أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

${\cot }^2\theta +1=\frac{\cot \theta }{\cos \theta \cdot \sin \theta }$

$\frac{cot\theta }{cos\theta }=\frac{cos\theta }{sin\theta cos\theta sin\theta }=\frac{1}{si{n}^2\theta }=cs{c}^2\theta$

$\frac{\cos \theta \csc \theta }{\cot \theta }=1$

$\frac{cos\theta csc\theta }{cot\theta }=\frac{cos\theta \times \frac{1}{sin\theta }}{\frac{cos\theta }{sin\theta }}=\frac{\frac{cos\theta }{sin\theta }}{\frac{cos\theta }{sin\theta }}=1$

$\frac{\sin \theta \tan \theta }{1-\cos \theta }=(1+\cos \theta )\sec \theta$

$\begin{array}{c}\frac{sin\theta tan\theta }{1-cos\theta }=\frac{\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta }}{1-cos\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta -co{s}^2\theta }\\ =\frac{1-co{s}^2\theta }{cos\theta (1-cos\theta )}=\frac{(1-cos\theta )(1+cos\theta )}{cos\theta (1-cos\theta )}\\ =\frac{(1-cos\theta )}{cos\theta }=(1+cos\theta )\times \frac{1}{cos\theta }=(1+cos\theta )\times sec\theta \end{array}$

$\tan \theta (1-\sin \theta )=\frac{\cos \theta \sin \theta }{1+\sin \theta }$

$\begin{array}{rl}& \frac{cos\theta sin\theta }{1+sin\theta }=\frac{cos\theta sin\theta (1-sin\theta )}{(1+sin\theta )(1-sin\theta )}=\frac{cos\theta sin\theta (1-sin\theta )}{1-si{n}^2\theta }\\ =& \frac{cos\theta sin\theta (1-sin\theta )}{co{s}^2\theta }=\frac{sin\theta }{cos\theta }(1-sin\theta )=tan\theta (1-sin\theta )\end{array}$

اختبار منتصف الفصل

بسط كل عبارة مما يأتي:

1) cot θ sec θ

$cot\theta sec\theta =\frac{cos\theta }{sin\theta }\times \frac{1}{cos\theta }=\frac{1}{sin\theta }=csc\theta$

2) $\frac{1-{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }$

$\frac{1-co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{si{n}^2\theta }=1$

3) $\frac{1}{\cos \theta }-\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }$

$\frac{1}{cos\theta }-\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta }=\frac{1-si{n}^2\theta }{cos\theta }=\frac{co{s}^2\theta }{cos\theta }=cos\theta$

4) $\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\csc \theta$

$cos(\frac{\pi }{2}-\theta )csc\theta =sin\theta \times \frac{1}{sin\theta }=1$

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

5) sin θ، إذا كان $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }\cdot \cos \theta =\frac{3}{5}$

$\frac{4}{5}$

6) csc θ، إذا كان ${270}^{\circ }<\theta <{360}^{\circ }،\cot \theta =-\frac{1}{2}$

$-\frac{\sqrt{5}}{2}$

7) tan θ، إذا كان $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ },\sec \theta =\frac{4}{3}$

$\frac{\sqrt{7}}{3}$

8) اختيار من متعدد: أي مما يأتي يكافئ العبارة:

• cos θ
• csc θ
• tan θ
• sec θ

9) مدينة ألعاب: ركب سلمان لعبة الأحصنة الدوارة في مدينة الألعاب، إذا كان طول قطر دائرة هذه اللعبة 16 m، وظل زاوية ميل سلمان تعطى بالعلاقة $\tan \theta =\frac{v^2}{\mathrm{g}R}$، حيث R نصف قطر المسار الدائري، v السرعة بالمتر لكل ثانية، g تسارع الجاذبية الأرضية ويساوي 9.8 m/s^2.

a) إذا كان جيب زاوية ميل سلمان يساوي $\frac{1}{5}$، فأوجد زاوية ميله.

11.5=θ

b) أوجد سرعة دوران اللعبة؟

v=4 m/sec

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

10) ${\cot }^2\theta +1=\frac{\cot \theta }{\cos \theta \cdot \sin \theta }$

$\frac{cot\theta }{cos\theta }=\frac{cos\theta }{sin\theta cos\theta sin\theta }=\frac{1}{si{n}^2\theta }=cs{c}^2\theta$

11) $\frac{\cos \theta \csc \theta }{\cot \theta }=1$

$\frac{cos\theta csc\theta }{cot\theta }=\frac{cos\theta \times \frac{1}{sin\theta }}{\frac{cos\theta }{sin\theta }}=\frac{\frac{cos\theta }{sin\theta }}{\frac{cos\theta }{sin\theta }}=1$

12) $\frac{\sin \theta \tan \theta }{1-\cos \theta }=(1+\cos \theta )\sec \theta$

$\begin{array}{c}\frac{sin\theta tan\theta }{1-cos\theta }=\frac{\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta }}{1-cos\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta -co{s}^2\theta }\\ =\frac{1-co{s}^2\theta }{cos\theta (1-cos\theta )}=\frac{(1-cos\theta )(1+cos\theta )}{cos\theta (1-cos\theta )}\\ =\frac{(1-cos\theta )}{cos\theta }=(1+cos\theta )\times \frac{1}{cos\theta }=(1+cos\theta )\times sec\theta \end{array}$

13) $\tan \theta (1-\sin \theta )=\frac{\cos \theta \sin \theta }{1+\sin \theta }$

$\begin{array}{rl}& \frac{cos\theta sin\theta }{1+sin\theta }=\frac{cos\theta sin\theta (1-sin\theta )}{(1+sin\theta )(1-sin\theta )}=\frac{cos\theta sin\theta (1-sin\theta )}{1-si{n}^2\theta }\\ =& \frac{cos\theta sin\theta (1-sin\theta )}{co{s}^2\theta }=\frac{sin\theta }{cos\theta }(1-sin\theta )=tan\theta (1-sin\theta )\end{array}$

14) حاسوب: تصنف شاشات الحاسوب عادة وفقاً لطول قطرها، استعمل الشكل أدناه للإجابة عما يأتي:

a) أوجد قيمة h.

$h=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\mathrm{in}$

b) بين أن $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$.

$\begin{array}{c}\cot \theta =\frac{9}{12}\\ \frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{12}{15}÷\frac{9}{15}=\frac{12}{9}\\ \therefore \cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\end{array}$

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

15) $\frac{\sin \theta \cdot \sec \theta }{\sec \theta -1}=(\sec \theta +1)\cot \theta$

$\begin{array}{rl}& \frac{sin\theta sec\theta (sec\theta +1)}{(sec\theta -1)(sec\theta +1)}=\frac{sin\theta \times \frac{1}{cos\theta }(sec\theta +1)}{se{c}^2\theta -1}\\ & =\frac{tan\theta (sec\theta +1)}{ta{n}^2\theta }=\frac{sec\theta +1}{tan\theta }=(sec\theta +1)cot\theta \end{array}$

16) ${\sin }^2\theta \cdot {\tan }^2\theta ={\tan }^2\theta -{\sin }^2\theta$

$\begin{array}{c}ta{n}^2\theta -si{n}^2\theta =\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }-si{n}^2\theta =\frac{si{n}^2\theta -si{n}^2\theta co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta }\\ =\frac{si{n}^2\theta (1-co{s}^2\theta )}{co{s}^2\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }si{n}^2\theta =ta{n}^2\theta si{n}^2\theta \end{array}$

17) $\cot \theta (1-\cos \theta )=\frac{\cos \theta \cdot \sin \theta }{1+\cos \theta }$

$\begin{array}{rl}& \frac{cos\theta sin\theta }{1+cos\theta }=\frac{cos\theta sin\theta (1-cos\theta )}{(1+cos\theta )(1-cos\theta )}=\frac{cos\theta sin\theta (1-cos\theta )}{1-co{s}^2\theta }\\ =& \frac{cos\theta sin\theta (1-cos\theta )}{si{n}^2\theta }=\frac{cos\theta }{sin\theta }(1-cos\theta )=cot\theta (1-cos\theta )\end{array}$

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

18) cos 105°

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

19) sin (-135°)

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

20) tan 15°

$2-\sqrt{3}$

21) cot 75°

$2-\sqrt{3}$

22) اختيار من متعدد: ما قيمة $\cos \frac{5\pi }{12}$؟

• $\sqrt{2}$
• $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
• $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
• $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

23) أثبت صحة المتطابقة الآتية: cos 30° cos θ+ sin 30° sin θ=sin 60° cos θ+ cos 60° sin θ

$\begin{array}{rl}& \sin 30\cos \theta +\sin 30\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta \\ & \sin 60\cos \theta +\cos 60\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta \end{array}$