حل أسئلة تدرب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

1) $\cos {165}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}cos165& =cos(120+45)=cos120cos45-sin120sin45\\ & =\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\end{array}$

2) $\cos {105}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}cos105& =cos(60+45)=cos60cos45-sin60sin45\\ & =\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\end{array}$

3) $\cos {75}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}cos75& =cos(30+45)=cos30cos45-sin30sin45\\ & =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}$

4) $\cos \frac{\pi }{12}$

$\begin{array}{rl}cos\left(\frac{\pi }{12}\right)& =cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30\\ & =\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\end{array}$

5) $\sin {135}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}sin(-30)=& sin(60-90)=sin60cos90-cos60sin90\\ & =-1\times \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\end{array}$

6) $\sin (-{210}^{\circ })$

$\begin{array}{rl}sin(-210)& =sin(60-270)=sin60cos270-cos60sin270\\ & =1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$

7) $\cos {135}^{\circ }$

$cos\left(135\right)=cos(180-45)=cos180cos45+sin180sin45=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

8) $\tan {195}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}tan195& =tan(90+105)=\frac{tan90+tan105}{1-tan90(tan105)}\\ =& \frac{tan90+\left[\frac{tan60+tan45}{1-tan60tan45}\right]}{1-tan90\left[\frac{tan60+tan45}{1-tan60tan45}\right]}=2-\sqrt{3}\end{array}$

9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار c بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة $c=2\sin \left({120}^{\circ }\mathrm{t}\right)$.

a) أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين.

$C=2\sin [90t+30t]$

b) استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين من الزوايا الخاصة؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة.

$\begin{array}{c}C=2sin(90+30)=2(sin90cos30+cos90sin30)\\ =2\times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\end{array}$

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

10) $\sin ({90}^{\circ }+\theta )=\cos \theta$

$\begin{array}{rl}sin(90+\theta )& =sin90cos\theta +cos90sin\theta \\ & =\mathbf{1}\times cos\theta =cos\theta \end{array}$

11) $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)=-\sin \theta$

$\begin{array}{rl}cos(\frac{3\pi }{2}-\theta )=& cos\frac{3\pi }{2}cos\theta +sin\frac{3\pi }{2}sin\theta \\ & =sin\frac{3\pi }{2}\times sin\theta =sin\theta \end{array}$

12) $\tan \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=-\cot \theta$

$\begin{array}{rl}tan(\theta +\frac{\pi }{2})& =\frac{sin(\theta +\frac{\pi }{2})}{cos(\theta +\frac{\pi }{2})}=\frac{sin\theta cos\frac{\pi }{2}+cos\theta sin\frac{\pi }{2}}{cos\theta cos\frac{\pi }{2}-sin\theta sin\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{cos\theta \times 1}{-sin\theta \times 1}=-cot\theta \end{array}$

13) $\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$

$\begin{array}{c}sin(\theta +\pi )=sin\theta cos\pi +cos\theta sin\pi \\ =sin\theta \times -1=-sin\theta \end{array}$

14) $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)=-\sin \theta$

$\begin{array}{rl}& cos(\frac{\pi }{2}+\theta )=cos\frac{\pi }{2}cos\theta -sin\frac{\pi }{2}sin\theta \\ & =-1\times sin\theta =-sin\theta \end{array}$

15) $\tan (\theta +{45}^{\circ })=\frac{1+\tan \theta }{1-\tan \theta }$

$\begin{array}{c}tan(\theta +45)=\frac{1+tan\theta }{1-tan\theta }\\ \frac{tan\theta +tan45}{1-tan\theta tan45}=\frac{1+tan\theta }{1-tan\theta }\\ \frac{tan\theta }{1-(tan\theta )\left(1\right)}=\frac{1+tan\theta }{1-tan\theta }\\ \frac{1+tan\theta }{1-tan\theta }=\frac{1+tan\theta }{1-tan\theta }\end{array}$

16) إلكترونيات: ارجع إلى فقرة "لماذا؟"؛ في بداية الدرس، عندما تتلاقى موجتان وتنتج موجة سعتها أكبر من سعة كل من الموجتين يكون التداخل بناءً، وبعكس ذلك يكون هداماً، إذا علمت أن كلاً من الدالتين: $y_1=10\sin (2t+{210}^{\circ }),y_2=10\sin (2t+{30}^{\circ })$ تمثل موجة، فأوجد مجموع الدالتين، وفسر معناه بالنسبة للموجتين.

$\begin{array}{c}{y}_1+y_2=10\sin [2t+210+2t+30]\\ =10\sin [4t+240]=0\end{array}$

تداخل هدام أي أن كلاً من الموجتين تلاشي الأخرى.

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

17) $\tan {165}^{\circ }$

$tan165=tan(120+45)=\frac{tan120+tan45}{1-tan120\times tan45}=-2+\sqrt{3}$

18) $\sec {1275}^{\circ }$

$\begin{array}{c}sec1275=\frac{1}{cos1275}=\frac{1}{cos195}=\frac{1}{cos(135+60)}\\ =\frac{1}{cos135cos60-sin135sin60}=\sqrt{2}-\sqrt{6}\end{array}$

19) $\sin {735}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}sin735=sin(360+375)& =sin360cos375+cos360sin375\\ =& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}$

20) $\tan \frac{23\pi }{12}$

$tan\left(\frac{23\pi }{12}\right)=-2+\sqrt{3}$

21) $\csc \frac{5\pi }{12}$

$csc\left(\frac{5\pi }{12}\right)=\frac{1}{sin\left(\frac{5\pi }{12}\right)}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$

22) $\cot \frac{113\pi }{12}$

$cot\left(\frac{113\pi }{12}\right)=\frac{cos\left(\frac{113\pi }{12}\right)}{sin\left(\frac{113\pi }{12}\right)}=2-\sqrt{3}$

23) بين أنه يمكن كتابة المقدار $\frac{\sin A+\tan \theta \cos A}{\cos A-\tan \theta \sin A}$ على الصورة $\tan (A+\theta )$، . حيث A, θ زاويتان حادتان.

$\begin{array}{c}\frac{sinA+tan\theta cosA}{cosA-tan\theta sinA}=\frac{(\frac{sinA}{cosA}+tan\theta )}{1-tan\theta \frac{sinA}{cosA}}\\ =\frac{(tanA+tan\theta )}{1-tan\theta tanA}=tan(A+\theta )\end{array}$

24) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تثبت عدم صحة الفرضية $\sin (A+B)=\sin A+\sin B$.

a) جدولياً: أكمل الجدول.

b) بيانياً: افترض أن B أقل من A بـ °15، دائماً واستعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من: $y=\sin (x+x-{15}^{\circ })$، $y=\sin x+\sin (x-{15}^{\circ })$ على الشاشة نفسها.

c) تحليلياً: حدد ما إذا كانت $\sin (A+B)=\sin A+\sin B$ متطابقة أم لا، فسر إجابتك.

$\sin (30+45)=\sin \left(30\right)+\sin \left(45\right)$

الطرف الأيمن= $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$ اي 1.21 تقريباً، وبما أن قيمة جيب أي زاوية لا يمكن أن يكون أكبر من 1 فإن هذه المعادلة خطأ.

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

25) $\sin (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{\sec A\sec B}$

$\begin{array}{c}\frac{tanA+tanB}{secAsecB}=\frac{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}{\frac{1}{cosA}\times \frac{1}{cosB}}\\ =sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)\end{array}$

26) $\cos (A+B)=\frac{1-\tan A\tan B}{\sec A\sec B}$

$\begin{array}{rl}& \frac{1-tanAtanB}{secAsecB}=\frac{1-\frac{sinA}{cosA}\times \frac{sinB}{cosB}}{\frac{1}{cosA}\times \frac{1}{cosB}}\\ =& cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)\end{array}$

27) $\sec (A-B)=\frac{\sec A\sec B}{1+\tan A\tan B}$

$\begin{array}{c}\frac{secAsecB}{1+tanAtanB}=\frac{\frac{1}{cosA}\times \frac{1}{cosB}}{1+\frac{sinA}{cosA}\times \frac{sinB}{cosB}}\\ =\frac{1}{cos(A-B)}=sec(A-B)\end{array}$

28) $\sin (A+B)\sin (A-B)={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B$

$\begin{array}{c}sin(A+B)sin(A-B)\\ =(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB-cosAsinB)\\ =(sinAcosB{)}^2-(cosAsinB{)}^2=si{n}^{2}Aco{s}^{2}B-si{n}^{2}Bco{s}^{2}A\\ =si{n}^{2}Aco{s}^{2}B+si{n}^{2}Asi{n}^{2}B-si{n}^{2}Asi{n}^{2}B-si{n}^{2}Bco{s}^{2}A\\ =si{n}^{2}A(co{s}^{2}B+si{n}^{2}B)-si{n}^{2}B(si{n}^{2}A+co{s}^{2}A)\\ =si{n}^{2}A\times 1-1\times si{n}^{2}B=si{n}^{2}A-si{n}^{2}B\end{array}$