حلول الأسئلة

السؤال

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين:

الحل

شكل 29

شاهد حلول جميع الاسئلة

تدرب وحل المسائل

الدرس الاول

تدرب وحل مسائل

أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل من المضلعات المحدبة الآتية:

12) ذو 12 ضلعاً.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (12-2).180 =1800

13) ذو 20 ضلعاً.

الحل:

n=20

(n-2).180 = (20-2).180 =3240

14) ذو 29 ضلعاً.

الحل:

n=29

(n-2).180 = (12-2).180 =4860

15) ذو 32 ضلعاً.

n=32

(n-2).180 = (12-2).180 =4500

أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعات الآتية:

16)

شكل 16

الحل:

بما ان الشكل رباعي اذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

(n-2).180 = (4-2).180 =360

17)

شكل 17

الحل:

18)

شكل 18

الحل:

بما أن الشكل خماسي إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

19)

شكل 19

الحل:

بما أن الشكل خماسي إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

20) ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع في الشكل المجاور؟

شكل 20

الحل:

n=5

(n-2).180 = (5-2).180 =540

أوجد قياس زاوية داخلية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

21) ذو 12 ضلعاً.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (12-2).180 =1800

22) الخماسي.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (5-2).180 =540

23) العشاري.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (10-2).180 =1440

24) التساعي.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (9-2).180 =1260

إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي:

25) 60º

الحل:

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 3 ضلعاً يساوي 60º.

26) 90º

الحل:

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 4 ضلعاً يساوي 60º.

27) 120º

الحل:

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 6 ضلعاً يساوي 120º.

28) 156º

الحل:

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 15 ضلعاً يساوي 156º.

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين:

29)

شكل 29

الحل:

30)

شكل 30

الحل:

أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

31) العشاري.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

32) الخماسي.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

33) السداسي.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

34) ذو 15 ضلعاً.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

35) تصوير: تشكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعاً منتظماً ذا 14 ضلعاً.

عدسة

a) أوجد قياس الزاوية الداخلية مقرّبة إلى أقرب عُشر.

الحل:

2160=180. (14-2) n=14

قياس الزاوية الداخلية = = 154.3 تقريباً.

b) أوجد قياس الزاوية الخارجية مقرّبة إلى أقرب عُشر.

الحل:

360 = 14n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

25.7=n (بقسمة كلا الطرفين على 14).

اذن قياس الزاوية الداخلية = 154.3 تقريباً.

أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضالعه في كل مما يأتي وقرب إجابتك الى أقرب عشرة:

36) 7

الحل:

900=180. (7-2) n=7

قياس الزاوية الداخلية = = 128.6 تقريباً.

360 = 7n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

51.4=n (بقسمة كلا الطرفين على7).

إذن قياس الزاوية الداخلية = 51.4 تقريباً.

37) 13

الحل:

1980=180. (13-2) n=13

قياس الزاوية الداخلية = = 152.3 تقريباً.

360 = 13n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

51.4=n (بقسمة كلا الطرفين على13).

إذن قياس الزاوية الداخلية = 27.7 تقريباً.

38) أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي °1080، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

الحل:

شكل 38

يقسم المضلع إلى ثمان مثلثات.

مجموع زوايا 8 مثلثات = 8 × 180

= 1440

مجموع الزوايا حول نقطة المركز = 360

مجموع زويا المضلع الثماني الداخلية = 1440 - 360 = 1080

قياس الزاوية الداخلية للمضلع الثماني المنتظم = 1080 ÷ 8 = 135

39) برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع.

الحل:

أفرض أن N تساوي مجموع قياسات الزوايا الخارجية لمضلع عدد أضلاعه n.

N تساوي مجموع قياسات الأزواج الخطية مطروحاً منه مجموع قياسات الزوايا الداخلية.

=180n - 180 (n-2)

=180n - 180n + 360 = 360

لذا، فإن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يساوي 360

جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين:

40) عشاري قياسات زواياه الداخلية:

(x+5)º,(x+10)º,(x+20)º,(x+30)º,(x+35)º,(x+40)º,(x+60)º,(x+70)º,(x+80)º,(x+90)º

الحل:

41) الخماسي ABCDE الذي قياسات زواياه الداخلية:

6xº,(4x + 13)º , (x + 9)º , (2x - 8)º ,(4x - 1)

الحل:

42) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العالقات بين الزوايا والأضالع في متوازي أضلاع.

شكل 42

a) هندسياً: رسم زوجين من المستقيمات المتوازية تتقاطع كما في الشكل المجاور، وسم الشكل الرباعي الناتج ABCD ثم كرر هذه الخطوات لتكوين شكلين آخرين: QRST,FGHJ.

الحل:

حل 42

b) جدولياً: أكمل الجدول الآتي:

الحل:

الشكل الرباعي أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا
ABCD 101 97 101 97
AB 0.6cm BC 0.6cm CD 0.6cm DA 0.6cm
FGHJ 76 104 76 104
FG 1cm GH 0.9cm HJ 1cm JF 0.9cm
QRST 121 95 121 95
QR 0.5cm RS 1.2cm ST 0.5cm TQ 1.2cm

c) لفظياً: خمن العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتقابلتان متطابقتين.

d) لفظياً: خمن العلاقة بين كل زاويتين متخالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتخالفتان متكاملتين.

e) لفظياً: خمن العلاقة بين كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الضلعان المتقابلتان متطابقتين.

مشاركة الدرس

السؤال

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين:

الحل

شكل 29

تدرب وحل المسائل

الدرس الاول

تدرب وحل مسائل

أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل من المضلعات المحدبة الآتية:

12) ذو 12 ضلعاً.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (12-2).180 =1800

13) ذو 20 ضلعاً.

الحل:

n=20

(n-2).180 = (20-2).180 =3240

14) ذو 29 ضلعاً.

الحل:

n=29

(n-2).180 = (12-2).180 =4860

15) ذو 32 ضلعاً.

n=32

(n-2).180 = (12-2).180 =4500

أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعات الآتية:

16)

شكل 16

الحل:

بما ان الشكل رباعي اذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

(n-2).180 = (4-2).180 =360

17)

شكل 17

الحل:

18)

شكل 18

الحل:

بما أن الشكل خماسي إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

19)

شكل 19

الحل:

بما أن الشكل خماسي إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

20) ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع في الشكل المجاور؟

شكل 20

الحل:

n=5

(n-2).180 = (5-2).180 =540

أوجد قياس زاوية داخلية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

21) ذو 12 ضلعاً.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (12-2).180 =1800

22) الخماسي.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (5-2).180 =540

23) العشاري.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (10-2).180 =1440

24) التساعي.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (9-2).180 =1260

إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي:

25) 60º

الحل:

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 3 ضلعاً يساوي 60º.

26) 90º

الحل:

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 4 ضلعاً يساوي 60º.

27) 120º

الحل:

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 6 ضلعاً يساوي 120º.

28) 156º

الحل:

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 15 ضلعاً يساوي 156º.

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين:

29)

شكل 29

الحل:

30)

شكل 30

الحل:

أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

31) العشاري.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

32) الخماسي.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

33) السداسي.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

34) ذو 15 ضلعاً.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

35) تصوير: تشكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعاً منتظماً ذا 14 ضلعاً.

عدسة

a) أوجد قياس الزاوية الداخلية مقرّبة إلى أقرب عُشر.

الحل:

2160=180. (14-2) n=14

قياس الزاوية الداخلية = = 154.3 تقريباً.

b) أوجد قياس الزاوية الخارجية مقرّبة إلى أقرب عُشر.

الحل:

360 = 14n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

25.7=n (بقسمة كلا الطرفين على 14).

اذن قياس الزاوية الداخلية = 154.3 تقريباً.

أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضالعه في كل مما يأتي وقرب إجابتك الى أقرب عشرة:

36) 7

الحل:

900=180. (7-2) n=7

قياس الزاوية الداخلية = = 128.6 تقريباً.

360 = 7n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

51.4=n (بقسمة كلا الطرفين على7).

إذن قياس الزاوية الداخلية = 51.4 تقريباً.

37) 13

الحل:

1980=180. (13-2) n=13

قياس الزاوية الداخلية = = 152.3 تقريباً.

360 = 13n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

51.4=n (بقسمة كلا الطرفين على13).

إذن قياس الزاوية الداخلية = 27.7 تقريباً.

38) أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي °1080، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

الحل:

شكل 38

يقسم المضلع إلى ثمان مثلثات.

مجموع زوايا 8 مثلثات = 8 × 180

= 1440

مجموع الزوايا حول نقطة المركز = 360

مجموع زويا المضلع الثماني الداخلية = 1440 - 360 = 1080

قياس الزاوية الداخلية للمضلع الثماني المنتظم = 1080 ÷ 8 = 135

39) برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع.

الحل:

أفرض أن N تساوي مجموع قياسات الزوايا الخارجية لمضلع عدد أضلاعه n.

N تساوي مجموع قياسات الأزواج الخطية مطروحاً منه مجموع قياسات الزوايا الداخلية.

=180n - 180 (n-2)

=180n - 180n + 360 = 360

لذا، فإن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يساوي 360

جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين:

40) عشاري قياسات زواياه الداخلية:

(x+5)º,(x+10)º,(x+20)º,(x+30)º,(x+35)º,(x+40)º,(x+60)º,(x+70)º,(x+80)º,(x+90)º

الحل:

41) الخماسي ABCDE الذي قياسات زواياه الداخلية:

6xº,(4x + 13)º , (x + 9)º , (2x - 8)º ,(4x - 1)

الحل:

42) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العالقات بين الزوايا والأضالع في متوازي أضلاع.

شكل 42

a) هندسياً: رسم زوجين من المستقيمات المتوازية تتقاطع كما في الشكل المجاور، وسم الشكل الرباعي الناتج ABCD ثم كرر هذه الخطوات لتكوين شكلين آخرين: QRST,FGHJ.

الحل:

حل 42

b) جدولياً: أكمل الجدول الآتي:

الحل:

الشكل الرباعي أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا
ABCD 101 97 101 97
AB 0.6cm BC 0.6cm CD 0.6cm DA 0.6cm
FGHJ 76 104 76 104
FG 1cm GH 0.9cm HJ 1cm JF 0.9cm
QRST 121 95 121 95
QR 0.5cm RS 1.2cm ST 0.5cm TQ 1.2cm

c) لفظياً: خمن العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتقابلتان متطابقتين.

d) لفظياً: خمن العلاقة بين كل زاويتين متخالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتخالفتان متكاملتين.

e) لفظياً: خمن العلاقة بين كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الضلعان المتقابلتان متطابقتين.