حلول الأسئلة

السؤال

اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية: إذا كانت | d|, |e|, |f | تمثّل ثلاثية فيثاغورس، وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادثين، فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فسّر تبريرك.

الحل

العبارة خاطئة؛ إذ قد تكون نقطة بداية للمتجهات الثلاثة واحدة ولا تشكل هذه المتجهات مثلثاً مطلقاً، إذا كان الأمر كذلك، فإن الزاوية بين المتجهين d و f تكون حادة أو قائمة أو منفرجة.

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

الضرب الداخلي

مسائل مهارات التفكير العليا

32) تبرير: اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية: إذا كانت | d|, |e|, |f | تمثّل ثلاثية فيثاغورس، وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادثين، فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فسّر تبريرك.

33) اكتشف الخطأ: يدرس كلٌّ من فهد وفيصل خصائص الضرب الداخلي للمتجهات، فقال فهد: إن الضرب الداخلي للمتجهات
عملية تجميعية؛ لأنها إبدالية؛ أي أن: u·v)·w=u·(v·w) )، ولكن فيصل عارضه، فأيهما كان على صواب؟ وضّح إجابتك.

فيصل؛ u · v عدد ثابت، وعليه فإن (u · v) · w ليس معرفاً؛ لأنه لا يمكن إجراء الضرب الداخلي بين مقدار ثابت ومتجه.

34) اكتب: وضح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين.

إجابة ممكنة: لأي متجهين غير صفريين $⟨ c, b ⟩, ⟨ a, d ⟩$ يكون الضرب الداخلي لهما يساوي مجموع حاصل ضرب الاحداثيين x والإحداثيين y أو ac + bd.

برهان: إذا كان: $u = ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩, v = ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩, w = ⟨ w_{1}, w_{2} ⟩$ ، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

35) u · v = v · u

$\begin{matrix} u \cdot v = v \cdot u \\ ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ \overset{?}{=} ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ \cdot ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \\ u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} \overset{?}{=} v_{1} u_{1} + v_{2} u_{2} \\ u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} \end{matrix}$

36) u · (v + w) = u · v + u · w

$\begin{aligned} ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot (⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ + ⟨ w_{1}, w_{2} ⟩) \overset{?}{=} & ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ + \\ ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot ⟨ w_{1}, w_{2} ⟩ \\ ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot ⟨ v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2} ⟩ \overset{?}{=} & (u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}) + \\ (u_{1} w_{1} + u_{2} w_{2}) \\ u_{1} (v_{1} + w_{1}) + u_{2} (v_{2} + w_{2}) \overset{?}{=} & u_{1} v_{1} + u_{1} w_{1} + \\ u_{2} v_{2} + u_{2} w_{2} \\ u_{1} v_{1} + u_{1} w_{1} + u_{2} v_{2} + u_{2} w_{2} = & u_{1} v_{1} + u_{1} w_{1} + \\ u_{2} v_{2} + u_{2} w_{2} \end{aligned}$

37) k(u · v) = ku · v = u · k v

$\begin{matrix} k (u \cdot v) = k u \cdot v = u \cdot k v \\ k (⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩) \overset{?}{=} k ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ \overset{?}{=} ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot k ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ \\ k (u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}) \overset{?}{=} ⟨ k u_{1}, k u_{2} ⟩ \cdot ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ \overset{?}{=} ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ \cdot ⟨ k v_{1}, k v_{2} ⟩ \\ k u_{1} v_{1} + k u_{2} v_{2} = k u_{1} v_{1} + k u_{2} v_{2} = k u_{1} v_{1} + k u_{2} v_{2} \end{matrix}$

38) برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي °90، فأثبت أن u · v = 0 باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير
صفريين.

الزاوية بين uو v هي $°$ θ = 90

$\begin{matrix} \cos 90^{\circ} = \frac{u \cdot v}{| u | \cdot | v |} \\ \cos 90^{\circ} = 0 \\ 0 = \frac{u \cdot v}{| u | \cdot | v |} \end{matrix}$

بضرب الطرفين في $| u | \cdot | v |$

u.v=0

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

الضرب الداخلي

مسائل مهارات التفكير العليا

32) تبرير: اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية: إذا كانت | d|, |e|, |f | تمثّل ثلاثية فيثاغورس، وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادثين، فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فسّر تبريرك.

33) اكتشف الخطأ: يدرس كلٌّ من فهد وفيصل خصائص الضرب الداخلي للمتجهات، فقال فهد: إن الضرب الداخلي للمتجهات
عملية تجميعية؛ لأنها إبدالية؛ أي أن: u·v)·w=u·(v·w) )، ولكن فيصل عارضه، فأيهما كان على صواب؟ وضّح إجابتك.

فيصل؛ u · v عدد ثابت، وعليه فإن (u · v) · w ليس معرفاً؛ لأنه لا يمكن إجراء الضرب الداخلي بين مقدار ثابت ومتجه.

34) اكتب: وضح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين.

برهان: إذا كان: $u = ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩, v = ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩, w = ⟨ w_{1}, w_{2} ⟩$ ، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

35) u · v = v · u

36) u · (v + w) = u · v + u · w

37) k(u · v) = ku · v = u · k v

38) برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي °90، فأثبت أن u · v = 0 باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير
صفريين.

الزاوية بين uو v هي $°$ θ = 90

$\begin{matrix} \cos 90^{\circ} = \frac{u \cdot v}{| u | \cdot | v |} \\ \cos 90^{\circ} = 0 \\ 0 = \frac{u \cdot v}{| u | \cdot | v |} \end{matrix}$

بضرب الطرفين في $| u | \cdot | v |$

u.v=0

حلول الأسئلة

اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية: إذا كانت | d|, |e|, |f | تمثّل ثلاثية فيثاغورس، وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادثين، فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فسّر تبريرك.

مشاركة الحل

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

34) اكتب: وضح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين.

برهان: إذا كان: u=⟨u1,u2⟩,v=⟨v1,v2⟩,w=⟨w1,w2⟩، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

35) u · v = v · u

36) u · (v + w) = u · v + u · w

37) k(u · v) = ku · v = u · k v

38) برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي °90، فأثبت أن u · v = 0 باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير صفريين.

مشاركة الدرس

اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية: إذا كانت | d|, |e|, |f | تمثّل ثلاثية فيثاغورس، وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادثين، فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فسّر تبريرك.

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

34) اكتب: وضح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين.

برهان: إذا كان: u=⟨u1,u2⟩,v=⟨v1,v2⟩,w=⟨w1,w2⟩، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

35) u · v = v · u

36) u · (v + w) = u · v + u · w

37) k(u · v) = ku · v = u · k v

38) برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي °90، فأثبت أن u · v = 0 باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير صفريين.

برهان: إذا كان: $u = ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩, v = ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩, w = ⟨ w_{1}, w_{2} ⟩$ ، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

38) برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي °90، فأثبت أن u · v = 0 باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير
صفريين.

برهان: إذا كان: $u = ⟨ u_{1}, u_{2} ⟩, v = ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩, w = ⟨ w_{1}, w_{2} ⟩$ ، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

38) برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي °90، فأثبت أن u · v = 0 باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير
صفريين.