حلول الأسئلة

السؤال

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

الحل

$\begin{aligned} \frac{27}{b} = \frac{15}{28 - b} \\ 756 - 27 b = 15 b \\ 15 b + 27 b = 756 \\ 42 b = 756 \\ b = 18 \end{aligned}$

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

$\begin{aligned} \frac{y}{8} = \frac{30}{28 - 8} \\ 20 y = 30 \times 8 \\ y = \frac{240}{20} \\ y = 12 \end{aligned}$

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تدرب وحل المسائل

أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في كلّ ممَّا يأتي:

6)

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{6}{21} = \frac{8}{x} \\ x = \frac{8 \times 21}{6} \\ x = 28 \end{aligned}$

7)

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{x}{17} = \frac{7 .5}{15} \\ x = \frac{7 .5 \times 17}{15} \\ x = 8 .5 \end{aligned}$

8)

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{21}{x} = \frac{14 + 14}{6 + 6} \\ x = \frac{21 \times 12}{28} \\ x = 9 \end{aligned}$

9)

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{8}{x} = \frac{12}{27} \\ x = \frac{27 \times 8}{12} \\ x = 18 \end{aligned}$

10) طرق: شكل الطريقان المتقاطعان في الشكل أدناه مثلثين متشابهين، إذا كان AC=382ft، MP=248ft، تبعد محطة المحروقات 50ft عن التقاطع، فكم يبعد المصرف عن التقاطع مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة.

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{A C}{M P} = \frac{x}{50} \\ \frac{382}{248} = \frac{x}{50} \\ x = \frac{50 \times 382}{248} = 77 ft \end{aligned}$

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

11)

مثلث

$\begin{aligned} \frac{27}{b} = \frac{15}{28 - b} \\ 756 - 27 b = 15 b \\ 15 b + 27 b = 756 \\ 42 b = 756 \\ b = 18 \end{aligned}$

12)

مثلث

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{y}{8} = \frac{30}{28 - 8} \\ 20 y = 30 \times 8 \\ y = \frac{240}{20} \\ y = 12 \end{aligned}$

13) جبر: إذا كانت $\bar{A B}, \bar{J K}$ ارتفاعين، وكان:

$\begin{array}{r} △ D A C ~ △ M J L, A B = 9 \\ A D = 4 x - 8, J K = 21, J M = 5 x + 3 \end{array}$

فأوجد قيمة x.

مثلثات

$\begin{aligned} \frac{A B}{J K} = \frac{A D}{J M} \\ \frac{9}{21} = \frac{4 x - 8}{5 x + 3} \\ 45 x + 27 = 21 (4 x - 8) \\ 45 x + 27 = 84 x - 168 \\ 84 x - 45 x = 27 + 168 \\ 39 x = 195 \\ x = 5 \end{aligned}$

14) برهان: اكتب برهاناً حراً للنظرية 6.9.

المعطيات:

$△ R T S ~ △ E G F$ ، $\bar{T A}, \bar{G B}$ منصفا زاويتين.

المطلوب:

$\frac{T A}{G B} = \frac{R T}{E G}$

مثلثات

البرهان: بما أن الزوايا المتناظرة في المثلثين المتشابهين تكون متطابقة، فإن:

$∠ R ≅ ∠ E, ∠ R T S ≅ ∠ E G F$

ولأن $∠ R T S, ∠ E G F$ نصفتا، فإن:

$\begin{matrix} 2 (m ∠ R T A) = m ∠ R T S \\ 2 (m ∠ E G B) = m ∠ E G F \end{matrix}$

ولكن: $m ∠ R T S = m ∠ E G F$

$2 (m ∠ R T A) = 2 (m ∠ E G B)$

إذاً $m ∠ R T A = m ∠ E G B$

أي أن: $∠ R T A ≅ ∠ E G B$

وبحسب مسلمة التشابه AA، يكون:

$△ R T A ~ △ E G B$

إذاً $\frac{T A}{G B} = \frac{R T}{E G}$

15) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 6.10.

المعطيات:

$△ A B C ~ △ R S T$

مثلثات

$\bar{D A}$ قطعة متوسطة ل $△ A B C$ .

$\bar{U R}$ قطعة متوسطة ل $△ R S T$ .

المطلوب:

$\frac{A D}{R U} = \frac{A B}{R S}$

البرهان:

البرهان

مثلثات

جبر: أوجد قيمة x في كلّ من السؤالين الآتيين:

16)

مثلث

$\begin{aligned} \frac{24}{18} = \frac{3 x - 1}{2 x + 1} \\ 48 x + 24 = 54 x - 18 \\ 48 x - 54 x = - 18 - 24 \\ - 6 x = - 42 \\ x = 7 \end{aligned}$

17)

مثلث

$\begin{aligned} \frac{8}{10} = \frac{6 x + 2}{9 x - 2} \\ 72 x - 16 = 60 x + 20 \\ 72 x - 60 x = 20 + 16 \\ 12 x = 36 \\ x = 3 \\ x = 7 \end{aligned}$

18) رياضة: تأمَّل المثلث المتشكل من المسارات بين أحمد وعبد الله وخالد في أثناء مباراة كرة قدم كما في الشكل المجاور، إذا ركل أحمد الكرة بمسار ينصف $∠ B$ في $△ C B R$ فأيهما أقرب إلى الكرة؛ عبد الله أم خالد؟ وضح إجابتك.

مثلث

عبد الله؛ إجابة ممكنة: بما أن مسار الكرة ينصف $∠ B$ فإن النسبة بين طولي القطعتين اللتين قسم إليهما الضلع المقابل للزاوية CBR تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

أي: $\frac{C H}{R H} = \frac{B C}{B R}$ وبالتعويض:

$\begin{array}{r} \frac{C H}{R H} = \frac{202}{197} \approx 1.03 \\ \frac{197}{R H} = \frac{202}{C H} \end{array}$

وحيث 197< 202 فإن RH>CH

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ من السؤالين الآتيين.

19) النظرية 6.11

المعطيات: $\bar{C D}$ تنصف $∠ A C B$ .

وبالرسم $\bar{A E} ∥ \bar{C D}$

المطلوب: إثبات أن:

$\frac{A D}{D B} = \frac{A C}{B C}$

مثلث

البرهان:

مثلث

نرسم، ونصل بين E,C.

البرهان

20) المعطيات: $\bar{A S}$ تنصف $∠ H A G$

المطلوب: إثبات أن $\frac{H S}{G S} = \frac{A H}{A G}$

مثلث

المعطيات:

$△ R T S ~ △ E G F$ ، $\bar{T A}, \bar{G B}$ منصفا زاويتين.

المطلوب:

$\frac{T A}{G B} = \frac{R T}{E G}$

مثلثات

البرهان:

بما أن الزوايا المتناظرة في المثلثين المتشابهين تكون متطابقة، فإن:

$∠ R ≅ ∠ E, ∠ R T S ≅ ∠ E G F$ ولأن $∠ R T S, ∠ E G F$ نصفتا فأن:

$\begin{aligned} 2 (m ∠ R T A) = m ∠ R T S \\ ، 2 (m ∠ E G B) = m ∠ E G F \end{aligned}$ ولكن:

$m ∠ R T S = m ∠ E G F$ إذاً:

$m ∠ R T A = m ∠ E G B$ أي أن:

$∠ R T A ≅ ∠ E G B$

وبحسب مسلمة التشابه AA يكون:

$△ R T A ~ △ E G B$ إذاً

$\frac{T A}{G B} = \frac{R T}{E G}$

21) أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفين فيها تساوي 13in، $\bar{A K}$ قطعة متوسطة ل $△ A B C$ . إذا كان $E F = 3 \frac{1}{3} in$ ، فكم يكون BK؟

مثلث

$\begin{array}{r} EF = DE = 3 \frac{1}{2} \\ AB = 13 \times 3 = 39 in \end{array} △ ADE ◻ △ ABK \frac{13}{39} = \frac{3 .5}{BK} BK = \frac{39 \times 3 .5}{13} = 10 .5 in$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

الحل

$\begin{aligned} \frac{27}{b} = \frac{15}{28 - b} \\ 756 - 27 b = 15 b \\ 15 b + 27 b = 756 \\ 42 b = 756 \\ b = 18 \end{aligned}$

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{y}{8} = \frac{30}{28 - 8} \\ 20 y = 30 \times 8 \\ y = \frac{240}{20} \\ y = 12 \end{aligned}$

تدرب وحل المسائل

أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في كلّ ممَّا يأتي:

6)

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{6}{21} = \frac{8}{x} \\ x = \frac{8 \times 21}{6} \\ x = 28 \end{aligned}$

7)

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{x}{17} = \frac{7 .5}{15} \\ x = \frac{7 .5 \times 17}{15} \\ x = 8 .5 \end{aligned}$

8)

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{21}{x} = \frac{14 + 14}{6 + 6} \\ x = \frac{21 \times 12}{28} \\ x = 9 \end{aligned}$

9)

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{8}{x} = \frac{12}{27} \\ x = \frac{27 \times 8}{12} \\ x = 18 \end{aligned}$

10) طرق: شكل الطريقان المتقاطعان في الشكل أدناه مثلثين متشابهين، إذا كان AC=382ft، MP=248ft، تبعد محطة المحروقات 50ft عن التقاطع، فكم يبعد المصرف عن التقاطع مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة.

مثلثات

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{A C}{M P} = \frac{x}{50} \\ \frac{382}{248} = \frac{x}{50} \\ x = \frac{50 \times 382}{248} = 77 ft \end{aligned}$

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

11)

مثلث

$\begin{aligned} \frac{27}{b} = \frac{15}{28 - b} \\ 756 - 27 b = 15 b \\ 15 b + 27 b = 756 \\ 42 b = 756 \\ b = 18 \end{aligned}$

12)

مثلث

المثلثان متشابهان حسب مسلمة AA.

$\begin{aligned} \frac{y}{8} = \frac{30}{28 - 8} \\ 20 y = 30 \times 8 \\ y = \frac{240}{20} \\ y = 12 \end{aligned}$

13) جبر: إذا كانت $\bar{A B}, \bar{J K}$ ارتفاعين، وكان:

$\begin{array}{r} △ D A C ~ △ M J L, A B = 9 \\ A D = 4 x - 8, J K = 21, J M = 5 x + 3 \end{array}$

فأوجد قيمة x.

مثلثات

14) برهان: اكتب برهاناً حراً للنظرية 6.9.

المعطيات:

$△ R T S ~ △ E G F$ ، $\bar{T A}, \bar{G B}$ منصفا زاويتين.

المطلوب:

$\frac{T A}{G B} = \frac{R T}{E G}$

مثلثات

البرهان: بما أن الزوايا المتناظرة في المثلثين المتشابهين تكون متطابقة، فإن:

$∠ R ≅ ∠ E, ∠ R T S ≅ ∠ E G F$

ولأن $∠ R T S, ∠ E G F$ نصفتا، فإن:

$\begin{matrix} 2 (m ∠ R T A) = m ∠ R T S \\ 2 (m ∠ E G B) = m ∠ E G F \end{matrix}$

ولكن: $m ∠ R T S = m ∠ E G F$

$2 (m ∠ R T A) = 2 (m ∠ E G B)$

إذاً $m ∠ R T A = m ∠ E G B$

أي أن: $∠ R T A ≅ ∠ E G B$

وبحسب مسلمة التشابه AA، يكون:

$△ R T A ~ △ E G B$

إذاً $\frac{T A}{G B} = \frac{R T}{E G}$

15) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 6.10.

المعطيات:

$△ A B C ~ △ R S T$

مثلثات

$\bar{D A}$ قطعة متوسطة ل $△ A B C$ .

$\bar{U R}$ قطعة متوسطة ل $△ R S T$ .

المطلوب:

$\frac{A D}{R U} = \frac{A B}{R S}$

البرهان:

البرهان

مثلثات

جبر: أوجد قيمة x في كلّ من السؤالين الآتيين:

16)

مثلث

$\begin{aligned} \frac{24}{18} = \frac{3 x - 1}{2 x + 1} \\ 48 x + 24 = 54 x - 18 \\ 48 x - 54 x = - 18 - 24 \\ - 6 x = - 42 \\ x = 7 \end{aligned}$

17)

مثلث

$\begin{aligned} \frac{8}{10} = \frac{6 x + 2}{9 x - 2} \\ 72 x - 16 = 60 x + 20 \\ 72 x - 60 x = 20 + 16 \\ 12 x = 36 \\ x = 3 \\ x = 7 \end{aligned}$

18) رياضة: تأمَّل المثلث المتشكل من المسارات بين أحمد وعبد الله وخالد في أثناء مباراة كرة قدم كما في الشكل المجاور، إذا ركل أحمد الكرة بمسار ينصف $∠ B$ في $△ C B R$ فأيهما أقرب إلى الكرة؛ عبد الله أم خالد؟ وضح إجابتك.

مثلث

أي: $\frac{C H}{R H} = \frac{B C}{B R}$ وبالتعويض:

$\begin{array}{r} \frac{C H}{R H} = \frac{202}{197} \approx 1.03 \\ \frac{197}{R H} = \frac{202}{C H} \end{array}$

وحيث 197< 202 فإن RH>CH

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ من السؤالين الآتيين.

19) النظرية 6.11

المعطيات: $\bar{C D}$ تنصف $∠ A C B$ .

وبالرسم $\bar{A E} ∥ \bar{C D}$

المطلوب: إثبات أن:

$\frac{A D}{D B} = \frac{A C}{B C}$

مثلث

البرهان:

مثلث

نرسم، ونصل بين E,C.

البرهان

20) المعطيات: $\bar{A S}$ تنصف $∠ H A G$

المطلوب: إثبات أن $\frac{H S}{G S} = \frac{A H}{A G}$

مثلث

المعطيات:

$△ R T S ~ △ E G F$ ، $\bar{T A}, \bar{G B}$ منصفا زاويتين.

المطلوب:

$\frac{T A}{G B} = \frac{R T}{E G}$

مثلثات

البرهان:

بما أن الزوايا المتناظرة في المثلثين المتشابهين تكون متطابقة، فإن:

$∠ R ≅ ∠ E, ∠ R T S ≅ ∠ E G F$ ولأن $∠ R T S, ∠ E G F$ نصفتا فأن:

$\begin{aligned} 2 (m ∠ R T A) = m ∠ R T S \\ ، 2 (m ∠ E G B) = m ∠ E G F \end{aligned}$ ولكن:

$m ∠ R T S = m ∠ E G F$ إذاً:

$m ∠ R T A = m ∠ E G B$ أي أن:

$∠ R T A ≅ ∠ E G B$

وبحسب مسلمة التشابه AA يكون:

$△ R T A ~ △ E G B$ إذاً

$\frac{T A}{G B} = \frac{R T}{E G}$

21) أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفين فيها تساوي 13in، $\bar{A K}$ قطعة متوسطة ل $△ A B C$ . إذا كان $E F = 3 \frac{1}{3} in$ ، فكم يكون BK؟

مثلث

$\begin{array}{r} EF = DE = 3 \frac{1}{2} \\ AB = 13 \times 3 = 39 in \end{array} △ ADE ◻ △ ABK \frac{13}{39} = \frac{3 .5}{BK} BK = \frac{39 \times 3 .5}{13} = 10 .5 in$

حلول الأسئلة

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

مشاركة الحل

تدرب وحل المسائل

أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في كلّ ممَّا يأتي:

6)

7)

8)

9)

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

11)

12)

13) جبر: إذا كانت AB¯,JK¯ارتفاعين، وكان:

فأوجد قيمة x.

14) برهان: اكتب برهاناً حراً للنظرية 6.9.

15) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 6.10.

جبر: أوجد قيمة x في كلّ من السؤالين الآتيين:

16)

17)

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ من السؤالين الآتيين.

19) النظرية 6.11

المعطيات: CD¯ تنصف ∠ACB.

وبالرسم AE¯∥CD¯

المطلوب: إثبات أن:

20) المعطيات: AS¯ تنصف ∠HAG

المطلوب: إثبات أن HSGS=AHAG

21) أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفين فيها تساوي 13in، AK¯ قطعة متوسطة ل △ABC. إذا كان EF=313in، فكم يكون BK؟

مشاركة الدرس

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

تدرب وحل المسائل

أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في كلّ ممَّا يأتي:

6)

7)

8)

9)

أوجد قيمة المتغير في كلّ من السؤالين الآتيين:

11)

12)

13) جبر: إذا كانت AB¯,JK¯ارتفاعين، وكان:

فأوجد قيمة x.

14) برهان: اكتب برهاناً حراً للنظرية 6.9.

15) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 6.10.

جبر: أوجد قيمة x في كلّ من السؤالين الآتيين:

16)

17)

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ من السؤالين الآتيين.

19) النظرية 6.11

المعطيات: CD¯ تنصف ∠ACB.

وبالرسم AE¯∥CD¯

المطلوب: إثبات أن:

20) المعطيات: AS¯ تنصف ∠HAG

المطلوب: إثبات أن HSGS=AHAG

21) أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفين فيها تساوي 13in، AK¯ قطعة متوسطة ل △ABC. إذا كان EF=313in، فكم يكون BK؟

13) جبر: إذا كانت $\bar{A B}, \bar{J K}$ ارتفاعين، وكان:

المعطيات: $\bar{C D}$ تنصف $∠ A C B$ .

وبالرسم $\bar{A E} ∥ \bar{C D}$

20) المعطيات: $\bar{A S}$ تنصف $∠ H A G$

المطلوب: إثبات أن $\frac{H S}{G S} = \frac{A H}{A G}$

21) أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفين فيها تساوي 13in، $\bar{A K}$ قطعة متوسطة ل $△ A B C$ . إذا كان $E F = 3 \frac{1}{3} in$ ، فكم يكون BK؟

13) جبر: إذا كانت $\bar{A B}, \bar{J K}$ ارتفاعين، وكان:

المعطيات: $\bar{C D}$ تنصف $∠ A C B$ .

وبالرسم $\bar{A E} ∥ \bar{C D}$

20) المعطيات: $\bar{A S}$ تنصف $∠ H A G$

المطلوب: إثبات أن $\frac{H S}{G S} = \frac{A H}{A G}$

21) أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفين فيها تساوي 13in، $\bar{A K}$ قطعة متوسطة ل $△ A B C$ . إذا كان $E F = 3 \frac{1}{3} in$ ، فكم يكون BK؟