θ) = - \sin θ$

$\begin{aligned} c o s (\frac{π}{2} + θ) = c o s \frac{π}{2} c o s θ - s i n \frac{π}{2} s i n θ \\ = - 1 \times s i n θ = - s i n θ \end{aligned}$

15) $\tan (θ + 45^{\circ}) = \frac{1 + \tan θ}{1 - \tan θ}$

$\begin{matrix} t a n (θ + 45) = \frac{1 + t a n θ}{1 - t a n θ} \\ \frac{t a n θ + t a n 45}{1 - t a n θ t a n 45} = \frac{1 + t a n θ}{1 - t a n θ} \\ \frac{t a n θ}{1 - (t a n θ) (1)} = \frac{1 + t a n θ}{1 - t a n θ} \\ \frac{1 + t a n θ}{1 - t a n θ} = \frac{1 + t a n θ}{1 - t a n θ} \end{matrix}$

16) إلكترونيات: ارجع إلى فقرة "لماذا؟"؛ في بداية الدرس، عندما تتلاقى موجتان وتنتج موجة سعتها أكبر من سعة كل من الموجتين يكون التداخل بناءً، وبعكس ذلك يكون هداماً، إذا علمت أن كلاً من الدالتين: $y_{1} = 10 \sin (2 t + 210^{\circ}), y_{2} = 10 \sin (2 t + 30^{\circ})$ تمثل موجة، فأوجد مجموع الدالتين، وفسر معناه بالنسبة للموجتين.

الكترونيات

$\begin{matrix} y_{1} + y_{2} = 10 \sin [2 t + 210 + 2 t + 30] \\ = 10 \sin [4 t + 240] = 0 \end{matrix}$

تداخل هدام أي أن كلاً من الموجتين تلاشي الأخرى.

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

17) $\tan 165^{\circ}$

$t a n 165 = t a n (120 + 45) = \frac{t a n 120 + t a n 45}{1 - t a n 120 \times t a n 45} = - 2 + \sqrt{3}$

18) $\sec 1275^{\circ}$

$\begin{matrix} s e c 1275 = \frac{1}{c o s 1275} = \frac{1}{c o s 195} = \frac{1}{c o s (135 + 60)} \\ = \frac{1}{c o s 135 c o s 60 - s i n 135 s i n 60} = \sqrt{2} - \sqrt{6} \end{matrix}$

19) $\sin 735^{\circ}$

$\begin{aligned} s i n 735 = s i n (360 + 375) & = s i n 360 c o s 375 + c o s 360 s i n 375 \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

20) $\tan \frac{23 π}{12}$

$t a n (\frac{23 π}{12}) = - 2 + \sqrt{3}$

21) $\csc \frac{5 π}{12}$

$c s c (\frac{5 π}{12}) = \frac{1}{s i n (\frac{5 π}{12})} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

22) $\cot \frac{113 π}{12}$

$c o t (\frac{113 π}{12}) = \frac{c o s (\frac{113 π}{12})}{s i n (\frac{113 π}{12})} = 2 - \sqrt{3}$

23) بين أنه يمكن كتابة المقدار $\frac{\sin A + \tan θ \cos A}{\cos A - \tan θ \sin A}$ على الصورة $\tan (A + θ)$ ، . حيث A, θ زاويتان حادتان.

$\begin{matrix} \frac{s i n A + t a n θ c o s A}{c o s A - t a n θ s i n A} = \frac{(\frac{s i n A}{c o s A} + t a n θ)}{1 - t a n θ \frac{s i n A}{c o s A}} \\ = \frac{(t a n A + t a n θ)}{1 - t a n θ t a n A} = t a n (A + θ) \end{matrix}$

24) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تثبت عدم صحة الفرضية $\sin (A + B) = \sin A + \sin B$ .

a) جدولياً: أكمل الجدول.

جدولياً

b) بيانياً: افترض أن B أقل من A بـ °15، دائماً واستعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من: $y = \sin (x + x - 15^{\circ})$ ، $y = \sin x + \sin (x - 15^{\circ})$ على الشاشة نفسها.

التمثيل البياني

c) تحليلياً: حدد ما إذا كانت $\sin (A + B) = \sin A + \sin B$ متطابقة أم لا، فسر إجابتك.

$\sin (30 + 45) = \sin (30) + \sin (45)$

الطرف الأيمن= $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$ اي 1.21 تقريباً، وبما أن قيمة جيب أي زاوية لا يمكن أن يكون أكبر من 1 فإن هذه المعادلة خطأ.

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

25) $\sin (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{\sec A \sec B}$

$\begin{matrix} \frac{t a n A + t a n B}{s e c A s e c B} = \frac{\frac{s i n A}{c o s A} + \frac{s i n B}{c o s B}}{\frac{1}{c o s A} \times \frac{1}{c o s B}} \\ = s i n A c o s B + s i n B c o s A = s i n (A + B) \end{matrix}$

26) $\cos (A + B) = \frac{1 - \tan A \tan B}{\sec A \sec B}$

$\begin{aligned} \frac{1 - t a n A t a n B}{s e c A s e c B} = \frac{1 - \frac{s i n A}{c o s A} \times \frac{s i n B}{c o s B}}{\frac{1}{c o s A} \times \frac{1}{c o s B}} \\ = & c o s A c o s B - s i n A s i n B = c o s (A + B) \end{aligned}$

27) $\sec (A - B) = \frac{\sec A \sec B}{1 + \tan A \tan B}$

$\begin{matrix} \frac{s e c A s e c B}{1 + t a n A t a n B} = \frac{\frac{1}{c o s A} \times \frac{1}{c o s B}}{1 + \frac{s i n A}{c o s A} \times \frac{s i n B}{c o s B}} \\ = \frac{1}{c o s (A - B)} = s e c (A - B) \end{matrix}$

28) $\sin (A + B) \sin (A - B) = \sin^{2} A - \sin^{2} B$

$\begin{matrix} s i n (A + B) s i n (A - B) \\ = (s i n A c o s B + c o s A s i n B) (s i n A c o s B - c o s A s i n B) \\ = (s i n A c o s B)^{2} - (c o s A s i n B)^{2} = s i n^{2} A c o s^{2} B - s i n^{2} B c o s^{2} A \\ = s i n^{2} A c o s^{2} B + s i n^{2} A s i n^{2} B - s i n^{2} A s i n^{2} B - s i n^{2} B c o s^{2} A \\ = s i n^{2} A (c o s^{2} B + s i n^{2} B) - s i n^{2} B (s i n^{2} A + c o s^{2} A) \\ = s i n^{2} A \times 1 - 1 \times s i n^{2} B = s i n^{2} A - s i n^{2} B \end{matrix}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

الحل

$\cos 165^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 165 & = c o s (120 + 45) = c o s 120 c o s 45 - s i n 120 s i n 45 \\ = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

$\cos 105^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 105 & = c o s (60 + 45) = c o s 60 c o s 45 - s i n 60 s i n 45 \\ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

$\cos 75^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 75 & = c o s (30 + 45) = c o s 30 c o s 45 - s i n 30 s i n 45 \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

$\cos \frac{π}{12}$

$\begin{aligned} c o s (\frac{π}{12}) & = c o s (45 - 30) = c o s 45 c o s 30 + s i n 45 s i n 30 \\ = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$

$\sin 135^{\circ}$

$\begin{aligned} s i n (- 30) = & s i n (60 - 90) = s i n 60 c o s 90 - c o s 60 s i n 90 \\ = - 1 \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \end{aligned}$

$\sin (- 210^{\circ})$

$\begin{aligned} s i n (- 210) & = s i n (60 - 270) = s i n 60 c o s 270 - c o s 60 s i n 270 \\ = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

$\cos 135^{\circ}$

$c o s (135) = c o s (180 - 45) = c o s 180 c o s 45 + s i n 180 s i n 45 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 195^{\circ}$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

1) $\cos 165^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 165 & = c o s (120 + 45) = c o s 120 c o s 45 - s i n 120 s i n 45 \\ = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

2) $\cos 105^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 105 & = c o s (60 + 45) = c o s 60 c o s 45 - s i n 60 s i n 45 \\ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

3) $\cos 75^{\circ}$

$\begin{aligned} c o s 75 & = c o s (30 + 45) = c o s 30 c o s 45 - s i n 30 s i n 45 \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

4) $\cos \frac{π}{12}$

$\begin{aligned} c o s (\frac{π}{12}) & = c o s (45 - 30) = c o s 45 c o s 30 + s i n 45 s i n 30 \\ = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$

5) $\sin 135^{\circ}$

$\begin{aligned} s i n (- 30) = & s i n (60 - 90) = s i n 60 c o s 90 - c o s 60 s i n 90 \\ = - 1 \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \end{aligned}$

6) $\sin (- 210^{\circ})$

$\begin{aligned} s i n (- 210) & = s i n (60 - 270) = s i n 60 c o s 270 - c o s 60 s i n 270 \\ = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

7) $\cos 135^{\circ}$

$c o s (135) = c o s (180 - 45) = c o s 180 c o s 45 + s i n 180 s i n 45 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

8) $\tan 195^{\circ}$

9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار c بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة $c = 2 \sin (120^{\circ} t)$ .

a) أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين.

$C = 2 \sin [90 t + 30 t]$

b) استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين من الزوايا الخاصة؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة.

$\begin{matrix} C = 2 s i n (90 + 30) = 2 (s i n 90 c o s 30 + c o s 90 s i n 30) \\ = 2 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{matrix}$

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

10) $\sin (90^{\circ} + θ) = \cos θ$

$\begin{aligned} s i n (90 + θ) & = s i n 90 c o s θ + c o s 90 s i n θ \\ = 1 \times c o s θ = c o s θ \end{aligned}$

11) $\cos (\frac{3 π}{2} - θ) = - \sin θ$

$\begin{aligned} c o s (\frac{3 π}{2} - θ) = & c o s \frac{3 π}{2} c o s θ + s i n \frac{3 π}{2} s i n θ \\ = s i n \frac{3 π}{2} \times s i n θ = s i n θ \end{aligned}$

12) $\tan (θ + \frac{π}{2}) = - \cot θ$

13) $\sin (θ + π) = - \sin θ$

$\begin{matrix} s i n (θ + π) = s i n θ c o s π + c o s θ s i n π \\ = s i n θ \times - 1 = - s i n θ \end{matrix}$

14) $\cos (\frac{π}{2} + θ) = - \sin θ$

$\begin{aligned} c o s (\frac{π}{2} + θ) = c o s \frac{π}{2} c o s θ - s i n \frac{π}{2} s i n θ \\ = - 1 \times s i n θ = - s i n θ \end{aligned}$

15) $\tan (θ + 45^{\circ}) = \frac{1 + \tan θ}{1 - \tan θ}$

16) إلكترونيات: ارجع إلى فقرة "لماذا؟"؛ في بداية الدرس، عندما تتلاقى موجتان وتنتج موجة سعتها أكبر من سعة كل من الموجتين يكون التداخل بناءً، وبعكس ذلك يكون هداماً، إذا علمت أن كلاً من الدالتين: $y_{1} = 10 \sin (2 t + 210^{\circ}), y_{2} = 10 \sin (2 t + 30^{\circ})$ تمثل موجة، فأوجد مجموع الدالتين، وفسر معناه بالنسبة للموجتين.

الكترونيات

$\begin{matrix} y_{1} + y_{2} = 10 \sin [2 t + 210 + 2 t + 30] \\ = 10 \sin [4 t + 240] = 0 \end{matrix}$

تداخل هدام أي أن كلاً من الموجتين تلاشي الأخرى.

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

17) $\tan 165^{\circ}$

$t a n 165 = t a n (120 + 45) = \frac{t a n 120 + t a n 45}{1 - t a n 120 \times t a n 45} = - 2 + \sqrt{3}$

18) $\sec 1275^{\circ}$

$\begin{matrix} s e c 1275 = \frac{1}{c o s 1275} = \frac{1}{c o s 195} = \frac{1}{c o s (135 + 60)} \\ = \frac{1}{c o s 135 c o s 60 - s i n 135 s i n 60} = \sqrt{2} - \sqrt{6} \end{matrix}$

19) $\sin 735^{\circ}$

$\begin{aligned} s i n 735 = s i n (360 + 375) & = s i n 360 c o s 375 + c o s 360 s i n 375 \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

20) $\tan \frac{23 π}{12}$

$t a n (\frac{23 π}{12}) = - 2 + \sqrt{3}$

21) $\csc \frac{5 π}{12}$

$c s c (\frac{5 π}{12}) = \frac{1}{s i n (\frac{5 π}{12})} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

22) $\cot \frac{113 π}{12}$

$c o t (\frac{113 π}{12}) = \frac{c o s (\frac{113 π}{12})}{s i n (\frac{113 π}{12})} = 2 - \sqrt{3}$

23) بين أنه يمكن كتابة المقدار $\frac{\sin A + \tan θ \cos A}{\cos A - \tan θ \sin A}$ على الصورة $\tan (A + θ)$ ، . حيث A, θ زاويتان حادتان.

24) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تثبت عدم صحة الفرضية $\sin (A + B) = \sin A + \sin B$ .

a) جدولياً: أكمل الجدول.

جدولياً

b) بيانياً: افترض أن B أقل من A بـ °15، دائماً واستعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من: $y = \sin (x + x - 15^{\circ})$ ، $y = \sin x + \sin (x - 15^{\circ})$ على الشاشة نفسها.

التمثيل البياني

c) تحليلياً: حدد ما إذا كانت $\sin (A + B) = \sin A + \sin B$ متطابقة أم لا، فسر إجابتك.

$\sin (30 + 45) = \sin (30) + \sin (45)$

حلول الأسئلة

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

cos⁡165∘

cos⁡105∘

cos⁡75∘

cos⁡π12

sin⁡135∘

sin⁡(−210∘)

cos⁡135∘

tan⁡195∘

مشاركة الحل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

1) cos⁡165∘

2) cos⁡105∘

3) cos⁡75∘

4) cos⁡π12

5) sin⁡135∘

6) sin⁡(−210∘)

7) cos⁡135∘

8) tan⁡195∘

9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار c بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة c=2sin⁡(120∘t).

a) أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين.

b) استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين من الزوايا الخاصة؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة.

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

10) sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ

11) cos⁡3π2−θ=−sin⁡θ

12) tan⁡θ+π2=−cot⁡θ

13) sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ

14) cos⁡π2+θ=−sin⁡θ

15) tan⁡(θ+45∘)=1+tan⁡θ1−tan⁡θ

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

17) tan⁡165∘

18) sec⁡1275∘

19) sin⁡735∘

20) tan⁡23π12

21) csc⁡5π12

22) cot⁡113π12

23) بين أنه يمكن كتابة المقدار sin⁡A+tan⁡θcos⁡Acos⁡A−tan⁡θsin⁡A على الصورة tan⁡(A+θ)، . حيث A, θ زاويتان حادتان.

24) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تثبت عدم صحة الفرضية sin⁡(A+B)=sin⁡A+sin⁡B.

a) جدولياً: أكمل الجدول.

b) بيانياً: افترض أن B أقل من A بـ °15، دائماً واستعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من: y=sin⁡(x+x−15∘)، y=sin⁡x+sin⁡(x−15∘) على الشاشة نفسها.

c) تحليلياً: حدد ما إذا كانت sin⁡(A+B)=sin⁡A+sin⁡B متطابقة أم لا، فسر إجابتك.

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

25) sin⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡Bsec⁡Asec⁡B

26) cos⁡(A+B)=1−tan⁡Atan⁡Bsec⁡Asec⁡B

27) sec⁡(A−B)=sec⁡Asec⁡B1+tan⁡Atan⁡B

28) sin⁡(A+B)sin⁡(A−B)=sin2⁡A−sin2⁡B

مشاركة الدرس

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

cos⁡165∘

cos⁡105∘

cos⁡75∘

cos⁡π12

sin⁡135∘

sin⁡(−210∘)

cos⁡135∘

tan⁡195∘

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

1) cos⁡165∘

2) cos⁡105∘

3) cos⁡75∘

4) cos⁡π12

5) sin⁡135∘

6) sin⁡(−210∘)

7) cos⁡135∘

8) tan⁡195∘

9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار c بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة c=2sin⁡(120∘t).

a) أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين.

b) استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين من الزوايا الخاصة؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة.

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

10) sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ

11) cos⁡3π2−θ=−sin⁡θ

12) tan⁡θ+π2=−cot⁡θ

13) sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ

14) cos⁡π2+θ=−sin⁡θ

15) tan⁡(θ+45∘)=1+tan⁡θ1−tan⁡θ

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

17) tan⁡165∘

$\cos 165^{\circ}$

$\cos 105^{\circ}$

$\cos 75^{\circ}$

$\cos \frac{π}{12}$

$\sin 135^{\circ}$

$\sin (- 210^{\circ})$

$\cos 135^{\circ}$

$\tan 195^{\circ}$

1) $\cos 165^{\circ}$

2) $\cos 105^{\circ}$

3) $\cos 75^{\circ}$

4) $\cos \frac{π}{12}$

5) $\sin 135^{\circ}$

6) $\sin (- 210^{\circ})$

7) $\cos 135^{\circ}$

8) $\tan 195^{\circ}$

9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار c بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة $c = 2 \sin (120^{\circ} t)$ .

10) $\sin (90^{\circ} + θ) = \cos θ$

11) $\cos (\frac{3 π}{2} - θ) = - \sin θ$

12) $\tan (θ + \frac{π}{2}) = - \cot θ$

13) $\sin (θ + π) = - \sin θ$

14) $\cos (\frac{π}{2} + θ) = - \sin θ$

15) $\tan (θ + 45^{\circ}) = \frac{1 + \tan θ}{1 - \tan θ}$

17) $\tan 165^{\circ}$

18) $\sec 1275^{\circ}$

19) $\sin 735^{\circ}$

20) $\tan \frac{23 π}{12}$

21) $\csc \frac{5 π}{12}$

22) $\cot \frac{113 π}{12}$

23) بين أنه يمكن كتابة المقدار $\frac{\sin A + \tan θ \cos A}{\cos A - \tan θ \sin A}$ على الصورة $\tan (A + θ)$ ، . حيث A, θ زاويتان حادتان.

24) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تثبت عدم صحة الفرضية $\sin (A + B) = \sin A + \sin B$ .

b) بيانياً: افترض أن B أقل من A بـ °15، دائماً واستعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من: $y = \sin (x + x - 15^{\circ})$ ، $y = \sin x + \sin (x - 15^{\circ})$ على الشاشة نفسها.

c) تحليلياً: حدد ما إذا كانت $\sin (A + B) = \sin A + \sin B$ متطابقة أم لا، فسر إجابتك.

25) $\sin (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{\sec A \sec B}$

26) $\cos (A + B) = \frac{1 - \tan A \tan B}{\sec A \sec B}$

27) $\sec (A - B) = \frac{\sec A \sec B}{1 + \tan A \tan B}$

28) $\sin (A + B) \sin (A - B) = \sin^{2} A - \sin^{2} B$

$\cos 165^{\circ}$

$\cos 105^{\circ}$

$\cos 75^{\circ}$

$\cos \frac{π}{12}$

$\sin 135^{\circ}$

$\sin (- 210^{\circ})$

$\cos 135^{\circ}$

$\tan 195^{\circ}$

1) $\cos 165^{\circ}$

2) $\cos 105^{\circ}$

3) $\cos 75^{\circ}$

4) $\cos \frac{π}{12}$

5) $\sin 135^{\circ}$

6) $\sin (- 210^{\circ})$

7) $\cos 135^{\circ}$

8) $\tan 195^{\circ}$

9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار c بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة $c = 2 \sin (120^{\circ} t)$ .

10) $\sin (90^{\circ} + θ) = \cos θ$

11) $\cos (\frac{3 π}{2} - θ) = - \sin θ$

12) $\tan (θ + \frac{π}{2}) = - \cot θ$

13) $\sin (θ + π) = - \sin θ$

14) $\cos (\frac{π}{2} + θ) = - \sin θ$

15) $\tan (θ + 45^{\circ}) = \frac{1 + \tan θ}{1 - \tan θ}$

17) $\tan 165^{\circ}$

18) $\sec 1275^{\circ}$

19) $\sin 735^{\circ}$

20) $\tan \frac{23 π}{12}$

21) $\csc \frac{5 π}{12}$

22) $\cot \frac{113 π}{12}$

23) بين أنه يمكن كتابة المقدار $\frac{\sin A + \tan θ \cos A}{\cos A - \tan θ \sin A}$ على الصورة $\tan (A + θ)$ ، . حيث A, θ زاويتان حادتان.

24) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تثبت عدم صحة الفرضية $\sin (A + B) = \sin A + \sin B$ .

b) بيانياً: افترض أن B أقل من A بـ °15، دائماً واستعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من: $y = \sin (x + x - 15^{\circ})$ ، $y = \sin x + \sin (x - 15^{\circ})$ على الشاشة نفسها.

c) تحليلياً: حدد ما إذا كانت $\sin (A + B) = \sin A + \sin B$ متطابقة أم لا، فسر إجابتك.

25) $\sin (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{\sec A \sec B}$

26) $\cos (A + B) = \frac{1 - \tan A \tan B}{\sec A \sec B}$

27) $\sec (A - B) = \frac{\sec A \sec B}{1 + \tan A \tan B}$

28) $\sin (A + B) \sin (A - B) = \sin^{2} A - \sin^{2} B$