حل اسئلة تدرب وحل المسائل

حدد ما إذا كانت كل دالة مما يأتي متصلة عند قيمة x المعطاة، وبرر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة فحدد نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة.

1) $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-4}$، عند x=-5.

الدالة معرفة عند x=-5 وتؤول قيم الدالة إلى 3.61 عندما تقترب x من 8 من الجهتين f(8)=3.61 والدالة متصلة عند 8.

2) $f\left(x\right)=\sqrt{x+5}$، عند x=8.

الدالة معرفة عند x=8 وتؤول قيم الدالة إلى 3.61 عندما تقترب x من 8 من الجهتين f(8)=3.61 والدالة متصلة عند 8.

3) $h\left(x\right)=\frac{x^2-36}{x+6}$، عند x=6, x=-6.

الدالة غير متصلة اتصال قابل للإزالة عند x=-b، الدالة معرفة عند x=b تقترب قيم الدالة إلى 0 عندما تقترب x من 0من الجهتين، h(6)=0 الدالة متصلة عند x=6.

4) $g\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$، عند x=1.

الدالة غير متصلة اتصال لا نهائي عند x=1.

5) $h\left(x\right)=\frac{x-4}{x^2-5x+4}$، عند x=4, x=1.

الدالة غير متصلة اتصال قابل للإزالة عند x=4، الدالة غير متصلة قابل للإزالة عند x=4، والدالة غير متصلة اتصال لا نهائي عند x=1، وقيم الدالة تقترب من $x\to 4 \mathrm{عند}\frac{1}{3}$ من الجهتين.

6) $h\left(x\right)=\frac{x^2-6x}{x^3}$، عند x=6, x=0.

الدالة غير متصلة اتصال لا نهائي عند x=0، والدالة معرفة عند x=6 وقيم الدالة تقترب من 0 عند $x\to 6$ من الجهتين، h(6)=0 الدالة متصلة عند 6.

7) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}4x-1,& x\le -6\\ -x+2& ,x>-6\end{array}\right\}$، عند x=-6.

الدالة غير متصلة اتصال قفزي عند x=-6، حيث f(x)=6 تقترب من -25 عندما تقترب x من 6- ومن جهة اليسار وتقترب من 8 عندما تقترب $x\to -6$ من جهة اليمين.

8) فيزياء: غرفتان درجتا حرارتهما مختلفتان يفصل بينهما حائط، تنتقل الحرارة بين الغرفتين عبر الحائط بحسب العلاقة $f\left(w\right)=\frac{7.4}{w}$، حيث تمثل f(w) المعدل الزمني لانتقال الحرارة بالواط، وw سمك الحائط بالمتر.

a) حدد ما إذا كانت الدالة متصلة عند w=0.4، وبرر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال.

الدالة متصلة، التبرير

1) f(0.4)=18.5

2) يتبين من الجدول أن $\underset{x\to 0.4}{lim}f\left(\omega \right)=18.5$

3) f(w) متصلة عند w=0.4 لأن $limf\left(\omega \right)=f\left(0.4\right)=18.5$

b) حدد نقاط عدم الاتصال للدالة (إن وجدت)، وما نوعه؟

يتضح من التمثيل البياني أن الدالة غير متصلة (لا نهائي) عند w=0 لأن الدالة تقترب من قيمتين مختلفتين على يسار ويمين العدد 0.

c) مثل الدالة بيانياً للتحقق مما توصلت إليه في الفرع b.

أعد تعريف كل دالة مما يأتي عند قيمة x المعطاة؛ لتصبح الدالة متصلة عندها:

9) $x=-3,f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x+3}$

$f(-3)=\frac{0}{0}-1$

ابحث عن قيم الدالة عندما تقترب x من 3-

يظهر في الجدول أعلاه أن قيم f(x) تقترب من 6- عندما تقترب x من 3- من الجهتين أي أن $\underset{x\to -3}{lim}f\left(x\right)=-6$

f(x) غير متصلة عند -x=6 لأن f(3-) غير موجودة وبما أن $\underset{x\to -3}{lim}f\left(x\right)$ موجودة فإن عدم الاتصال قابل للإزالة عند x=-3

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\{\frac{x^2-9}{x+3}x\ne -3\\ & -6,x=-3\end{array}$

10) $x=5,f\left(x\right)=\frac{x^2-25}{x-5}$

$f\left(5\right)=\frac{0}{0}$

ابحث عن قيم الدالة عندما تقترب x من 5

يظهر في الجدول أعلاه أن قيم f(x) تقترب من 10 عندما تقترب x من 5 من الجهتين أي أن $\underset{x\to 5}{lim}f\left(x\right)=10$

f(x) غير متصلة عند x=10 لأن f(x) غير موجودة وبما أن $\underset{x\to 5}{lim}f\left(x\right)$ موجودة فإن عدم الاتصال قابل للإزالة عند x=5

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\left\{\frac{x^2-25}{x-5}x\ne 5\right. \\ 10, x=5 \end{gathered}$$

11) $x=\sqrt{2}\cdot f\left(x\right)=\frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}$

$f\left(\sqrt{2}\right)=\frac{0}{0}$

ابحث عن قيم الدالة عندما تقترب x من $\sqrt{2}$.

يظهر في الجدول أعلاه أن قيم f(x) تقترب من 2.8285 عندما تقترب x من $\sqrt{2}$ من الجهتين أي أن $\underset{x\to \sqrt{2}}{lim}f\left(x\right)=2.8285$

f(x) غير متصلة عند x=2.8285 لأن $f\left(\sqrt{2}\right)$ غير موجودة وبما أن $\underset{x\to \sqrt{2}}{lim}f\left(x\right)$ موجودة فإن عمد الاتصال قابل للإزالة عند $\sqrt{2}$

حدد الأعداد الصحيحة المتتالية التي تنحصر بينها الأصفار الحقيقية لكل دالة مما يأتي في الفترة المعطاة:

12) $f\left(x\right)=x^3-x^2-3,[-2,4]$

$f\left(x\right)=x^3-x^2-3$ في الفترة [2,4-]

بما أن f(1) سالبة و f(2) موجبة عندها يوجد صفر للدالة f(x) في الفترة [1,2].

13) $g\left(x\right)=-x^3+6x+2,[-4,4]$

$g\left(x\right)=-x^3+6x+2$ في الفترة [4,4-]

بما أن g(-6) سالبة و g(-2) موجبة عندها يوجد صفر للدالة g(x) في الفترة [-3,2-] وكذلك يوجد صفر للدالة g(x) في الفترة [1,0-] والفترة [2,3].

14) $f\left(x\right)=2x^4-3x^3+x^2-3,[-3,3]$

$f\left(x\right)=2x^4-3x^3+x^2-3$ في الفترة [3,3-]

بما أن f(-1) سالبة و f(0) موجبة عندها يوجد صفر للدالة f(x) في الفترة [1,0-] وكذلك يوجد صفر للدالة f(x) في الفترة [0,1].

15) $h\left(x\right)=\frac{x^2+4}{x-5},[-2,4]$

$h\left(x\right)=\frac{x^2+4}{x-5}$ في الفترة [2,4-]

من الجدول ومن الرسم البياني يتضح أنه لا يوجد أصفار للدالة h(x).

16) $g\left(x\right)=\sqrt{x^3+1}-5,[0,5]$

$g\left(x\right)=\sqrt{x^3+1}-5$ في الفترة [0,5]

بما أن g(2) موجبة و g(3) سالبة عندها يوجد صفر للدالة g(x) في الفترة [2,3]

استعمل التمثيل البياني لكل من الدوال الآتية لوصف سلوك طرفي تمثيلها البياني، ثم عزز إجابتك عدديً.

17)

واضح من الرسم أن $f\left(x\right)\to \mathrm{\infty }$ عندما $x\to \mathrm{\infty }$ وكذلك $f\left(x\right)\to \mathrm{\infty }$ عندما $x\to -\mathrm{\infty }$.

18)

واضح من الرسم البياني أن $f\left(x\right)\to \mathrm{\infty }$ عندما $x\to -\mathrm{\infty }$ وكذلك $f\left(x\right)\to -\mathrm{\infty }$ عندما $x\to -\mathrm{\infty }$.

19)

واضح من الرسم البياني أن $f\left(x\right)\to \mathrm{\infty }$ عندما $x\to \mathrm{\infty }$ وكذلك $f\left(x\right)\to -\mathrm{\infty }$ عندما $x\to -\mathrm{\infty }$

20)

واضح من التمثيل البياني أن $f\left(x\right)\to -4$ عندما $x\to \mathrm{\infty }$ وكذلك $f\left(x\right)\to -4$ عندما $x\to -\mathrm{\infty }$

21)

واضح من التمثيل البياني أن $f\left(x\right)\to \mathrm{\infty }$ عندما $x\to \mathrm{\infty }$ وكذلك $f\left(x\right)\to -\mathrm{\infty }$ عندما $x\to -\mathrm{\infty }$

22)

واضح من التمثيل البياني أن $f\left(x\right)\to -2$ عندما $x\to \mathrm{\infty }$ وكذلك $f\left(x\right)\to -2$ عندما $x\to -\mathrm{\infty }$

23) كيمياء: يعطى معدل التفاعل R في تجربة كيميائية بالدالة $R\left(x\right)=\frac{0.5x}{x+12}$، حيث x تركيز المحلول بالمليجرام لكل لتر.

a) مثل الدالة بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية.

b) صف سلوك طرفي التمثيل البياني، وماذا يعني في التجربة؟ عزز إجابتك عددياً.

يبين سلوك طرفي التمثيل البياني أنه إذا زاد تركيز لعامل المساعد فإن معدل التفاعل الكيميائي يقترب من 0.5

استعمل التبرير المنطقي لتحديد سلوك طرف التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي، عندما يقترب المتغير من ∞، برر إجابتك.

24) $f\left(u\right)=\frac{12}{u}$

عندما $f\left(u\right)\to 0 فإن u\to \mathrm{\infty }$

وعندما $f\left(u\right)\to 0 فإن u\to -\mathrm{\infty }$

25) $q\left(x\right)=-\frac{24}{x}$

• من الرسم البياني عندما $q\left(x\right)\to 0 فإن x\to \mathrm{\infty }$
• وعندما $q\left(x\right)\to 0 فإن x\to -\mathrm{\infty }$

26) $f\left(x\right)=\frac{0.8}{x^2}$

• من الرسم البياني عندما $f\left(x\right)\to 0 فإن x\to \mathrm{\infty }$
• وعندما $f\left(x\right)\to 0 فإن x\to -\mathrm{\infty }$

27) $h\left(r\right)=\frac{-1}{r^2+1}$

• من الرسم البياني عندما $h\left(r\right)\to 0 فإن r\to \mathrm{\infty }$
• وعندما $h\left(r\right)\to 0 فإن r\to -\mathrm{\infty }$

28) فيزياء: تعطى طاقة الحركة لجسم متحرك بالدالة $E\left(m\right)=\frac{p^2}{2m}$، حيث p الزخم (حاصل ضرب كتلة الجسم في سرعته المتجهة)، m كتلة الجسم، إذا وضع رمل في شاحنة متحركة، فماذا سيحدث إذا استمرت m في الازدياد؟

عند تزايد كتلة الجسم تقترب طاقة حركة السيارة من الصفر.

استعمل كلاً من التمثيلين البيانيين الآتيين لتحديد قيمة أو قيم x التي تكون الدالة غير متصلة عندها، وحدد نوع عدم الاتصال، ثم استعمل المنحنى لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني، برر إجابتك.

29)

الدالة غير متصلة عند x=1 اتصال غير نهائي حيث ان الدالة غير معرفة عند x=1

سلوك طرفي الدالة:

من الرسم البياني يتضح أنه عندما $x\to \mathrm{\infty }$ فإن $g\left(x\right)\to -2$ وعندما $g\left(x\right)\to -2 \mathrm{فإن} x\to -\mathrm{\infty }$

30)

الدالة غير متصلة عند x=0 عدم اتصال لانهائي حيث أن الدالة غير معرفة عند x=0

سلوك طرفي الدالة:

من الريم البياني يتضح أنه عندما $x\to \mathrm{\infty }$ فإن $h\left(x\right)\to 0$ وعندما $h\left(x\right)\to 0 \mathrm{فإن} x\to -\mathrm{\infty }$

31) فيزياء: تسمى المسافة بين نقطتين متناظرتين على موجتي ضوء متتاليتين بطول الموجه λ (ويقرأ لامدا)، يسمى عدد الموجات الكاملة التي تمر بنقطة خلال مدة زمنية محددة بالتردد f.

وتصف الدالة $f\left(\lambda \right)=\frac{c}{\lambda }$ العلاقة بين طول الموجة والتردد، حيث c سرعة الضوء ومقدارها $2.99\cdot {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

a) مثل الدالة بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية.

b) استعمل المنحنى لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعزز إجابتك عددياً.

من الرسم البياني يتضح أنه عندما $\lambda \to \mathrm{\infty }$ فإن $f\left(\lambda \right)\to 0$ وعندما $f\left(\lambda \right)\to \mathrm{\infty } \mathrm{فإن} \lambda \to 0$

c) هل الدالة متصلة؟ إذا كان الجواب لا، فعين نقاط عدم الاتصال.

الدالة غير متصلة عند $\lambda =0$

الحاسبة البيانية: مثل كلاً من الدوال الآتية بيانياً، ثم حدد ما إذا كانت متصلة أم لا، وإذا كانت غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال، وحدد نقاطه، ثم صف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعين أصفار الدالة إن وجدت.

32) $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^3-4x^2+x+6}$

الاتصال: الدالة غير متصلة عدم اتصال لا نهائي عند x=-1, x=2 , x=3.

سلوك طرفي الدالة:

$\begin{array}{rl}& x\to \mathrm{\infty } \mathrm{عندما} f\left(x\right)\to 0\\ & x\to -\mathrm{\infty } \mathrm{عندما} f\left(x\right)\to 0\end{array}$

الأصفار: للدالة صفر حقيقي عند x=0

33) $h\left(x\right)=\frac{4x^2+11x-3}{x^2+3x-18}$

الاتصال: الدالة غير متصلة عدم اتصال لا نهائي عند x=-6 , x=3.

سلوك طرفي الدالة:

$\begin{array}{rl}& x\to \mathrm{\infty } \mathrm{عندما} h\left(x\right)\to 4\\ & x\to -\mathrm{\infty } \mathrm{عندما} h\left(x\right)\to 4\end{array}$

الأصفار: للدالة صفر حقيقي عند x=-3,x=0.25.

34) $h\left(x\right)=\frac{x^3-5x^2-26x+120}{x^2+x-12}$

الاتصال: الدالة غير متصلة عدم اتصال لانهائي عند x=-4,x=3

سلوك طرفي الدالة:

$\begin{array}{c}x\to \mathrm{\infty } \mathrm{عندما} h\left(x\right)\to \mathrm{\infty }\\ x\to -\mathrm{\infty } \mathrm{عندما} h\left(x\right)\to -\mathrm{\infty }\end{array}$

الأصفار: للدالة صفر حقيقي عند x=6,x=4, x=-5

الحاسبة البيانية: مثل بيانياً كل من الدوال الآتية وصف سلوك طرفي التمثيل البياني، وعزز إجابتك عددياً.

35) $g\left(x\right)=x^5-20x^4+2x^3-5$

واضح من التمثيل البياني أن $x\to \mathrm{\infty } \mathrm{عندما} g\left(x\right)\to -\mathrm{\infty }$ وكذلك $x\to -\mathrm{\infty } \mathrm{عندما} g\left(x\right)\to -\mathrm{\infty }$

36) $f\left(x\right)=\frac{16x^2}{x^2+15x}$

واضح من التمثيل البياني أن $x\to \mathrm{\infty } \mathrm{عندما} f\left(x\right)\to 16$ وكذلك $x\to -\mathrm{\infty } \mathrm{عندما} f\left(x\right)\to 16$

37) أعمال: بدأ حمد مشروعاً تجارياً صغيراً بالطباعة على القمصان وبيعها، إذا كانت تكلفة الطباعة على القميص الواحد 9 ريالات وتكلفة المعدات اللازمة 12000 ريال، فأجب عما يأتي:

a) اكتب دالة تبين معدل تكلفة الطباعة على القميص الواحد على صورة دالة في عدد القمصان المنتجة n.

$f\left(n\right)=\frac{9n+12000}{n}$

b) استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة.

c) إذا استمر ازدياد عدد القمصان المنتجة بشكل كبير، فكم سيصبح معدل تكلفة الطباعة على القميص الواحد؟

عندما تزيد عدد القمصان بشكل كبير جداً $(n\to \mathrm{\infty })$ فإن تكلفة القميص الواحد تساوي 9 ريالات.

38) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة النهايات، افترض أن $f\left(x\right)=\frac{a{x}^3+b}{c{x}^3+d}$ حيث a وc عددان صحيحان لا يساويان الصفر، و b وd عددان صحيحان.

a) حدولياً: افترض أن c=1 واختر ثلاث مجموعات مختلفة لقيم d, b, a، ثم اكتب الدالة في كل حالة وأكمل الجدول أدناه:

$\begin{array}{rl}& f_1\left(x\right)=\frac{3x^3+2}{x^3+4}\\ & f_2\left(x\right)=\frac{-x^3+5}{x^3+7}\\ & f_1\left(x\right)=\frac{9x^3-6}{x^3+8}\end{array}$

b) جدولياً: اختر ثلاث مجموعات مختلفة من القيم لكل متغير، مجموعة فيها $a>c$ ومجموعة فيها $a<c$ ومجموعة فيها a=c، ثم اكتب كل دالة وكون جدولاً كما في الفرع a.

$f\left(x\right)=\frac{a{x}^3+b}{c{x}^3+d}$

c) تحليلياً: خمن قيمة نهاية الدالة $f\left(x\right)=\frac{a{x}^3+b}{c{x}^3+d}$ عندما تقترب x من $-\infty$ ومن $+\infty$.

نهاية الدالة $f\left(x\right)=\frac{a{x}^3+b}{c{x}^3+d}$ عندما تقترب x من $-\infty$ ومن $+\infty$ تساوي $\frac{a}{c}$