إذا كانت س = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ ، ص = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$ ، ع = $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}$ ، فاستعمل ترتيب العمليات لتجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

$\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}$ ص + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$ ع = $\frac{\bcancel{\mathrm{٧}}}{\mathrm{٨}}$ × $\frac{\mathrm{٣}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}$ + $\frac{\bcancel{\mathrm{٥}}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}$ × ${\frac{\bcancel{\mathrm{٧}}}{\bcancel{\mathrm{١٠}}}}_{\left(\mathrm{٢}\right)}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨} }+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}} = \frac{\mathrm{٣}+\mathrm{١}\times \mathrm{٤}}{\mathrm{٨}} = \frac{\mathrm{٣}+\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}$ = $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي، ثم أكتبه في أبسط صورة:

٩- $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$

= $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٥}}$

١٠- $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}} \times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٣٢}}$

١١- $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$

= $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٣٢}}$

١٢- $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$

= $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٣٥}}$

١٣- $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \mathrm{٢}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}= \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}= \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}} =\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$

١٤- $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \mathrm{٤}$

= $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$

١٥- $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\times \mathrm{١٥}$

= $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\times \frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{١}} =\frac{\mathrm{٧٥}}{\mathrm{٦}}= \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١٢}$

١٦- $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}\times \mathrm{١١}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}\times \frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٣٣}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٤}$

١٧- $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

= $\frac{\bcancel{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٣}}\times {\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}}_{\left(\mathrm{٢}\right)} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

١٨- $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{\bcancel{\mathrm{٥}}}\times \frac{\bcancel{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٧}} = \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$

١٩- $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$

= ${\frac{\bcancel{\mathrm{٤}}}{\bcancel{\mathrm{٩}}}}_{\left(\mathrm{٣}\right)}\times {\frac{\bcancel{\mathrm{٣}}}{\bcancel{\mathrm{٨}}}}_{\left(\mathrm{٢}\right)} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

٢٠- $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

= $\frac{\bcancel{\mathrm{٢}}}{\bcancel{\mathrm{٥}}}\times {\frac{\bcancel{\mathrm{٥}}}{\bcancel{\mathrm{٦}}}}_{\left(\mathrm{٣}\right)} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

جبر: إذا كانت أ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ ، ب = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ، جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ، فاحسب قيمة كل عبارة مما يأتي:

٢١- أ ب

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$

٢٢- ب جـ

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

٢٣- $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ أ

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٣}}}\times \frac{\bcancel{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٥}} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

٢٤- $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}$ جـ

= $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ = ${\frac{\bcancel{\mathrm{٦}}}{\mathrm{٧}}}^{\left(\mathrm{٢}\right)}\times \frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٣}}} = \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٧}}$

٢٥- حيوانات: يمضي حيوان (الكسلان) $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ عمره تقريباً نائماً، فإذا كان يعيش حتى ٢٨ سنة، فأوجد عدد السنوات التي يمضيها نائماً.

عدد السنوات = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ × ٢٨ = $\frac{\mathrm{١١٢}}{\mathrm{٥}} = \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢٢}$ سنة.

٢٦- نفط: إذا كان الإنتاج اليومي لسلطنة عمان من النفط $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢٥}}$ من إنتاج المملكة العربية السعودية. فما إنتاج السلطنة، إذا كان إنتاج المملكة ٩ ملايين برميل يومياً؟

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢٥}}$ × ٩٠٠٠٠٠٠ = ٢٧٠٠٠٠٠٠ برميل يومياً.

٢٧- القياس: تشكل المسافة بين مكة المكرمة والمدينة المنورة $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$ المسافة وبين مكة المكرمة ونجران تقريباً. فإذا كانت المسافة بين مكة المكرمة ونجران ٩٠٠ كلم، فأوجد المسافة بين مكة المكرمة والمدينة المنورة.

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$ × ٩٠٠ = ٣٦٠ كلم

أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي، ثم اكتبه في أبسط صورة:

٢٨- $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٤}}$

٢٩- $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

= $\frac{\bcancel{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٣}}\times {\frac{\bcancel{\mathrm{٣}}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}}_{\left(\mathrm{٢}\right)}\times \frac{\bcancel{\mathrm{٢}}}{\bcancel{\mathrm{٣}}} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

٣٠- $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{١٦}}$

= $\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}\times \frac{\bcancel{\mathrm{٢}}}{\bcancel{\mathrm{٥}}}\times {\frac{\bcancel{\mathrm{١٥}}}{\mathrm{١٦}}}^{\left(\mathrm{٣}\right)} = \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٦}}$

الجبر: إذا كانت س = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ ، ص = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$ ، ع = $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}$ ، فاستعمل ترتيب العمليات لتجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

٣١- $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ س ع

= $\frac{\bcancel{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\times {\frac{\mathrm{٧}}{\bcancel{\mathrm{١٠}}}}_{\left(\mathrm{٥}\right)}= \frac{\mathrm{٢٨}}{\mathrm{٧٥}}$

٣٢- س ص ع

= ${\frac{\bcancel{\mathrm{٤}}}{\mathrm{٥}}}^{\left(\mathrm{٢}\right)}\times \frac{\mathrm{٣}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}\times {\frac{\bcancel{\mathrm{٧}}}{\bcancel{\mathrm{١٠}}}}_{\left(\mathrm{٥}\right)} = \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢٥}}$

٣٣- $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ س + ع

= $\frac{\mathrm{٣}}{\bcancel{\mathrm{٤} }}\times \frac{\bcancel{\mathrm{٤}}}{\mathrm{٥}}+ \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}= \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}} + \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}$ = $\frac{\mathrm{٣}\times \mathrm{٢}+\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}} = \frac{\mathrm{٦}+\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}$

= $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{١٠}}= \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{١}$

٣٤- $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}$ ص + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$ع

= $\frac{\bcancel{\mathrm{٧}}}{\mathrm{٨}}$× $\frac{\mathrm{٣}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}$ + $\frac{\bcancel{\mathrm{٥}}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}$ × ${\frac{\bcancel{\mathrm{٧}}}{\bcancel{\mathrm{١٠}}}}_{\left(\mathrm{٢}\right)}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨} }+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}} = \frac{\mathrm{٣}+\mathrm{١}\times \mathrm{٤}}{\mathrm{٨}} = \frac{\mathrm{٣}+\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}$

= $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}$

٣٥- مساحة: تبلغ مساحة جامعة الملك عبد الله للعلوم والتقنية ٣٦ كلم^٢ ،إذا كانت المباني السكنية والجامعية والمرافق المركزية تغطي $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ هذه المساحة، فأوجد مساحة هذا الجزء.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ × ٣٦ = $\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٥}}= \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٧}$ كلم^٢

٣٦- صحة: إذا كان متوسط عدد ضربات القلب لدى الإنسان ٧٢ مرة في الدقيقة، فأوجد $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٥}}$ هذا العدد واكتبه في صورة عدد كسري.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٥}}$ × ٧٢ = $\frac{\mathrm{٧٢}}{\mathrm{١٥}} = \frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٥}}\mathrm{٤}= \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٤}$

٣٧- أداء العمرة: ذهب $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ موظفي شركة لأداء مناسك العمرة، فاشترى ٤ منهم هدايا عند عودتهم. فأي مما يأتي يمكن، يكون تقديراً معقولاً لعدد موظفي تلك الشركة: ١٨أم ٢٦ أم ٣٠ موظفاً؟ وضح إجابتك.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ × ١٨ = ٣ موظفين وهو غير معقول حيث من المسألة أن ٤ من المعتمرين اشتروا هدايا.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ × ٢٦ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤}$ غير معقول حيث لا يوجد $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ موظف.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$× ٣٠ = ٥ موظفين، وهي الإجابة الصحيحة.

٣٨- أشجار: تمثل أشجار الحمضيات $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢٠}}$ من أشجار بستان. إذا علمت أن $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ أشجار الحمضيات ليمون، وأن العدد الكلي لأشجار البستان هو ٧٢٠ شجرة، فما عدد أشجار الليمون؟

$\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}$× $\frac{\mathrm{١٣}}{\bcancel{\mathrm{٢٠}}}$ × ${\bcancel{\mathrm{٧٢٠} }}^{\bcancel{\left(\mathrm{٣٦}\right)}}{ }^{\left(\mathrm{٩}\right)}$= ١١٧ شجرة.

٣٩- مسألة مفتوحة: اعمل نموذجاً توضح من خلاله أن ناتج $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ يساوي $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

تبرير: أي الجملتين الآتيين صحيحة وأيهما خاطئة؟ أعط مثالاً مضاداً للجملة الخاطئة:

٤٠- ناتج ضرب عددين كسريين، كل منهما بين ٤ و٥ وكسر بين ٠ و١ ويكون أصغر من ٤

$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$أصغر من ٤.

٤١- ناتج ضرب عددين كسريين، كل منهما بين ويقع بين ١٦ و٢٥.

$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١١٧}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١٩}$يقع بين ١٦ و٢٥ إذن الإجابة صحيحة.

٤٢- الحس العددي: إذا كان أ، ب كسرين ناتج ضربهما $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٥٦}}$ ، فأوجد ثلاث قيم ممكنة لكل من أ، ب.

بفرض أ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ - $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$

بفرض ب = $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٨}}$ - $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٤}}$ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$

٤٣- تحد: هل ناتج ضرب كسرين، كل منهما أصغر من ١ يكون أيضاً من ١؟ فسر إجابتك.

نعم لأن ضرب س في كسر أصغر من ١ يعطي كسرا أصغر من س. لذا إذا كان س كسراً أصغر من ١، فإن الناتج يكون أصغر من ١.

٤٤- اكتب: تفسيراً، لماذا يكون $\frac{أ}{ب}\times \frac{ب}{ج}\times \frac{ج}{د}\times \frac{د}{ه}$ ؟

$\frac{أ}{\bcancel{ب}}\times \frac{\bcancel{ب}}{\bcancel{ج}}\times \frac{\bcancel{ج}}{\bcancel{د}}\times \frac{\bcancel{د}}{ه}$ = $\frac{أ}{ه}$

٤٥- إذا كان الدواجن الموجودة في مزرعة هو دجاجاً وكان هذا الدجاج ديوكاً فأي مما يأتي يمثل الكسر الدال على عدد الديوك بالنسبة للمزرعة؟

أ. $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

ب. $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

جـ. $\frac{\mathbf{٥}}{\mathbf{٨}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٣}}$

د. $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}÷\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

٤٦- جمعية تطوعية عدد أعضائها ١٥٠ شخصاً، ونصف هذا العدد رجال، جمعية أخرى عددها ٩٠ شخصاً و $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ عدد هذه الجمعية رجال كم يزيد عدد الرجال في الجمعية الأولى على عدد الرجال في الجمعية الثانية؟

أ. ٣

ب. ١٨

جـ. ٢٧

د. ٧٢