حدد خصائص كل قطع مكافئ مما يأتي، ثم مثله تمثيل بياني:

$8(y+3)=(x-4{)}^2$

المنحنى مفتوح رأسياً إلى أعلى.

• الرأس: (-4,3)
• البؤرة: (-4,1)
• الدليل: y=-5
• معادلة محور التماثل x=4

$2(x+6)=(y+1{)}^2$

المنحنى مفتوح أفقياً إلى اليمين.

• الرأس: (-6,1-)
• البؤرة: (-5.5,1-)
• الدليل: y=-6.5
• معادلة محور التماثل x=-6

حل أسئلة تحقق من فهمك

حدد خصائص كل قطع مكافئ مما يأتي، ثم مثله تمثيل بياني:

1A) $8(y+3)=(x-4{)}^2$

المنحنى مفتوح رأسياً إلى أعلى.

• الرأس: (-4,3)
• البؤرة: (-4,1)
• الدليل: y=-5
• معادلة محور التماثل x=4

1B) $2(x+6)=(y+1{)}^2$

المنحنى مفتوح أفقياً إلى اليمين.

• الرأس: (-6,1-)
• البؤرة: (-5.5,1-)
• الدليل: y=-6.5
• معادلة محور التماثل x=-6

2) فلك: عد إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس، افترض أنه يمكن تمثيل القطع المكافئ الظاهر في الصورة باستعمال المعادلة $-5\le x\le 5\text{ حيث}{x}^2=44.8(y-6)$ إذا كانت y ،x بالأقدام، فأين تقع آلة التصوير بالنسبة إلى رأس القطع المكافئ؟

$x^2=44.8(y-6)-5\le x\le 5$

أقصر مسافة هي 11.2 ft.

اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القياسية للقطع المكافئ، ثم حدد خصائص القطع المكافئ، ومثل منحناه بيانياً:

x²-4y+3=7 (3A

• الرأس: (-0,1)
• البؤرة: (0,0)
• الدليل: y=-2
• معادلة محور التماثل: x=0
• طول الوتر البؤري: 4

3y²+6y+15=12x (3B

• الرأس: (-1,1)
• البؤرة: (-2,1)
• الدليل: x=0
• معادلة محور التماثل: y=-1
• طول الوتر البؤري: 4

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانياً:

4A) البؤرة (6,2-) والرأس (-6,1-).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح رأسياً.

• البؤرة: $(h,k+p)=(-6,2)$
• الرأس: $(\mathit{h},\mathit{k})=(-\mathbf{6},-\mathbf{1})$

لذا فإن $p=2+1=3\cdot k=-1\cdot h=-6$

إذاً المعادلة هي: $(x+6{)}^2=12(y+2)$

4B) البؤرة (-9,2)، والدليل x=12.

بما أن الدليل مستقيم أفقياً فإن المنحنى مفتوح أفقياً h=x-c

• البؤرة: $(h,k+p)=(5,-2)$
• الرأس: $(\mathit{h},\mathit{k})=(9,-2)$

لذا فإن $p=5-9=-4\cdot k=-2\cdot h=9$

إذاً المعادلة هي: $(y+2{)}^2=-16(x-9)$

4C) البؤرة (3,4)، والمنحنى مفتوح إلى أسفل، ويمر بالنقطة (-5,10).

المنحنى مفتوح لأسفل.

البؤرة: $(h,k+p)=(-3,-4)$$k=-4-p\cdot h=-3$ لذا $k=-4-p\cdot h=-3$ المنجنى يمر بالنقطة (-5,10) إذن:

$\begin{array}{rl}& (x-h{)}^2=4p(y-k)\\ & \therefore (5+3{)}^2=4p(-10+4+p\\ & \therefore 64=4p^2-24p\\ & \therefore p^2-6p-16=0\\ & \therefore (p-8)(p+2)=0\\ & \therefore p=8,p=-2\end{array}$

المنحنى مفتوحاً لأسفل p=-2 إذن k=-2

إذاً معادلة المنحنى هي: $(x+3{)}^2=-8(y+2)$

4D) البؤرة (1,5-)، والمنحنى مفتوح إلى أسفل، ويمر بالنقطة (-5,7).

المنحنى مفتوح إلى اليمين.

البؤرة: $(h+p,k)=(-1,5)$ لذا $h=-1-p\cdot k=5$

المنحنى يمر بالنقطة (-8,7) إذاً:

$\begin{array}{rl}& (y-k{)}^2=4p(x-h)\\ & \therefore (-7-5{)}^2=4p(8+1+p)\\ & \therefore 144=4p^2+36p\\ & \therefore p^2+9p-36=0\\ & \therefore (p+12)(p-3)=0\\ & \therefore p=-12,p=3\end{array}$

المنحنى مفتوحاً إلى اليمين p=3 إذاً h=-4

إذاً معادلة المنحنى هي: $(y-5{)}^2=12(x+4)$

5A) $(y=4x^2+4;(-1,8$

$\begin{array}{rl}& y=4x^2+4,(-1,8)\\ & (x-0{)}^2=\frac{1}{4}(y-4)\\ & h=0,k=4,p=\frac{1}{16}=0.0625\end{array}$

البؤرة: (0,40625)

$\begin{array}{rl}d& =\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\ & =\sqrt{(-1-0{)}^2+(8-4.0625{)}^2}=4.0625\\ A& =(0,4.0625-4.0625)=(0,0)\\ m& =\frac{8-0}{-1-0}=-8\\ y& -y_1=m(x-x_1)\\ y& -8=-8(x+1)\\ y& =-8x\end{array}$

5B) $x=5-\frac{y^2}{4};(1,-4$

$\begin{array}{rl}& x=5-\frac{y^2}{4},(1,-4)\\ & (y-0{)}^2=-4(x-5)\\ & h=5,k=0,p=-1\end{array}$

البؤرة: (4,0)

$\begin{array}{rl}d& =\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\ & =\sqrt{(1-4{)}^2+(-4-0{)}^2}=5\\ A& =(4-5,0)=(-1,0)\\ m& =\frac{-4-0}{1+1}=-2\\ y& -y_1=m(x-x_1)\\ y& +4=-2(x-1)\\ y& =-2x-2\end{array}$