اختبار الفصل

1) اختيار من متعدد: أي من العبارات الآتية تكافئ sin θ + cos θ cot θ؟

• cot θ
• tan θ
• sec θ
• csc θ

أثبت أن كلاً من المعادلتين الآتيتين تمثل متطابقة:

2) cos (30° - θ) = sin (60° + θ).

$\begin{array}{r}\cos (30-\theta )=\cos 30\cos \theta +\sin 30\sin \theta \\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta \\ \sin (60+\theta )=\sin 60\cos \theta +\cos 60\sin \theta \\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta \end{array}$

3) cos (θ - π) = -cos θ.

$\begin{array}{r}\cos (\theta -\pi )=\cos \theta \cos \pi +\sin \theta \sin \pi \\ =-1\times \cos \theta +0\\ =-\cos \theta \end{array}$

4) اختيار من متعدد: ما القيمة الدقيقة sin θ إذا كان: ${90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ },\cos \theta =-\frac{3}{5}$؟

• $\frac{5}{3}$
• $-\frac{4}{5}$
• $\frac{\sqrt{34}}{8}$
• $\frac{4}{5}$

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

5) cot θ، إذا كان، ${270}^{\circ }<\theta <{360}^{\circ }\text{،}\sec \theta =\frac{4}{3}$.

$-\frac{3\sqrt{7}}{7}$

6) tan θ، إذا كان ${90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ },\cos \theta =-\frac{1}{2}$.

$-\sqrt{3}$

7) sec θ، إذا كان ${180}^{\circ }<\theta <{270}^{\circ }\text{เ}\csc \theta =-2$.

$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

8) sec θ، إذا كان $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }،\sin \theta =\frac{1}{2}$.

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

أثبت أن كل معادلة مما يأتي تمثل متطابقة:

9) sin θ (cot θ + tan θ) = sec θ

$\begin{array}{c}sin\theta (cot\theta +tan\theta )=sin\theta (\frac{cos\theta }{sin\theta }+\frac{sin\theta }{cos\theta })\\ =cos\theta +\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta }=\frac{co{s}^2\theta +si{n}^2\theta }{cos\theta }=\frac{1}{cos\theta }=sec\theta \end{array}$

10) $\frac{{\cos }^2\theta }{1-\sin \theta }=\frac{\cos \theta }{\sec \theta -\tan \theta }$

$\begin{array}{rl}\frac{cos\theta }{sec\theta -tan\theta }& =\frac{cos\theta }{\frac{1}{cos\theta }-\frac{sin\theta }{cos\theta }}=\frac{cos\theta }{\frac{1-sin\theta }{cos\theta }}\\ & =\frac{co{s}^2\theta }{1-sin\theta }\end{array}$

11) $(\tan \theta +\cot \theta {)}^2={\csc }^2\theta {\sec }^2\theta$

$\begin{array}{c}(tan+cot\theta {)}^2={(\frac{sin\theta }{cos\theta }+\frac{cos\theta }{sin\theta })}^2={\left(\frac{si{n}^2\theta +co{s}^2\theta }{cos\theta sin\theta }\right)}^2\\ ={\left(\frac{1}{cos\theta sin\theta }\right)}^2=\frac{1}{co{s}^2\theta si{n}^2\theta }=se{c}^2\theta cs{c}^2\theta \end{array}$

12) $\frac{1+\sec \theta }{\sec \theta }=\frac{{\sin }^2\theta }{1-\cos \theta }$

$\begin{array}{c}\frac{1+sec\theta }{sec\theta }=\frac{1}{sec\theta }+\frac{sec\theta }{sec\theta }=cos\theta +1\\ \frac{si{n}^2\theta }{1-cos\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{1-cos\theta }\times \frac{1+cos\theta }{1+cos\theta }=\frac{si{n}^2\theta (1+cos\theta )}{1-co{s}^2\theta }\\ =\frac{si{n}^2\theta (1+cos\theta )}{si{n}^2\theta }=1+cos\theta =cos\theta +1\end{array}$

13) اختيار من متعدد: ما قيمة $\tan \frac{\pi }{8}$؟

• $\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
• $\sqrt{2}-1$
• $1-\sqrt{2}$
• $-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

14) تاريخ: يرجح بعض المؤرخين أن الذين بنوا أهرامات مصر ربما حاولوا أن يبنوا الواجهة على شكل مثلث متطابق الأضلاع، ثم غيروها إلى أنواع مختلفة من المثلثات، افترض أنه تم بناء هرم بواجهة على شكل مثلث متطابق الأضلاع، طول ضلعه 18 ft.

a) أوجد ارتفاع المثلث المتطابق الأضلاع.

بفرض أن ارتفاع المثلث يساوي a

$\begin{array}{c}{a}^2+9^2={18}^2\\ \therefore a^2={18}^2-9^2\\ \therefore a=\sqrt{243}=9\sqrt{3}\end{array}$

b) استعمل الصيغة sin 2θ = 2 sin θ cos θ، وطول ضلع المثلث وارتفاعه لتبين أن sin 2(30°) = sin 60°، ثم أوجد القيمة الدقيقة للنسبة المثلثية °60 sin.

$\begin{array}{c}\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \\ \therefore \sin 2\left(30\right)=2\sin 30\cos 30=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \therefore \sin 60=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

15) cos (-225°)

$\cos (-225)=\cos (-225+360)=\cos 135=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

16) sin 480°

$\sin 480=\sin (480-360)=\sin 120=\frac{\sqrt{3}}{2}$

17) cos 75°

$\begin{array}{rl}\cos 75=\cos (120-45)& =\cos 120\cos 45+\sin 120\sin 45\\ & =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}$

18) sin 165°

$\begin{array}{rl}\sin 165=\sin (120+45)& =\sin 120\cos 45+\cos 120\sin 45\\ =& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}$

حل كلاً من المعادلتين الآتيتين لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالراديان:

19) $2{\cos }^2\theta -3\cos \theta -2=0$

$\frac{\pi }{6}+k\pi$

20) 2sin 3θ - 1 = 0

$\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$

حل المعادلتين الآتيتين، حيث $:0^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }$

21) cos 2θ + cos θ = 2

$\theta =\{0.360\}$

22) $\sin \theta \cos \theta -\frac{1}{2}\sin \theta =0$

$\begin{array}{c}sin\theta cos\theta -\frac{1}{2}sin\theta =0\\ \therefore sin\theta (cos\theta -\frac{1}{2})=0\\ \therefore sin\theta =0\cdot cos\theta =\frac{1}{2}\\ \theta =\{0.60\cdot 180,300\cdot 360\}\end{array}$