حلول الأسئلة

السؤال

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

الحل

cot θ، إذا كان، $270^{\circ} < θ < 360^{\circ} ، \sec θ = \frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

tan θ، إذا كان $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{3}$

sec θ، إذا كان $180^{\circ} < θ < 270^{\circ} เ \csc θ = - 2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

sec θ، إذا كان $0^{\circ} < θ < 90^{\circ} ، \sin θ = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

اختبار الفصل

1) اختيار من متعدد: أي من العبارات الآتية تكافئ sin θ + cos θ cot θ؟

cot θ
tan θ
sec θ
csc θ

أثبت أن كلاً من المعادلتين الآتيتين تمثل متطابقة:

2) cos (30° - θ) = sin (60° + θ).

$\begin{aligned} \cos (30 - θ) = \cos 30 \cos θ + \sin 30 \sin θ \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos θ + \frac{1}{2} \sin θ \\ \sin (60 + θ) = \sin 60 \cos θ + \cos 60 \sin θ \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos θ + \frac{1}{2} \sin θ \end{aligned}$

3) cos (θ - π) = -cos θ.

$\begin{aligned} \cos (θ - π) = \cos θ \cos π + \sin θ \sin π \\ = - 1 \times \cos θ + 0 \\ = - \cos θ \end{aligned}$

4) اختيار من متعدد: ما القيمة الدقيقة sin θ إذا كان: $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{3}{5}$ ؟

$\frac{5}{3}$
$- \frac{4}{5}$
$\frac{\sqrt{34}}{8}$
$\frac{4}{5}$

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

5) cot θ، إذا كان، $270^{\circ} < θ < 360^{\circ} ، \sec θ = \frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

6) tan θ، إذا كان $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{3}$

7) sec θ، إذا كان $180^{\circ} < θ < 270^{\circ} เ \csc θ = - 2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

8) sec θ، إذا كان $0^{\circ} < θ < 90^{\circ} ، \sin θ = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

أثبت أن كل معادلة مما يأتي تمثل متطابقة:

9) sin θ (cot θ + tan θ) = sec θ

$\begin{matrix} s i n θ (c o t θ + t a n θ) = s i n θ (\frac{c o s θ}{s i n θ} + \frac{s i n θ}{c o s θ}) \\ = c o s θ + \frac{s i n^{2} θ}{c o s θ} = \frac{c o s^{2} θ + s i n^{2} θ}{c o s θ} = \frac{1}{c o s θ} = s e c θ \end{matrix}$

10) $\frac{\cos^{2} θ}{1 - \sin θ} = \frac{\cos θ}{\sec θ - \tan θ}$

$\begin{aligned} \frac{c o s θ}{s e c θ - t a n θ} & = \frac{c o s θ}{\frac{1}{c o s θ} - \frac{s i n θ}{c o s θ}} = \frac{c o s θ}{\frac{1 - s i n θ}{c o s θ}} \\ = \frac{c o s^{2} θ}{1 - s i n θ} \end{aligned}$

11) $(\tan θ + \cot θ)^{2} = \csc^{2} θ \sec^{2} θ$

$\begin{matrix} (t a n + c o t θ)^{2} = {(\frac{s i n θ}{c o s θ} + \frac{c o s θ}{s i n θ})}^{2} = {(\frac{s i n^{2} θ + c o s^{2} θ}{c o s θ s i n θ})}^{2} \\ = {(\frac{1}{c o s θ s i n θ})}^{2} = \frac{1}{c o s^{2} θ s i n^{2} θ} = s e c^{2} θ c s c^{2} θ \end{matrix}$

12) $\frac{1 + \sec θ}{\sec θ} = \frac{\sin^{2} θ}{1 - \cos θ}$

$\begin{matrix} \frac{1 + s e c θ}{s e c θ} = \frac{1}{s e c θ} + \frac{s e c θ}{s e c θ} = c o s θ + 1 \\ \frac{s i n^{2} θ}{1 - c o s θ} = \frac{s i n^{2} θ}{1 - c o s θ} \times \frac{1 + c o s θ}{1 + c o s θ} = \frac{s i n^{2} θ (1 + c o s θ)}{1 - c o s^{2} θ} \\ = \frac{s i n^{2} θ (1 + c o s θ)}{s i n^{2} θ} = 1 + c o s θ = c o s θ + 1 \end{matrix}$

13) اختيار من متعدد: ما قيمة $\tan \frac{π}{8}$ ؟

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$
$\sqrt{2} - 1$
$1 - \sqrt{2}$
$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

14) تاريخ: يرجح بعض المؤرخين أن الذين بنوا أهرامات مصر ربما حاولوا أن يبنوا الواجهة على شكل مثلث متطابق الأضلاع، ثم غيروها إلى أنواع مختلفة من المثلثات، افترض أنه تم بناء هرم بواجهة على شكل مثلث متطابق الأضلاع، طول ضلعه 18 ft.

أهرامات

a) أوجد ارتفاع المثلث المتطابق الأضلاع.

بفرض أن ارتفاع المثلث يساوي a

$\begin{matrix} a^{2} + 9^{2} = 18^{2} \\ ∴ a^{2} = 18^{2} - 9^{2} \\ ∴ a = \sqrt{243} = 9 \sqrt{3} \end{matrix}$

b) استعمل الصيغة sin 2θ = 2 sin θ cos θ، وطول ضلع المثلث وارتفاعه لتبين أن sin 2(30°) = sin 60°، ثم أوجد القيمة الدقيقة للنسبة المثلثية °60 sin.

$\begin{matrix} \sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ \\ ∴ \sin 2 (30) = 2 \sin 30 \cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ ∴ \sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}$

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

15) cos (-225°)

$\cos (- 225) = \cos (- 225 + 360) = \cos 135 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

16) sin 480°

$\sin 480 = \sin (480 - 360) = \sin 120 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

17) cos 75°

$\begin{aligned} \cos 75 = \cos (120 - 45) & = \cos 120 \cos 45 + \sin 120 \sin 45 \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

18) sin 165°

$\begin{aligned} \sin 165 = \sin (120 + 45) & = \sin 120 \cos 45 + \cos 120 \sin 45 \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

حل كلاً من المعادلتين الآتيتين لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالراديان:

19) $2 \cos^{2} θ - 3 \cos θ - 2 = 0$

$\frac{π}{6} + k π$

20) 2sin 3θ - 1 = 0

$\frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3}$

حل المعادلتين الآتيتين، حيث $: 0^{\circ} \leq θ \leq 360^{\circ}$

21) cos 2θ + cos θ = 2

$θ = {0 .360}$

22) $\sin θ \cos θ - \frac{1}{2} \sin θ = 0$

$\begin{matrix} s i n θ c o s θ - \frac{1}{2} s i n θ = 0 \\ ∴ s i n θ (c o s θ - \frac{1}{2}) = 0 \\ ∴ s i n θ = 0 \cdot c o s θ = \frac{1}{2} \\ θ = {0 .60 \cdot 180, 300 \cdot 360} \end{matrix}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

الحل

cot θ، إذا كان، $270^{\circ} < θ < 360^{\circ} ، \sec θ = \frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

tan θ، إذا كان $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{3}$

sec θ، إذا كان $180^{\circ} < θ < 270^{\circ} เ \csc θ = - 2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

sec θ، إذا كان $0^{\circ} < θ < 90^{\circ} ، \sin θ = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

اختبار الفصل

1) اختيار من متعدد: أي من العبارات الآتية تكافئ sin θ + cos θ cot θ؟

cot θ
tan θ
sec θ
csc θ

أثبت أن كلاً من المعادلتين الآتيتين تمثل متطابقة:

2) cos (30° - θ) = sin (60° + θ).

3) cos (θ - π) = -cos θ.

$\begin{aligned} \cos (θ - π) = \cos θ \cos π + \sin θ \sin π \\ = - 1 \times \cos θ + 0 \\ = - \cos θ \end{aligned}$

4) اختيار من متعدد: ما القيمة الدقيقة sin θ إذا كان: $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{3}{5}$ ؟

$\frac{5}{3}$
$- \frac{4}{5}$
$\frac{\sqrt{34}}{8}$
$\frac{4}{5}$

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

5) cot θ، إذا كان، $270^{\circ} < θ < 360^{\circ} ، \sec θ = \frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt{7}}{7}$

6) tan θ، إذا كان $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{3}$

7) sec θ، إذا كان $180^{\circ} < θ < 270^{\circ} เ \csc θ = - 2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

8) sec θ، إذا كان $0^{\circ} < θ < 90^{\circ} ، \sin θ = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

أثبت أن كل معادلة مما يأتي تمثل متطابقة:

9) sin θ (cot θ + tan θ) = sec θ

10) $\frac{\cos^{2} θ}{1 - \sin θ} = \frac{\cos θ}{\sec θ - \tan θ}$

11) $(\tan θ + \cot θ)^{2} = \csc^{2} θ \sec^{2} θ$

12) $\frac{1 + \sec θ}{\sec θ} = \frac{\sin^{2} θ}{1 - \cos θ}$

13) اختيار من متعدد: ما قيمة $\tan \frac{π}{8}$ ؟

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$
$\sqrt{2} - 1$
$1 - \sqrt{2}$
$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

14) تاريخ: يرجح بعض المؤرخين أن الذين بنوا أهرامات مصر ربما حاولوا أن يبنوا الواجهة على شكل مثلث متطابق الأضلاع، ثم غيروها إلى أنواع مختلفة من المثلثات، افترض أنه تم بناء هرم بواجهة على شكل مثلث متطابق الأضلاع، طول ضلعه 18 ft.

أهرامات

a) أوجد ارتفاع المثلث المتطابق الأضلاع.

بفرض أن ارتفاع المثلث يساوي a

$\begin{matrix} a^{2} + 9^{2} = 18^{2} \\ ∴ a^{2} = 18^{2} - 9^{2} \\ ∴ a = \sqrt{243} = 9 \sqrt{3} \end{matrix}$

b) استعمل الصيغة sin 2θ = 2 sin θ cos θ، وطول ضلع المثلث وارتفاعه لتبين أن sin 2(30°) = sin 60°، ثم أوجد القيمة الدقيقة للنسبة المثلثية °60 sin.

$\begin{matrix} \sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ \\ ∴ \sin 2 (30) = 2 \sin 30 \cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ ∴ \sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}$

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

15) cos (-225°)

$\cos (- 225) = \cos (- 225 + 360) = \cos 135 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

16) sin 480°

$\sin 480 = \sin (480 - 360) = \sin 120 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

17) cos 75°

$\begin{aligned} \cos 75 = \cos (120 - 45) & = \cos 120 \cos 45 + \sin 120 \sin 45 \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

18) sin 165°

$\begin{aligned} \sin 165 = \sin (120 + 45) & = \sin 120 \cos 45 + \cos 120 \sin 45 \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

حل كلاً من المعادلتين الآتيتين لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالراديان:

19) $2 \cos^{2} θ - 3 \cos θ - 2 = 0$

$\frac{π}{6} + k π$

20) 2sin 3θ - 1 = 0

$\frac{π}{18} + k \frac{2 π}{3}$

حل المعادلتين الآتيتين، حيث $: 0^{\circ} \leq θ \leq 360^{\circ}$

21) cos 2θ + cos θ = 2

$θ = {0 .360}$

حلول الأسئلة

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

cot θ، إذا كان، 270∘<θ<360∘،sec⁡θ=43.

tan θ، إذا كان 90∘<θ<180∘,cos⁡θ=−12.

sec θ، إذا كان 180∘<θ<270∘เcsc⁡θ=−2.

sec θ، إذا كان 0∘<θ<90∘،sin⁡θ=12.

مشاركة الحل

اختبار الفصل

1) اختيار من متعدد: أي من العبارات الآتية تكافئ sin θ + cos θ cot θ؟

أثبت أن كلاً من المعادلتين الآتيتين تمثل متطابقة:

2) cos (30° - θ) = sin (60° + θ).

3) cos (θ - π) = -cos θ.

4) اختيار من متعدد: ما القيمة الدقيقة sin θ إذا كان: 90∘<θ<180∘,cos⁡θ=−35؟

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

5) cot θ، إذا كان، 270∘<θ<360∘،sec⁡θ=43.

6) tan θ، إذا كان 90∘<θ<180∘,cos⁡θ=−12.

7) sec θ، إذا كان 180∘<θ<270∘เcsc⁡θ=−2.

8) sec θ، إذا كان 0∘<θ<90∘،sin⁡θ=12.

أثبت أن كل معادلة مما يأتي تمثل متطابقة:

9) sin θ (cot θ + tan θ) = sec θ

10) cos2⁡θ1−sin⁡θ=cos⁡θsec⁡θ−tan⁡θ

11) (tan⁡θ+cot⁡θ)2=csc2⁡θsec2⁡θ

12) 1+sec⁡θsec⁡θ=sin2⁡θ1−cos⁡θ

13) اختيار من متعدد: ما قيمة tan⁡π8؟

a) أوجد ارتفاع المثلث المتطابق الأضلاع.

b) استعمل الصيغة sin 2θ = 2 sin θ cos θ، وطول ضلع المثلث وارتفاعه لتبين أن sin 2(30°) = sin 60°، ثم أوجد القيمة الدقيقة للنسبة المثلثية °60 sin.

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

15) cos (-225°)

16) sin 480°

17) cos 75°

18) sin 165°

حل كلاً من المعادلتين الآتيتين لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالراديان:

19) 2cos2⁡θ−3cos⁡θ−2=0

20) 2sin 3θ - 1 = 0

حل المعادلتين الآتيتين، حيث :0∘≤θ≤360∘

21) cos 2θ + cos θ = 2

22) sin⁡θcos⁡θ−12sin⁡θ=0

مشاركة الدرس

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

cot θ، إذا كان، 270∘<θ<360∘،sec⁡θ=43.

tan θ، إذا كان 90∘<θ<180∘,cos⁡θ=−12.

sec θ، إذا كان 180∘<θ<270∘เcsc⁡θ=−2.

sec θ، إذا كان 0∘<θ<90∘،sin⁡θ=12.

اختبار الفصل

1) اختيار من متعدد: أي من العبارات الآتية تكافئ sin θ + cos θ cot θ؟

أثبت أن كلاً من المعادلتين الآتيتين تمثل متطابقة:

2) cos (30° - θ) = sin (60° + θ).

3) cos (θ - π) = -cos θ.

4) اختيار من متعدد: ما القيمة الدقيقة sin θ إذا كان: 90∘<θ<180∘,cos⁡θ=−35؟

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

5) cot θ، إذا كان، 270∘<θ<360∘،sec⁡θ=43.

6) tan θ، إذا كان 90∘<θ<180∘,cos⁡θ=−12.

7) sec θ، إذا كان 180∘<θ<270∘เcsc⁡θ=−2.

8) sec θ، إذا كان 0∘<θ<90∘،sin⁡θ=12.

أثبت أن كل معادلة مما يأتي تمثل متطابقة:

9) sin θ (cot θ + tan θ) = sec θ

10) cos2⁡θ1−sin⁡θ=cos⁡θsec⁡θ−tan⁡θ

11) (tan⁡θ+cot⁡θ)2=csc2⁡θsec2⁡θ

12) 1+sec⁡θsec⁡θ=sin2⁡θ1−cos⁡θ

13) اختيار من متعدد: ما قيمة tan⁡π8؟

a) أوجد ارتفاع المثلث المتطابق الأضلاع.

b) استعمل الصيغة sin 2θ = 2 sin θ cos θ، وطول ضلع المثلث وارتفاعه لتبين أن sin 2(30°) = sin 60°، ثم أوجد القيمة الدقيقة للنسبة المثلثية °60 sin.

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

15) cos (-225°)

16) sin 480°

17) cos 75°

18) sin 165°

حل كلاً من المعادلتين الآتيتين لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالراديان:

19) 2cos2⁡θ−3cos⁡θ−2=0

20) 2sin 3θ - 1 = 0

حل المعادلتين الآتيتين، حيث :0∘≤θ≤360∘

21) cos 2θ + cos θ = 2

22) sin⁡θcos⁡θ−12sin⁡θ=0

cot θ، إذا كان، $270^{\circ} < θ < 360^{\circ} ، \sec θ = \frac{4}{3}$ .

tan θ، إذا كان $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{1}{2}$ .

sec θ، إذا كان $180^{\circ} < θ < 270^{\circ} เ \csc θ = - 2$ .

sec θ، إذا كان $0^{\circ} < θ < 90^{\circ} ، \sin θ = \frac{1}{2}$ .

4) اختيار من متعدد: ما القيمة الدقيقة sin θ إذا كان: $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{3}{5}$ ؟

5) cot θ، إذا كان، $270^{\circ} < θ < 360^{\circ} ، \sec θ = \frac{4}{3}$ .

6) tan θ، إذا كان $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{1}{2}$ .

7) sec θ، إذا كان $180^{\circ} < θ < 270^{\circ} เ \csc θ = - 2$ .

8) sec θ، إذا كان $0^{\circ} < θ < 90^{\circ} ، \sin θ = \frac{1}{2}$ .

10) $\frac{\cos^{2} θ}{1 - \sin θ} = \frac{\cos θ}{\sec θ - \tan θ}$

11) $(\tan θ + \cot θ)^{2} = \csc^{2} θ \sec^{2} θ$

12) $\frac{1 + \sec θ}{\sec θ} = \frac{\sin^{2} θ}{1 - \cos θ}$

13) اختيار من متعدد: ما قيمة $\tan \frac{π}{8}$ ؟

19) $2 \cos^{2} θ - 3 \cos θ - 2 = 0$

حل المعادلتين الآتيتين، حيث $: 0^{\circ} \leq θ \leq 360^{\circ}$

22) $\sin θ \cos θ - \frac{1}{2} \sin θ = 0$

cot θ، إذا كان، $270^{\circ} < θ < 360^{\circ} ، \sec θ = \frac{4}{3}$ .

tan θ، إذا كان $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{1}{2}$ .

sec θ، إذا كان $180^{\circ} < θ < 270^{\circ} เ \csc θ = - 2$ .

sec θ، إذا كان $0^{\circ} < θ < 90^{\circ} ، \sin θ = \frac{1}{2}$ .

4) اختيار من متعدد: ما القيمة الدقيقة sin θ إذا كان: $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{3}{5}$ ؟

5) cot θ، إذا كان، $270^{\circ} < θ < 360^{\circ} ، \sec θ = \frac{4}{3}$ .

6) tan θ، إذا كان $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}, \cos θ = - \frac{1}{2}$ .

7) sec θ، إذا كان $180^{\circ} < θ < 270^{\circ} เ \csc θ = - 2$ .

8) sec θ، إذا كان $0^{\circ} < θ < 90^{\circ} ، \sin θ = \frac{1}{2}$ .

10) $\frac{\cos^{2} θ}{1 - \sin θ} = \frac{\cos θ}{\sec θ - \tan θ}$

11) $(\tan θ + \cot θ)^{2} = \csc^{2} θ \sec^{2} θ$

12) $\frac{1 + \sec θ}{\sec θ} = \frac{\sin^{2} θ}{1 - \cos θ}$

13) اختيار من متعدد: ما قيمة $\tan \frac{π}{8}$ ؟

19) $2 \cos^{2} θ - 3 \cos θ - 2 = 0$

حل المعادلتين الآتيتين، حيث $: 0^{\circ} \leq θ \leq 360^{\circ}$

22) $\sin θ \cos θ - \frac{1}{2} \sin θ = 0$