زرع مالك ١٤٠ نبتة على صورة مستطيل في حديقة منزله، فبكم طريقة يمكنه ترتيبها ليكون لديه على الأقل ٤صفوف، وعدد النبتات نفسه في كل صف، على ألا يقل عن ٦ نبتات.

كل وحيدة ٤صفوف في كل منها ٣٥ نبتة، ٥ صفوف في كل منها ٢٨ نبتة ٧ صفوف في كل منها ٢٠ نبتة، ١٠ صفوف في كل منها ١٤ نبتة، ٢٠ صفاً في كل منها ٧ نبتات، ١٤ صفاً في كل منها ١٠ نبتات.

من الجدول عدد الطرق الممكنة للترتيب = ٦ طرق.

حل أسئلة اختبار الفصل السابع

حلل كل وحيدة حد فيما يأتي تحليلاً تاماً:

١) ٢٥س^٢ ص^٤

٢٥س^٢ ص^٤ = ٥ × ٥ × س × س × ص × ص × ص × ص

٢) ١٧ أ ب^٢

١٧ أ ب^٢ = ١٧ × أ × ب × ب

٣) -١٨جـ^٥ د^٣

-١٨جـ^٥ د^٣ = - ١ × ٢ × ٣ × ٣ × جـ × جـ × جـ × جـ × جـ × د × د × د

٤) حديقة: زرع مالك ١٤٠ نبتة على صورة مستطيل في حديقة منزله، فبكم طريقة يمكنه ترتيبها ليكون لديه على الأقل ٤صفوف، وعدد النبتات نفسه في كل صف، على ألا يقل عن ٦ نبتات.

كل وحيدة ٤صفوف في كل منها ٣٥ نبتة، ٥ صفوف في كل منها ٢٨ نبتة ٧ صفوف في كل منها ٢٠ نبتة، ١٠ صفوف في كل منها ١٤ نبتة، ٢٠ صفاً في كل منها ٧ نبتات، ١٤ صفاً في كل منها ١٠ نبتات.

من الجدول عدد الطرق الممكنة للترتيب = ٦ طرق.

أوجد (ق. م. أ) لكل مجموعة وحيدات حد فيما يأتي:

٥) ٢أ، ٨أ^٢، ١٦أ^٣

٢أ = ٢× أ

٨أ^٢ = ٢ × ٢ × ٢ × أ × أ

١٦أ^٣ = ٢× ٢ × ٢ × ٢ × أ × أ × أ

ق. م. أ = ٢أ

٦) ٧جـ، ٢٤د

٧جـ = ٧ × جـ × ١

٢٤د = ٢× ٢ × ٢ × ٣ × د × ١

ق. م. أ = ١

٧) ٥٠جـ^٢ هـ، ١٢٠جـ هـ

٥٠جـ هـ = ٥× ٢× ٥ × جـ × جـ × هـ

١٢٠ جـ هـ = ٢× ٢ × ٥ × ٢ × ٣ × جـ × هـ

ق. م. أ = ١٠ جـ هـ

٨) ٨ك^٢ ر^٢، ٣٦ك ر

٨ك^٢ ر^٢ = ٢ × ٢ × ٢ × ك × ك × ر × ر

٣٦ك ر = ٢ × ٢ × ٣ × ٣ × ك × ر

ق. م. أ = ٢ × ٢ × ك × ر

ق. م. أ = ٤ك ر

٩) اختيار من متعدد: إذا كانت مساحة المستطيل أدناه ٢س^٢ -س - ١٥ وحدة مربعة، فما عرضه؟

أ) س - ٥

ب) س + ٣

جـ) س - ٣

د) ٢س - ٣

نحلل المقدار:

٢س^٢ - س - ١٥ إلى عاملين إحداهما ٢س + ٥ (الطول).

٢س^٢ - س - ١٥ = (٢س + ٥) (س - ٣)

العرض هو: س - ٣ (الإجابة جـ)

استعمل خاصية التوزيع لتحليل كل من كثيرتي الحدود الآتيين:

١٠) ٥س ص - ١٠س

٥س ص - ١٠س

٥س ص = ٥× س × ص

- ١٠س = -١ × ٢ × ٥ × س

ق. م. أ = ٥س

٥س ص - ١٠س = ٥د (ص - ٢)

١١) ٧أ ب +١٤أ ب^٢ +٢١أ^٢ ب

٧أ ب +١٤أ ب^٢ +٢١أ^٢ ب

٧أ ب = ٧ × ‌أ × ب

١٤أ ب = ٢× ٧ × أ × ب × ب

٢١أ^٢ ب = ٣ × ٧ × أ × أ × ب

ق. م. أ = ٧ أ ب

٧أ ب +١٤أ ب^٢ +٢١أ^٢ ب = ٧أ ب (١ + ٢ب + ٣أ)

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيين:

١٢) ٤س^٢ + ٨س + س + ٢

٤س^٢ + ٨س + س + ٢ = (٤س + ٨س) + (س + ٢)

= ٤س (س + ٢) + (س + ٢)

= (س + ٢) (٤س + ١)

١٣) ١٠أ^٢ -٥٠أ -أ + ٥

١٠أ^٢ -٥٠أ -أ + ٥ = (١٠أ^٢ - ٥٠أ) + (-أ + ٥)

= ١٠أ(أ - ٥) - (‌‌أ - ٥)

= (أ - ٥) (١٠أ - ١)

حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة الحل:

١٤) ص(ص - ١٤) = ٠

ص(ص - ١٤) = ٠

ص = ٠ أو ص - ١٤ = ٠

ص = ٠ أو ص = ١٤

الجذران هما: ٠، ١٤

التحقق: $\leftarrow$ ٠(٠ - ١٤) = ٠ C

١٤ × (١٤ - ١٤) = ٠ C

١٥) ٣س(س + ٦) = ٠

٣س(س + ٦) = ٠

٣س = ٠ أو س + ٦ = ٠

س = ٠ أو س = -٦

الجذران هما: ٠، -٦

التحقق: $\leftarrow$٣ ×(٠) × (٠ + ٦) = ٠ C

٣ ×(-٦) × (-٦ + ٦) = ٠ C

١٦) أ^٢ = ١٢أ

أ = ١٢أ

أ - ١٢أ = ٠

أ (أ - ١٢) = ٠

أ = ٠ أو أ - ١٢ = ٠

‌ = ٠ أو أ = ١٢

الجذران هما: ٠، ١٢

التحقق: $\leftarrow$ (٠) = (١٢ × ٠) = ٠ C

(١٢) = (١٢ × ١٢ C

١٧) اختيار من متعدد: ترغب نوال في فرش غرفة مساحتها (س - ٩) متر مربع بالسجاد، إذا كان عرض الغرفة (س - ٣) متراً، فما طولها بالأمتار؟

أ) س - ٣

ب) س - ٩

جـ) س + ٣

د) ٣

نحلل المقدار:

س^٢ - ٩ إلى عاملين أحدهما س - ٣ (العرض).

س^٢ - ٩ = (س)^٢ - (٣)^٢

س^٢ - ٩ = (س -٣) (س + ٣)

الطول هو: س + ٣ إذن الإجابة جـ

حلل كلاً من ثلاثيات الحدود الآتية:

١٨) س^٢ + ٧س + ٦

س^٢ + ٧س + ٦ = (س + م) (س + ن) اكتب القاعدة

= (س + ٦) (س + ١) م = ٦، ن = ١

١٩) س^٢ -٣س - ٢٨

س^٢ -٣س - ٢٨ = (س + م) (س + ن) اكتب القاعدة

= (س - ٧) (س + ٤) م = -٧، ن = ٤

٢٠) ١٠س^٢ - س - ٣

١٠س^٢ - س - ٣ = ١٠س^٢ + م س + ن س - ٣

استخدم القاعدة أ س^٢ + م س + ن س + جـ

= ١٠س^٢ + ٥س - ٦س - ٣

= (١٠س^٢ + ٥س) + (-٦ - ٣)

= ٥س (٢س + ١) -٣(٢س + ١)

= (٢س + ١) (٥س - ٣)

٢١) ١٥س^٢ + ٧س - ٢

١٥س^٢ + ٧س - ٢ = ١٥س^٢ + م س + ن س - ٢

استخدم القاعدة أ س^٢ + م س + ن س + جـ

= ١٥س^٢ + ١٠س - ٣س - ٢

= (١٥س^٢ + ١٠س) + (-٣س - ٢)

= ٥س (٣س + ٢) -(٣س + ٢)

= (٣س + ٢) (٥س - ١)

٢٢) س^٢ - ٢٥

س^٢ - ٢٥ = (س)^٢ - (٥)^٢

= (س + ٥) (س - ٥)

٢٣) ٤س^٢ - ٨١

٤س^٢ - ٨١ = (٢س)^٢ - (٩)^٢

= (٢س + ٩) (٢س - ٩)

٢٤) ٩س^٢ - ١٢س + ٤

٩س^٢ - ١٢س + ٤ = (٣س)^٢ - ٢(٢) (٣س) + (٢)^٢

= (٣س - ٢)^٢

٢٥) ١٦س^٢ + ٤٠س + ٢٥

١٦س^٢ + ٤٠س + ٢٥ = (٤س)^٢ +٢(٥) (٤س) +(٥)^٢

= (٤س + ٥)^٢

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٢٦) س^٢ -٤س = ٢١

س^٢ -٤س = ٢١

س^٢ -٤س - ٢١ = ٠

(س - ٧) (س + ٣) = ٠

س - ٧ = ٠ أو س + ٣ = ٠

س = ٧، س = -٣

الجذران هما: ٧، -٣

التحقق: $\leftarrow$ (٧)^٢ -٤(٧) = ٤٩ - ٢٨ = ٢١ C

(-٣)^٢ -٤(-٣) = ٩ + ١٢ = ٢١ C

٢٧) س^٢ -٢س - ٢٤ = ٠

س^٢ -٢س - ٢٤ = ٠

(س - ٦) (س + ٤) = ٠

س - ٦ = ٠ أو س + ٤ = ٠

س = ٦، س = -٤

الجذران هما: ٦، -٤

التحقق: $\leftarrow$ (٦) -٢(٦) - ٢٤ = ٣٦ - ١٢ - ٢٤ = ٠ C

(-٤) ٠ -٢(-٤) - ٢٤ = ١٦ + ٨ - ٢٤ = ٠ C

٢٨) ٦س^٢ -٥س - ٦ = ٠

٦س^٢ -٥س - ٦ = ٠

(٦س^٢ + ٤س) + (-٩س - ٦) = ٠

٢س(٣س + ٢) -٣(٣س + ٢) = ٠

(٣س + ٢) -٣(٣س + ٢) = ٠

٣س + ٢ = ٠ أو ٢س - ٣ = ٠

٣س = -٢ أو ٢س = ٣

س = -$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

الجذران هما: -$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

التحقق: ٦( -$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^٢ - ٥( -$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$) - ٦ = ٠ C

= ٦($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٢ - ٥($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) - ٦ = ٠ C

٢٩) ٢س^٢ - ١٣س + ٢٠ = ٠

٢س^٢ - ١٣س + ٢٠ = ٠

(٢س^٢ - ٨س) + (-٥س + ٢٠) = ٠

٢س(س - ٤) - ٥(س - ٤) = ٠

(س - ٤) (٢س - ٥) = ٠

س = ٤ أو ٢س = ٥

الجذران هما: ٤، $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$

التحقق: ٢(٤)^٢ - ١٣(٤) + ٢٠ = ٠ C

٢($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$)^٢ - ١٣($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$) + ٢٠ = ٠ C

٣٠) اختيار من متعدد: أي مما يأتي عاملاً من عوامل س^٤ - ١ عند تحليلها تحليلاً تاماً؟

أ) س^٢ - ١

ب) س - ١

جـ) س

د) ١

س^٤ - ١ = (س^٢ - ١) (س^٢ + ١)

= (س - ١) (س + ١) (س^٢ + ١)

الاختيار الصحيح: ب) س - ١