حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد إذا كانت كل عبارة فيما يأتي كثيرة حدود أم لا، وإذا كانت كذلك فصنفها إلى وحيدة حد، أو ثنائية حد، أو ثلاثية حدود:

١٦) $\frac{\mathrm{٥} {ص}^{\mathrm{٣}}}{{س}^{\mathrm{٢}}}$ + ٤س

لا، تحتوي على متغير في المقام.

١٧) ٢١

نعم، وحيد حد.

١٨) جـ^٤ -٢جـ^٢ +١

نعم، ثلاثية حدود.

١٩) د + ٣د^-جـ

لا، الأس متغير.

٢٠) أ - أ^٢

نعم، ثنائية حد.

٢١) ٥ ن^٣ + ن ك^٣

نعم، ثنائية حد.

أوجد درجة كثيرة الحدود فيما يأتي:

٢٢) ١٣ - ٤أ ب + ٥ أ^٣ ب

• درجة الحد ٤أ ب = ٢
• درجة الحد ٥ أ^٣ ب = ٤
• درجة الحد ١٣ = ٠
• درجة كثيرة الحدود = ٤

٢٣) ٣س - ٨

• درجة الحد ٣س = ١
• درجة الحد ٨ = ٠
• درجة كثيرة الحدود = ١

٢٤) -٤

• درجة الحد -٤ = صفر.

٢٥) ١٧ جـ^٢ هـ

• درجة الحد ٢ + ١ = ٣

٢٦) ١٠ + ٢جـ د^٤ -٦ د^٢ جـ

• درجة الحد ٢جـ د^٤ = ١ + ٤ = ٥
• درجة الحد ٦ د^٢ جـ = ٢ + ١= ٣
• درجة الحد ١٠ = ٠
• درجة كثيرة الحدود = ٥

٢٧) ٢ع^٢ ص^٢ -٧ + ٥ ص^٣ ن^٤

• درجة الحد ٢ع^٢ ص^٢ = ٢ + ٢ = ٤
• درجة الحد ٥ ص^٣ ن^٤ = ٣ + ٤ = ٧
• درجة الحد -٧ = ٠
• درجة كثيرة الحدود = ٧

اكتب كل كثيرة حدود فيما يأتي بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس فيها:

٢٨) ٥س^٢ -٢ +٣س

٥س^٢ +٣س -٢ اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجتها.

المعامل الرئيس = ٥

٢٩) ٨ ص + ٧ص^٣

+ ٧ص^٣ + ٨ص اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجتها.

المعامل الرئيس = ٧

٣٠) ٤ -٣ جـ -٥جـ^٢

-٥جـ^٢ -٣ جـ + ٤ اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجتها.

المعامل الرئيس = -٥

٣١) -٤ د^٤ + ١ -د^٢

-٤ د^٤ -د^٢ -٤ اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجتها.

المعامل الرئيس = -٣

٣٢) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ س -٣س^٤ +٧

-٣س^٤ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ س + ٧ اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجتها.

المعامل الرئيس = -٣

٣٣) -٩ب^٢ + ١٠ ب - ب^٦

- ب^٦ -٩ب^٢ + ١٠ ب اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجتها.

المعامل الرئيس = -١

٣٤) ألعاب نارية: أطلق صاروخ ألعاب نارية من ارتفاع ١م من الأرض وبسرعة ١٥٠ م/ث، ويمكن تمثيل ارتفاع الصاروخ ع بعد ن ثانية بالمعادلة ع = ٥ ن^٢ + ٥٠ ن + ١

‌أ) ما الارتفاع الذي يصله الصاروخ بعد ٣ ثوان؟

ع = -٥ن + ٥٠ ن + ١ (بالتعويض ن = ٣).

ع = -٥(٣)^٢ + ٥٠ (٣) + ١

ع = ١٠٦ م

ب) ما الارتفاع الذي يصله بعد ٥ ثوان؟

ع = -٥ن + ٥٠ ن + ١ (بالتعويض ن = ٣).

ع = -٥(٥)^٢ + ٥٠(٥) + ١

ع = ١٢٦ م

٣٥) مشروع: يصمم طارق وعمر هيكل صاروخ، بحيث يكون الجزء العلوي منه على شكل مخروط، وجسمه على شكل أسطوانة نصف قطرها نق، كما في الشكل المجاور، إذا علمت أن حجم المخروط يساوي $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط × مربع نصف القطر (نق) × الارتفاع (ع)، وحجم الأسطوانة يساوي ط × مربع نصف القطر (نق) × الارتفاع (ع).

أ) اكتب كثيرة حدود تمثل حجم الصاروخ.

حجم الصاروخ = حجم المخروط +حجم الأسطوانة.

حجم الصاروخ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق^٢ ع١ + ط نق^٢ ع٢

ب) إذا كان ارتفاع جسم الصاروخ ٨ سم، ارتفاع الجزء العلوي منه ٦ سم، ونصف قطر القاعدة ٣ سم، فما حجم الصاروخ؟

حجم الصاروخ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ (^٢٣ ) × ٦ + ط (^٢٣ ) × ٨ = ١٨ ط + ٧٢ ط = ٩٠ط ≈ ٢٨٢,٦ سم^٣

٣٦) تحد: إذا كان س عدداً صحيحاً، فاكتب حدود تمثل العدد الصحيح الفردي، وفسر ذلك.

٢س + ١ حيث س عدد صحيح.

٣٧) تبرير: وضح إذا كانت العبارة: "يمكن أن تكون درجة ثنائية الحد صفراً" صحيحة دائماً، أم صحيحة أحياناً، أم غير صحيحة أبداً؟ فسر إجابتك.

غير صحيحة أبداً يجب أن تحوي ثنائية الحد على حد تمون درجته على الأقل ١.

٣٨) مسألة مفتوحة: اكتب مثالاً على ثلاثية حدود تكعيبية.

س^٣ - س^٢ +١

٣٩) اكتب: فسر كيف تكتب كثيرة حدود على الصورة القياسية، وكيف تحدد المعامل الرئيس فيها؟

أوجد درجة كل حد أولاً ثم رتب الحدود تنازلياً بحسب درجاتها فيكون المعامل الرئيس دائماً معامل أول حد وهو الحد الذي له أعلى درجة.

٤٠) إجابة قصيرة: إذا كان لديك بطاقة تخفيض بقيمة ٨ ريالات من أحد المتاجر، واشتريت أرزاً بـ ٥٩,٩٥ ريالاً، وعلبة جبن بـ ١٥،٩٥ ريالاً، فكم تدفع مقابل ذلك؟

ثمن ما اشترته = ٥٩,٩٥ + ١٥,٩٥ = ٧٥,٩

ما دفعته بعد الخصم = ٧٥,٩ - ٨ = ٦٧,٩ ريالاً

٤١) ما قيمة ص التي تحقق نظام المعادلات أدناه؟

٢س + ص = ١٩، ٤س -٦ ص = -٢

أ) ٥

ب) ٨

جـ) ٧

د) ١٠

المعادلة الأولى:

ص = ١٩ - ١٢س

إذن ٤س -٦(١٩-٢س) = -٢

المعادلة الثانية:

٤س - ١١٤ + ١٢س = -٢

١٦س = ١١٢

س = $\frac{\mathrm{١١٢}}{\mathrm{١٦}}$ = ٧ وبالتعويض عن س = ٧

نجد أن ص = ١٩ - ٢ × ٧ = ١٩ - ١٤ = ٥