خمن العلاقة بين كل زاويتين متخالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتخالفتان متكاملتين.

تدرب وحل المسائل

أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل من المضلعات المحدبة الآتية:

12) ذو 12 ضلعاً.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (12-2).180 =1800$°$

13) ذو 20 ضلعاً.

الحل:

n=20

(n-2).180 = (20-2).180 =3240$°$

14) ذو 29 ضلعاً.

الحل:

n=29

(n-2).180 = (12-2).180 =4860$°$

15) ذو 32 ضلعاً.

n=32

(n-2).180 = (12-2).180 =4500$°$

أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعات الآتية:

16)

الحل:

بما ان الشكل رباعي اذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

(n-2).180 = (4-2).180$°$ =360$°$

$\begin{array}{l}{360}^{\circ }=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Q}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{R}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{S}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{T}\\ \\ {360}^{\circ }=(2\mathrm{x}+5)+\mathrm{x}+(2\mathrm{x}+7)+\mathrm{x}\\ \\ {360}^{\circ }=6\mathrm{x}+12\\ \\ 360-12=6\mathrm{x}\\ \\ 348=6\mathrm{x}\\ \\ \mathrm{x}=58\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{R}=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{T}={58}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Q}=(2\mathrm{x}+5)=(2\times 58+5)={121}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{S}=(2\mathrm{x}+7)=(2\times 58+5)={123}^{\circ }\\ \end{array}$

17)

الحل:

$\begin{array}{l}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(4-2)\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }\\ \\ {360}^{\circ }=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{J}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{M}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{L}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{l}\\ \\ {360}^{\circ }=(3\mathrm{x}-6)+(2\mathrm{x}-8)+\mathrm{x}+(\mathrm{x}+1\\ \\ {360}^{\circ }=7\mathrm{x}-4\\ \\ 360+4=7\mathrm{x}\\ \\ 348=6\mathrm{x}\\ \\ \mathrm{x}=52\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{J}=(3\times 52-6)={150}^{\circ }\\ \\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{M}=(2\times 52-8)={96}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{L}=\mathrm{x}={52}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{K}=(\mathrm{x}+10)=(52+10)={62}^{\circ }\end{array}$

18)

الحل:

بما أن الشكل خماسي إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

$\begin{array}{l}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(5-2)\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }\\ {540}^{\circ }=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{A}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{B}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{C}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{D}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{E}\\ \\ {540}^{\circ }=90+90+(2x-20)+x+(2x+10)\\ \\ {540}^{\circ }=5x+170\\ \\ 540-170=5x\\ \\ 540=5x\\ \\ x=74\\ \\ m\mathrm{\angle }\mathrm{D}={74}^{\circ }\\ \\ m\mathrm{\angle }\mathrm{C}=(2\times 74-20)={128}^{\circ }\\ \\ m\mathrm{\angle }\mathrm{E}=(2\times 74+10)={158}^{\circ }\end{array}$

19)

الحل:

بما أن الشكل خماسي إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية له =

$\begin{array}{r}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(5-2)\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }\\ \\ {540}^{\circ }=\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{U}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{V}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{W}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Y}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Z}\\ \\ {540}^{\circ }=(\mathrm{x}+32)+(2\mathrm{x}-10)+(2\mathrm{x}-6)+\mathrm{x}+(2\mathrm{x}-20)\\ \\ {540}^{\circ }=8\mathrm{x}-4\\ \\ \mathrm{x}=68\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{U}=(68+32)={100}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{V}=(2\times 68-10)={126}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{W}=(2\times 68-6)={130}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{Y}=\mathrm{x}={68}^{\circ }\\ \\ \mathrm{Z}=(2\times 68-20)={116}^{\circ }\end{array}$

20) ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع في الشكل المجاور؟

الحل:

n=5

(n-2).180 = (5-2).180 =540$°$

أوجد قياس زاوية داخلية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

21) ذو 12 ضلعاً.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (12-2).180 =1800$°$

$\frac{1800}{12}=150°$

22) الخماسي.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (5-2).180 =540$°$

$\frac{540}{5}=108°$

23) العشاري.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (10-2).180 =1440$°$

$\frac{1440}{10}=144°$

24) التساعي.

الحل:

n=12

(n-2).180 = (9-2).180 =1260$°$

$\frac{1260}{9}=140°$

إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي:

25) 60º

الحل:

$\begin{array}{l}60n=(n-2)\cdot 180\\ \\ 60n=n180-360\\ \\ 60n-n180=-360\\ \\ -120n=-360\\ \\ n=3\end{array}$

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 3 ضلعاً يساوي 60º.

26) 90º

الحل:

$\begin{array}{l}90n=(n-2).180\\ \\ 90n=n180-360\\ \\ 90n-n180=-360\\ \\ -90n=-360\\ \\ n=4\end{array}$

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 4 ضلعاً يساوي 60º.

27) 120º

الحل:

$\begin{array}{l}120n=(n-2).180\\ \\ 120n=n180-360\\ \\ 120n-n180=-360\\ \\ -n60=-360\\ \\ n=6\end{array}$

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 6 ضلعاً يساوي 120º.

28) 156º

الحل:

$\begin{array}{l}156n=(n-2)\cdot 180\\ \\ 156n=n180-360\\ \\ 156n-n180=-360\\ \\ -24n=-360\\ \\ n=15\end{array}$

إذا كان قياس كل زاوية خارجية للمضلع المنتظم ذي 15 ضلعاً يساوي 156º.

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين:

29)

الحل:

$\begin{array}{l}(x-11)+(x+10)+(2x-42)+{31}^{\circ }={360}^{\circ }\\ 4x-12=360\\ \\ 4x=372\\ x=\frac{372}{4}=93\end{array}$

30)

الحل:

$\begin{array}{l}\left(2x\right)+(x+10)+(x+18)+3x+(x-1)+x={360}^{\circ }\\ \\ 9x+27=360\\ \\ 9x=333\\ \\ x=\frac{333}{9}=37\end{array}$

أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية:

31) العشاري.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

$\begin{array}{l}10\mathrm{n}=360\\ \mathrm{n}=\frac{360}{10}={36}^{\circ }\end{array}$

32) الخماسي.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

$\begin{array}{l}5\mathrm{n}=360\\ \mathrm{n}=\frac{360}{5}={72}^{\circ }\end{array}$

33) السداسي.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

$\begin{array}{l}6\mathrm{n}=360\\ \mathrm{n}=\frac{360}{6}={60}^{\circ }\end{array}$

34) ذو 15 ضلعاً.

الحل:

نظرية مجموع الزوايا الخارجية لمضلع.

$\begin{array}{l}15\mathrm{n}=360\\ \mathrm{n}=\frac{360}{15}={24}^{\circ }\end{array}$

35) تصوير: تشكل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعاً منتظماً ذا 14 ضلعاً.

a) أوجد قياس الزاوية الداخلية مقرّبة إلى أقرب عُشر.

الحل:

$°$2160=180. (14-2) n=14

قياس الزاوية الداخلية = $\frac{2160}{14}$ = $°$154.3 تقريباً.

b) أوجد قياس الزاوية الخارجية مقرّبة إلى أقرب عُشر.

الحل:

$°$360 = 14n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

25.7=n (بقسمة كلا الطرفين على 14).

اذن قياس الزاوية الداخلية = $°$154.3 تقريباً.

أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضالعه في كل مما يأتي وقرب إجابتك الى أقرب عشرة:

36) 7

الحل:

$°$900=180. (7-2) n=7

قياس الزاوية الداخلية = $\frac{900}{7}$ = $°$128.6 تقريباً.

$°$360 = 7n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

51.4=n (بقسمة كلا الطرفين على7).

إذن قياس الزاوية الداخلية = $°$51.4 تقريباً.

37) 13

الحل:

$°$1980=180. (13-2) n=13

قياس الزاوية الداخلية = $\frac{1980}{13}$ = $°$152.3 تقريباً.

$°$360 = 13n (نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع).

51.4=n (بقسمة كلا الطرفين على13).

إذن قياس الزاوية الداخلية = $°$27.7 تقريباً.

38) أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي °1080، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع.

الحل:

يقسم المضلع إلى ثمان مثلثات.

مجموع زوايا 8 مثلثات = 8 × $°$180

= $°$1440

مجموع الزوايا حول نقطة المركز = $°$360

مجموع زويا المضلع الثماني الداخلية = $°$1440 - $°$360 = $°$1080

قياس الزاوية الداخلية للمضلع الثماني المنتظم = $°$1080 ÷ 8 = $°$135

39) برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع.

الحل:

أفرض أن N تساوي مجموع قياسات الزوايا الخارجية لمضلع عدد أضلاعه n.

N تساوي مجموع قياسات الأزواج الخطية مطروحاً منه مجموع قياسات الزوايا الداخلية.

=180n - 180 (n-2)

=180n - 180n + 360 = 360

لذا، فإن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يساوي $°$360

جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين:

40) عشاري قياسات زواياه الداخلية:

(x+5)º,(x+10)º,(x+20)º,(x+30)º,(x+35)º,(x+40)º,(x+60)º,(x+70)º,(x+80)º,(x+90)º

الحل:

$\begin{array}{l}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(10-2)\cdot {180}^{\circ }={1440}^{\circ }\\ \\ {1440}^{\circ }=(\mathrm{x}+5)+(\mathrm{x}+10)+(\mathrm{x}+20)+(\mathrm{x}+30)+(\mathrm{x}+35)\\ +(\mathrm{x}+40)+(\mathrm{x}+60)+(\mathrm{x}+70)+(\mathrm{x}+80)+(\mathrm{x}+90)\\ \\ {1440}^{\circ }=10\mathrm{x}+440\\ \\ {1440}^{\circ }-440=10\mathrm{x}\\ \\ 1000=10\mathrm{x}\\ \\ \mathrm{x}=100\\ \\ (\mathrm{x}+5)=100+5={105}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+10)=100+10={110}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+20)=100+20={120}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+30)=100+30={130}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+35)=100+35={135}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+40)=100+40={145}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+60)=100+60={160}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+70)=100+70={170}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+80)=100+80={180}^{\circ }\\ \\ (\mathrm{x}+90)=100+90={190}^{\circ }\\ \\ {190}^{\circ },{180}^{\circ },{170}^{\circ },{160}^{\circ },{140}^{\circ },{135}^{\circ },{130}^{\circ },{120}^{\circ },{110}^{\circ },{105}^{\circ }:\text{الداخلية الزوايا}\end{array}$

41) الخماسي ABCDE الذي قياسات زواياه الداخلية:

6xº,(4x + 13)º , (x + 9)º , (2x - 8)º ,(4x - 1)

الحل:

$\begin{array}{l}(\mathrm{n}-2)\cdot 180=(5-2)\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }\\ \\ {540}^{\circ }=(4\mathrm{x}-1)+(2\mathrm{x}-8)+(\mathrm{x}+9)+(4\mathrm{x}+13)+6\mathrm{x}\\ \\ {540}^{\circ }=17\mathrm{x}+13\\ \\ {540}^{\circ }-13=17\mathrm{x}\\ \\ 527=17\mathrm{x}\\ \\ \mathrm{x}=31\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{E}=4\mathrm{x}-1=4\times 31-1={123}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{D}=2\mathrm{x}-8=2\times 31-8={54}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{C}=\mathrm{x}+9=31+9={40}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{B}=4\mathrm{x}+13=4\times 31+13={137}^{\circ }\\ \\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{A}=6\mathrm{x}=6\times 31={186}^{\circ }\end{array}$

42) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة العالقات بين الزوايا والأضالع في متوازي أضلاع.

a) هندسياً: رسم زوجين من المستقيمات المتوازية تتقاطع كما في الشكل المجاور، وسم الشكل الرباعي الناتج ABCD ثم كرر هذه الخطوات لتكوين شكلين آخرين: QRST,FGHJ.

الحل:

b) جدولياً: أكمل الجدول الآتي:

الحل:

c) لفظياً: خمن العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتقابلتان متطابقتين.

d) لفظياً: خمن العلاقة بين كل زاويتين متخالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الزاويتان المتخالفتان متكاملتين.

e) لفظياً: خمن العلاقة بين كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية.

الحل:

في الشكل الرباعي المتكون من زوجين من المستقيمات المتوازية تكون الضلعان المتقابلتان متطابقتين.