حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

26) تحدٍ: الوتر $\overline{AB}$ المشترك بين $\odot P,\odot Q$ يعامد القطعة المستقيمة الواصلة بين مركزي هاتين الدائرتين، إذا كان AB=1، فما طول $\overline{PQ}$؟ وضح ذلك.

17.3 تقريباً، P و Q تبعدان مسافات متساوية عن نقطتي طرفي $\overline{AB}$، إذن كلاهما واقعة على العمود المنصف للقطعة المستقيمة $\overline{AB}$لذلك نجد أن $\overline{PQ}$ هي العمود المنصف للقطعة المستقيمة $\overline{AB}$ لذا فإن طول كل جزء من القطعة المستقيمة $\overline{AB}$ يساوي 5.

بما أن PS عمودي على الوتر $\overline{AB}$، حيث S نقطة تقاطع $\overline{PQ},\overline{AB}$، إذا $\mathrm{\angle }PSA$ قائمة، و $\mathrm{△}PSA$ قائم الزاوية، وبتطبيق نظرية فيثاغورس:

$\begin{array}{rl}& PS=\sqrt{(PA{)}^2-(AS{)}^2},\\ & PS=\sqrt{{11}^2-5^2}=\sqrt{96}\end{array}$

وبالطريقة نفسها $\mathrm{△}ASQ$ قائم الزاوية فيه: $SQ=\sqrt{(AQ{)}^2-(AS{)}^2}=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{56}$، وبما أن: PQ = PS + SQ، إذاً $PQ=\sqrt{96}+\sqrt{56}$ أو 17.3 تقريباً.

27) تبرير: $\overline{AB}$ قطر في الدائرة، و $\stackrel{⏜}{AH}$ وتر يتقاطع مع $\overline{AB}$ في النقطة X، فهل العبارة HX = GX صحيحة دائماً، أم أحياناً، أم غير صحيحة أبداً؟

صحيحة أحياناً؛ إذا كان القطر عمودياً على الوتر فإنه ينصفه.

28) تحدٍ: الإنشاء الهندسي أدناه يوضح طريقة تعيين مركز دائرة معطاة.

الخطوة 1: ارسم الوتر $\overline{AB}$، وأنشئ العمود المنتصف للوتر $\overline{AB}$ وسمه $\overline{CD}$.

الخطوة 2: أنشئ العمود المنصف للوتر $\overline{CD}$ وسمه $\overline{FG}$، سم نقطة تقاطع العمودين O.

a) استعمل البرهان غير المباشر لإثبات أن $\overline{CD}$ يمر بمركز الدائرة، مفترضاً أن مركز الدائرة لا يقع على $\overline{CD}$.

المعطيات:

$\overline{CD}$ عمود منصف للوتر $\overline{AB}$ في $\odot X$.

المطلوب:

$\overline{CD}$ يمر بالنقطة X.

البرهان:

افترض أن X لاتقع على $\overline{CD}$.

ارسم $\overline{XE}$ وأنصاف الأقطار $\overline{XA},\overline{XB}$.

بما أن $\overline{CD}$هو العمود المنصف ل $\overline{AB}$ و E نقطة منتصف $\overline{AB}$ فإن: $\overline{EB}\cong \overline{AE}$ وكذلك $\overline{XA}\cong \overline{XB}$ لأن جميع أنصاف أقطار الدائرة متطابقة.

$\overline{XE}\cong \overline{XE}$ خاصية الإنعكاس لذا $\mathrm{△}AXE\cong \mathrm{△}BXE$، ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة، فإن $\mathrm{\angle }XEA\cong \mathrm{\angle }XEB$، وبما أن $\mathrm{\angle }XEA,\mathrm{\angle }XEB$ متجاورتان متطابقتان تكوّنان $\mathrm{\angle }AEB$، فإن $\overline{XE}\perp \overline{AB}$، لذا فإن $\overline{XE}$ عمود منصف ل $\overline{AB}$ لكن $\overline{CD}$ هو العمود المنصف للقطعة المستقيمة $\overline{AB}$، وهذا يناقض كون العمود المنصف للقطعة المستقيمة وحيداً؛ لذا فالفرض خطأ، والمركز X والمركز X يجب أن يقع على $\overline{CD}$.

b) أثبت أن O هي مركز الدائرة.

المعطيات:

في $\odot X$، تقع X على $\overline{CD}$.

المطلوب:

O هي النقطة X.

البرهان:

بما أن النقطة X تقع على $\overline{CD}$ و D,C تقعان على $\odot X$، فإن $\overline{CD}$ قطر للدائرة $\odot X$، وبما أن $\overline{FG}$ ينصف $\overline{CD}$ عند O، فإن O نقطة منتصف $\overline{CD}$، وبما أن نقطة منتصف القطر هي مركز الدائرة، فإن O هي مركز الدائرة، لذا فالنقطة O هي النقطة X.

29) اكتب: إذا أصبح قياس قوس في دائرة ثلاثة أمثال قياسه الأصلي، فهل يصبح طول الوتر المقابل لهذا القوس الجديد ثلاثة أمثال طول الوتر المقابل للقوس الأصلي؟ ارسم شكلاً يؤيّد استنتاجك.

لا؛ إجابة ممكنة: في دائرة نصف قطرها 12، القوس الذي قياسه° 60 يقابل وتراً طوله 1، إذا أصبح قياس القوس ثلاثة أمثال قياس القوس الأصلي؛ أي أصبح ° 180، فإن طول الوتر يساوي 24؛ لأنه أصبح قطراً، وهذا لا يساوي ثلاثة أمثال 12.

30) إذا كان: CW=WF , ED =30، فأوجد DF.

• 60
• 45
• 30
• 15

31) في $\odot O$، $\overline{AB}$ قطر عمودي على الوتر $\overline{CD}$، ويقطعه في النقطة E، إذا كان AE = 2 ،OB =10، فما طول $\overline{CD}$؟

• 4
• 6
• 8
• 12