حل أسئلة تحقق من فهمك

أوجد $(f+g)\left(x\right),(f-g)\left(x\right),(f\circ g)\left(x\right),\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)$ في كل مما يأتي، ثم أوجد مجال كل دالة من الدوال الناتجة.

1A) $f\left(x\right)=x-4,g\left(x\right)=\sqrt{9-x^2}$

$(f+g)\left(x\right)=x-4+\sqrt{9-x^2}$

مجال الدالة f(x) هو $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ ومجال الدالة g(x) هو [3,3-] لذا فإن مجال (f+g) هو تقاطع المجالين وهو [3,3-]

$(f-g)\left(x\right)=x-4-\sqrt{9-x^2}$ المجال [3,3-]

$(f○g)\left(x\right)=x\sqrt{9-x^2}-4\sqrt{9-x^2}$ المجال [3,3-]

$(f/g)\left(x\right)=\frac{x-4}{\sqrt{9-x^2}}$ المجال (3,3-)

1B) $f\left(x\right)=x^2-6x-8,g\left(x\right)=\sqrt{x}$

$(f+g)\left(x\right)=x^2-6x+\sqrt{x}$

مجال الدالة f(x) هو $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ ومجال الدالة g(x) هو $[0,\mathrm{\infty })$ لذا فإن مجال (f+g) هو تقاطع المجالين وهو $[0,\mathrm{\infty })$

$(f-g)\left(x\right)=x^2-6x-\sqrt{x}$ المجال: $[0,\mathrm{\infty })$

$(f○g)\left(x\right)=x^2\sqrt{x}-6x\sqrt{x}$ المجال: $[0,\mathrm{\infty })$

$(f/g)\left(x\right)=\frac{x^2-6x}{\sqrt{x}}$ المجال: $(0,\mathrm{\infty })$

أوجد $[f\circ g]\left(x\right),[g\circ f]\left(x\right),[f\circ g]\left(3\right)$ في كل مما يأتي:

2A) $f\left(x\right)=3x+1,g\left(x\right)=5-x^2$

$\begin{array}{rl}& [f\circ g]\left(x\right)=f(5-x^2)=3(5-x^2)+1=15-3x^2+1=16-3x^2\\ & [g\circ f]\left(x\right)=g(3x+1)=5-(3x+1{)}^2=5-9x^2-6x-1=6-9x^2-6x\\ & [f\circ g]\left(3\right)=16-3(3{)}^2=16-27=-11\end{array}$

2B) $f\left(x\right)=6x^2-4,g\left(x\right)=x+2$

$\begin{array}{rl}& [f\circ g]\left(x\right)=f(x+2)=6(x+2{)}^2-4=6(x^2+4x+4)-4=6x^2+24x+20\\ & [g\circ f]\left(x\right)=g(6x^2-4)=(6x^2-4)+2=6x^2-2\\ & [f\circ g]\left(3\right)=6(3{)}^2+24(3)+20=54+72+20=146\end{array}$

حدد مجال الدالة $f\circ g$ متضمناً القيود الضرورية ثم أوجد $f\circ g$ في كل من الحالتين الآتيتين:

3A) $f\left(x\right)=\sqrt{x+1},g\left(x\right)=x^2-1$

$[f\circ g]\left(x\right)=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1+1}=x$

المجال: $\{x\mid x\in R\}$

3B) $f\left(x\right)=\frac{5}{x},g\left(x\right)=x^2+x$

$[f\circ g]\left(x\right)=f(x^2+x)=\frac{5}{x^2+x}$

المجال: $\{x\mid x\ne 0,x\ne 1,x\in R\}$

4A) $h\left(x\right)=x^2-2x+1$

$\begin{array}{r}h\left(x\right)=(x-1)(x-1)=(x-1{)}^2\\ f\left(x\right)=x^2\cdot g\left(x\right)=x-1\end{array}$

4B) $h\left(x\right)=\frac{1}{x+7}$

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}\cdot g\left(x\right)=x+7$

5) أعمال: أعلن محل تجاري عن خصم مقداره %15 على ثمن أجهزة الحاسوب لطلاب الجامعات، كما وزع قسائم يستفيد حاملها بخصم مقداره 100 ريال من ثمن الحاسوب.

5A) عبر عن هذه البيانات بدالتين c و d.

$\begin{array}{rl}& c\left(x\right)=x-100\\ & d\left(x\right)=0.85x\end{array}$

5B) أوجد $[d\circ c]\left(x\right),[c\circ d]\left(x\right)$. وماذا يعني كل منهما؟

$[c\circ d]\left(x\right)=0.85x-100$ تمثل سعر الحاسوب بالاستفادة أولاً من الخصم.

$[d\circ c]\left(x\right)=0.85x-85$ تمثل سعر الحاسوب بالاستفادة أولاً من القيمة.

5C) أي التركيبين d ◦ c أو c ◦ d يعطي سعراً أقل؟ وضح إجابتك.

الاستفادة من الخصم أولاً ثم القيمة $[c\circ d]\left(x\right)$ يجعل السعر أقل.