إذا كان: $\mathrm{u}=⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩,\mathrm{v}=⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩,\mathrm{w}=⟨{\mathrm{w}}_1,{\mathrm{w}}_2⟩$ ، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

u · (v + w) = u · v + u · w

$\begin{array}{rl}⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot (⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩+⟨{\mathrm{w}}_1,{\mathrm{w}}_2⟩)\stackrel{?}{=}& ⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩+\\ & ⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{w}}_1,{\mathrm{w}}_2⟩\\ ⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{w}}_1,{\mathrm{v}}_2+{\mathrm{w}}_2⟩\stackrel{?}{=}& ({\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2)+\\ & ({\mathrm{u}}_1{\mathrm{w}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{w}}_2)\\ {\mathrm{u}}_1({\mathrm{v}}_1+{\mathrm{w}}_1)+{\mathrm{u}}_2({\mathrm{v}}_2+{\mathrm{w}}_2)\stackrel{?}{=}& {\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_1{\mathrm{w}}_1+\\ & {\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{w}}_2\\ {\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_1{\mathrm{w}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{w}}_2=& {\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_1{\mathrm{w}}_1+\\ & {\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{w}}_2\end{array}$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

32) تبرير: اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية: إذا كانت | d|, |e|, |f | تمثّل ثلاثية فيثاغورس، وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادثين، فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فسّر تبريرك.

العبارة خاطئة؛ إذ قد تكون نقطة بداية للمتجهات الثلاثة واحدة ولا تشكل هذه المتجهات مثلثاً مطلقاً، إذا كان الأمر كذلك، فإن الزاوية بين المتجهين d و f تكون حادة أو قائمة أو منفرجة.

33) اكتشف الخطأ: يدرس كلٌّ من فهد وفيصل خصائص الضرب الداخلي للمتجهات، فقال فهد: إن الضرب الداخلي للمتجهات
عملية تجميعية؛ لأنها إبدالية؛ أي أن: u·v)·w=u·(v·w) )، ولكن فيصل عارضه، فأيهما كان على صواب؟ وضّح إجابتك.

فيصل؛ u · v عدد ثابت، وعليه فإن (u · v) · w ليس معرفاً؛ لأنه لا يمكن إجراء الضرب الداخلي بين مقدار ثابت ومتجه.

34) اكتب: وضح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين.

إجابة ممكنة: لأي متجهين غير صفريين $⟨c,b⟩,⟨a,d⟩$ يكون الضرب الداخلي لهما يساوي مجموع حاصل ضرب الاحداثيين x والإحداثيين y أو ac + bd.

برهان: إذا كان: $\mathrm{u}=⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩,\mathrm{v}=⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩,\mathrm{w}=⟨{\mathrm{w}}_1,{\mathrm{w}}_2⟩$، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

35) u · v = v · u

$\begin{array}{c}\mathrm{u}\cdot \mathrm{v}=\mathrm{v}\cdot \mathrm{u}\\ ⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩\stackrel{?}{=}⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\\ {\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2\stackrel{?}{=}{\mathrm{v}}_1{\mathrm{u}}_1+{\mathrm{v}}_2{\mathrm{u}}_2\\ {\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2={\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2\end{array}$

36) u · (v + w) = u · v + u · w

$\begin{array}{rl}⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot (⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩+⟨{\mathrm{w}}_1,{\mathrm{w}}_2⟩)\stackrel{?}{=}& ⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩+\\ & ⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{w}}_1,{\mathrm{w}}_2⟩\\ ⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{w}}_1,{\mathrm{v}}_2+{\mathrm{w}}_2⟩\stackrel{?}{=}& ({\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2)+\\ & ({\mathrm{u}}_1{\mathrm{w}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{w}}_2)\\ {\mathrm{u}}_1({\mathrm{v}}_1+{\mathrm{w}}_1)+{\mathrm{u}}_2({\mathrm{v}}_2+{\mathrm{w}}_2)\stackrel{?}{=}& {\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_1{\mathrm{w}}_1+\\ & {\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{w}}_2\\ {\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_1{\mathrm{w}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{w}}_2=& {\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_1{\mathrm{w}}_1+\\ & {\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{w}}_2\end{array}$

37) k(u · v) = ku · v = u · k v

$\begin{array}{c}k(\mathrm{u}\cdot \mathrm{v})=k\mathrm{u}\cdot \mathrm{v}=\mathrm{u}\cdot k\mathrm{v}\\ k(⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩)\stackrel{?}{=}k⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩\stackrel{?}{=}⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot k⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩\\ k({\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2)\stackrel{?}{=}⟨k{\mathrm{u}}_1,k{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨{\mathrm{v}}_1,{\mathrm{v}}_2⟩\stackrel{?}{=}⟨{\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2⟩\cdot ⟨k{\mathrm{v}}_1,k{\mathrm{v}}_2⟩\\ k{\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+k{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2=k{\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+k{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2=k{\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+k{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2\end{array}$

38) برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي °90، فأثبت أن u · v = 0 باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير
صفريين.

الزاوية بين uو v هي $°$θ = 90

$\begin{array}{c}\cos {90}^{\circ }=\frac{u\cdot v}{\left|u\right|\cdot \left|v\right|}\\ \cos {90}^{\circ }=0\\ 0=\frac{u\cdot v}{\left|u\right|\cdot \left|v\right|}\end{array}$

بضرب الطرفين في $\left|\mathrm{u}\right|\cdot \left|\mathrm{v}\right|$

u.v=0