حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة، أو متناقصة، أو ثابتة مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة، ثم عزز إجابتك عددياً.

1)

متزايدة في الفترة $(-\mathrm{\infty },-0.5)$ ومتناقصة في الفترة $(-0.5,1)$، ومتزايدة في الفترة $(1,\mathrm{\infty })$.

2)

متناقصة في الفترة $(-\mathrm{\infty },2.5)$ ومتزايدة في الفترة $(2.5,\mathrm{\infty })$.

3)

متزايدة في الفترة $(-\mathrm{\infty },0)$ ومتزايدة في الفترة $(0,\mathrm{\infty })$.

4)

متزايدة في الفترة $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

5) كرة سلة: يعطى ارتفاع كرة سلة f(t) عن سطح الأرض بالرمية الحرة بالدالة $f\left(t\right)=-64.4t^2+48.3t+5$، حيث t الزمن بالثواني و f(t) الارتفاع بالأقدام.

a) مثل الدالة بيانياً.

b) أوجد قيمة تقريبية لأعلى ارتفاع تصل إليه الكرة، ثم عزز إجابتك عددياً.

أقصى ارتفاع يصل إليه المنحنى 14.06 ft.

قدر قيم x التي يكون لكل من الدوال الآتية عندها قيم قصوى مقربة إلى أقرب 5.0 وحدة، وأوجد قيم الدالة عندها، وبين نوع القيم القصوى، ثم عزز إجابتك عددياً.

6)

يوضح التمثيل البياني أن للدالة f(x) قيمة عظمى محلية ومقدارها 0.25 عند x=0.5، x=-0.5 كما توجد قيمة صغرى محلية عند x=2.5 ومقدارها -9 كما لها قيمة صغرى محلية عند x=0 ومقدارها 0.

7)

يوضح التمثيل البياني أن للدالة f(x) قيمة عظمى محلية ومقدارها 3 عند x=1.5، x=-1.5 كما توجد قيمة صغرى محلية عند x=0 ومقدارها 1-

8)

يوضح التمثيل البياني أن للدالة f(x) قيمة صغرى محلية ومقدارها 58.5- عند x=-2.5 كما توجد قيمة عظمى محلية عند x=2.5 ومقدارها 58.5

9)

يوضح التمثيل البياني أن للدالة f(x) قيمة صغرى محلية ومقدارها 1043- عند x=3.5 كما توجد قيمة صغرى مطلقة عند x=-3.5 ومقدارها 1335- ولها قيمة عظمى محلية عند x=0 ومقدارها 0.

10)

يوضح التمثيل البياني أن للدالة f(x) قيمة صغرى محلية ومقدارها 1- عند x=1، كما توجد قيمة عظمى محلية عند x=2 ومقدارها 0.

11)

يوضح التمثيل البياني أن للدالة f(x) قيمة عظمة محلية ومقدارها 3.5-عند x=1 ولها قيمة عظمى محلية عند x=-1 ومقدارها 4.5 ولها قيمة عظمى مطلقة عند x=4 ومقدارها 22.5.

الحاسبة البيانية: أوجد القيم القصوى المحلية والمطلقة مقربة إلى أقرب جزء من مئة لكل دالة فيما يأتي، وحدد قيم x التي تكون عندها هذه القيم:

12) $g\left(x\right)=-2x^3+7x-5$

للدالة قيمة عظمى محلية عند (0.04, 1.08) وصغرى محلية عند (-10, 1.08-).

13) $f\left(x\right)=x^4-2x^2+5x$

للدالة قيمة صغرى مطلقة عند (-7.08, 1.38-).

14) $f\left(x\right)=-x^5+3x^2+x-1$

للدالة قيمة عظمى محلية عند (2.11, 1.11) وصغرى محلية عند (-1.08, 0.17-).

15) $g\left(x\right)=x^6-4x^4+x$

للدالة قيمة صغرى مطلقة عند (-11.12, 1.64-) وقيمة عظمى محلية عند (0.30, 0.41) وصغرى محلية عند (-7.85, 1.62).

16) $f\left(x\right)=0.008x^5-0.05x^4-0.2x^3+1.2x^2-0.7x$

للدالة قيمة عظمى محلية عند (1.45, 2.49) وصغرى محلية عند (-6.83, 5.90) وقيمة عظمى محلية عند (14.23, 3.72-) وصغرى محلية عند (-0.11, 0.32).

17) $f\left(x\right)=0.025x^5-0.1x^4+0.57x^3+1.2x^2-3.5x-2$

للدالة قيمة عظمى محلية عند (3.43, 1.66-) وصغرى محلية عند (-3.82, 0.93).

18) هندسة: أوجد كلاً من طول نصف قطر الأسطوانة وارتفاعها في الشكل المجاور؛ ليكون حجمها أكبر ما يمكن (قرب إلى أقرب جزء من عشرة).

$\begin{array}{rl}& 2\pi rh+\pi r^2=20.5\pi \\ & \therefore 2rh+r^2=20.5\end{array}$

نصف القطر=2.6 بوصة، الارتفاع= 2.6 بوصة.

أوجد متوسط معدل التغير لكل دالة فيما يأتي في الفترة المعطاة.

19) $g\left(x\right)=3x^2-8x+2,[4,8]$

$\begin{array}{rl}& \frac{g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{g\left(8\right)-g\left(4\right)}{8-4}\\ & =\frac{1474-162}{4}=328\end{array}$

20) $f\left(x\right)=3x^4-2x^2+6x-1,[5,9]$

$\begin{array}{rl}& \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(9\right)-f\left(5\right)}{9-5}\\ & =\frac{19574-1854}{4}=4430\end{array}$

21) $f\left(x\right)=-2x^4-5x^3+4x-6,[-1,5]$

$\begin{array}{rl}& \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(5\right)-f(-1)}{5-(-1)}\\ & =\frac{-1861+7}{6}=-309\end{array}$

22) $h\left(x\right)=-x^5-5x^2+6x-9,[3,6]$

$\begin{array}{rl}& \frac{h\left(x_2\right)-h\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{h\left(6\right)-h\left(3\right)}{6-3}\\ & =\frac{-7929+279}{3}=-2550\end{array}$

23) $f\left(x\right)=\frac{x-3}{x},[5,12]$

$\begin{array}{rl}& \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(12\right)-f\left(5\right)}{12-5}\\ & =\frac{0.75-0.4}{7}=0.05\end{array}$

24) $f\left(x\right)=\sqrt{x+8},[-4,4]$

$\begin{array}{rl}& \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(4\right)-f(-4)}{4-(-4)}\\ & =\frac{3.464-2}{8}=0.183\end{array}$

25) طقس: إذا كان متوسط درجات الحرارة السيليزية لكل شهر في المدينة المنورة في سنة ما معطى بالدالة: $f\left(x\right)=-0.5455x^2+7.09x+21.45$، حيث x تمثل رقم فمثلاً 1 = x ّ تمثل شهر محرم، فأوجد متوسط معدل التغير في كل من الفترتين الآتيتين: وبرر إجابتك.

a) من ربيع الثاني إلى جمادى الأول.

$\begin{array}{rl}& \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(5\right)-f\left(4\right)}{5-4}\\ & =\frac{43.263-41.082}{1}=2.181\end{array}$

b) من رجب إلى شوال.

$\begin{array}{rl}& \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(10\right)-f\left(7\right)}{10-7}\\ & =\frac{37.8-44.351}{3}=-2.18\end{array}$

26) استعمل التمثيل البياني أدناه للإجابة عما يأتي:

a) أوجد متوسط معدل التغير في كل من الفترات $\cdot [5,15],[15,20],[25,45]$

في الفترة [5,15]:

$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(15\right)-f\left(5\right)}{15-5}=5$

في الفترة [15,20]:

$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(20\right)-f\left(15\right)}{20-15}=3$

في الفترة [25,45]:

$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{f\left(45\right)-f\left(25\right)}{45-25}=0.5$

b) قارن بين سرعات الجسم في هذه الفترات الزمنية.

تتزايد سرعة الجسم أو يتسارع الجسم في الفترات الثلاث، وأكبر معدل لتسارع الجسم في الفترة [5,15] ويقل التسارع في الفترة [25,45] لكن سرعة الجسم تظل في تزايد.

27) تكنلوجيا: تبين لفريق بحث في إحدى شركات الحاسوب أن الربح الذي تكسبه الشركة من بيع منتج جديد من الشرائح الإلكترونية يعطى بالدالة $P\left(x\right)=-x^3+5x^2+8x$، حيث x ثمن بيع الشريحة الواحدة بمئات الريالات $.0\le x\le 6$

a) مثل الدالة بيانياً.

b) أوجد أفضل سعر للشريحة الواحدة والذي يعطي أكبر ربح.

400 ريال.

c) أوجد ربح الشريحة الواحدة عند بيعها بالسعر الأفضل.

48 ريال.

28) دخل: افترض أن الدخل السنوي (بالريال) لشخص منذ عام 1430ه وحتى عام 1440 هـ يعطى بالدالة: $I\left(x\right)=-1.465x^5+35.51x^4-277.99x^3+741.06x^2+847.8x+25362,0\le x\le 10$ حيث x رقم السنة.

a) مثل الدالة بيانياً.

b) أوجد متوسط معدل تغير الدخل من عام 1433 إلى عام 1440 هـ، وماذا تعني قيمة متوسط معدل التغير في هذه الفترة؟

$\begin{array}{rl}& \frac{I\left(x_2\right)-I\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{I\left(10\right)-I\left(3\right)}{10-3}\\ & =\frac{38556-29590}{7}=1280.9\end{array}$

c) حدد السنوات الأربع التي يكون فيها متوسط معدل التغير أكبر ما يمكن، والسنوات الأربع التي يكون فيها أقل ما يمكن.

متوسط التغير أقل ما يمكن في الفترة من عام 1420 إلى عام 1424 ويساوي 826.4 ريال، ويكون أعلى ما يمكن في الفترة من عام 1423 إلى عام 1427 ويساوي 1711.44 ريال.

29) صندوق: يرغب سالم في عمل صندوق مغلق من الكرتون حجمه 3024 قدماً مكعبة، إذا كانت قاعدة الصندوق مربعة الشكل، فأوجد أبعاده التي تجعل مساحة سطحه أقل ما يمكن، وضح إجابتك.

الحجم=3024

$\begin{array}{rl}& \therefore \ell \omega h=3024,\because \ell =\omega \\ & \therefore {\omega }^{2}h=3024,\therefore h=\frac{3024}{{\omega }^2}\end{array}$

مساحة السطح=

$f\left(\omega \right)=2{\omega }^2+4\omega h=2{\omega }^2+\frac{12096}{\omega }$

الأبعاد التي تجعل مساحة السطح أقل ما يمكن هي $\ell =\omega =h=14.5\mathrm{ft}$ والقيمة الصغرى المطلقة عند w=14.5ft

مثل بيانياً الدالة f(x) في كل حالة مما يأتي:

30) f(x) متصلة ومتزايدة.

31) f(x) متصلة ومتناقصة.

32) f(x) متصلة ومتزايدة، $f\left(x\right)>0$ لجميع قيم x.

33) f(x) متصلة ومتناقصة، $f\left(x\right)>0$ لجميع قيم x.

34) f(x) متصلة، ومتزايدة لجميع قيم $x<-2$ ومتناقصة لجميع قيم $x>-2$.

35) f(x) متصلة، ومتناقصة لجميع قيم $x<0$ ومتزايدة لجميع قيم $x>0$.

الحاسبة البيانية: حدد إحداثيي النقطة التي يكون عندها لكل دالة مما يأتي قيمة قصوى مطلقة إن وجدت، وبين نوعها.

36) $f\left(x\right)=2(x-3{)}^2+5$

النقطة (3,5) صغرى مطلقة.

37) $f\left(x\right)=-0.5(x+5{)}^2-1$

النقطة (-5,1-) عظمى مطلقة.

38) $f\left(x\right)=-4|x-22|+65$

النقطة (22,25) عظمى مطلقة.

39) $f\left(x\right)={(36-x^2)}^{0.5}$

النقطة (0,6) عظمى مطلقة.

40) $f\left(x\right)=x^3+x$

لا يوجد قيم قصوى مطلقة.

41) سفر: قام عبد الله بتسجيل المسافة الكلية التي قطعها في إحدى الرحلات ومثلها بيانياً، أعط أسباباً توضح اختلاف متوسط معدل التغير، ولماذا يكون ثابتاً في فترتين؟

من أسباب الاختلاف في متوسط التغير هو أن ما قد واجه عبد الله إشارات ضوئية في أثناء سيره مما أدى إلى نقص في معدل المسافة المقطوعة، وسبب آخر هو أنه قد يكون سلك بعض الطرق المختصرة في بعض الأوقات، ويكون المعدل ثابتاً في بعض الفترات نتيجة أنه لم يواجه أي إشارات ضوئية في أثناء سيره أو أنه سلك طريقاً سريعاً.