حل أسئلة تدرب وحل المسائل

صف خصائص كل دالة من الدوال الرئيسة (الأم) الآتية: المجال، والمدى، والمقطع x، والمقطع y، والتماثل، والاتصال، وسلوك طرفي التمثيل البياني، وفترات التزايد والتناقص:

1) f(x)=[x]

• مجال الدالة: $\{x\mid x\in R\}$
• مدى الدالة: $\{y\mid y\in Z\}$
• يقطع المنحنى المحور y عند (0,0)
• يقطع المنحنى المحور x عند $0\le x<1$
• لا يوجد تماثل للدالة، وليست فردية وليست زوجية.
• للدالة عدم اتصال قفزي عند $\{x\mid x\in Z\}$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty } \mathrm{و} \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$
• الدالة ثابته عند $\{x\mid x\notin Z\}$ ومتزايدة عند $\{x\mid x\in Z\}$

2) f(x)=$\frac{1}{x}$

• مجال الدالة: $\{x\mid x\ne 0,x\in R\}$.
• مدى الدالة: $\{y\mid y\ne 0,y\in R\}$.
• المنحنى لا يقطع أي من المحورين.
• الدالة فردية، والمنحنى متماثل حول نقطة الأصل.
• للدالة عدم اتصال لا نهائي عند x=0.
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=0$
• الدالة متناقصة في $\{x\mid x\ne 0,x\in R\}$.

3) f(x)=x³

• ^{المجال: $\{x\mid x\in R\}$}
• ^{المدى: $\{y\mid y\in R\}$}
• ^{للمنحنى مقطع واحد عند (0,0).}
• الدالة فردية، والمنحنى متماثل حول نقطة الأصل.
• المنحنى متصل عند جميع قيم المجال.
• المنحنى متزايد عند جميع قيم المجال.

4) f(x)=x²

• مجال الدالة: $\{x\mid x\in R\}$.
• مدى الدالة: $\{y\mid y\ge 0,y\in R\}$.
• المنحنى يقطع المحور x والمحور y عند (0,0).
• الدالة زوجية، والمنحنى متماثل حول المحور y.
• المنحنى متصل عند جميع قيم المجال، $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$
• المنحنى متزايد في الفترة $(0,\mathrm{\infty })$ ومتناقص في الفترة $(-\mathrm{\infty },0)$.

5) f(x)=c

• مجال الدالة: $\{x\mid x\in R\}$.
• مدى الدالة: $\{y\mid y=c,c\in R\}$.
• المنحنى يقطع المحور y عند (0,0).
• المنحنى يقطع المحور x في عدد لانهائي من النقاط عندما c=0.
• المنحنى لا يقطع المحور x عندما c لا يساوي 0.
• الدالة زوجية والمنحنى متماثل حول المحور y.
• المنحنى متصل عند جميع قيم المجال، $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=c\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=c$
• الدالة ثابتة على الفترة $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

6) f(x)=x

• مجال الدالة: $\{x\mid x\in R\}$.
• مدى الدالة: $\{y\mid y,y\in R\}$.
• المنحنى يقطع المحور x والمحور y عند (0,0).
• الدالة فردية والمنحنى متماثل حول نقطة الأصل.
• المنحنى متصل عند جميع قيم المجال، $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$
• المنحنى متزايد على الفترة $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

استعمل منحنى الدالة الرئيسة (الأم) $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ لتمثيل كل دالة من الدالتين الآتيتين:

7) $g\left(x\right)=\sqrt{x-4}$

8) $g\left(x\right)=\sqrt{x-7}+3$

استعمل منحنى الدالة الرئيسة (الأم) $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ لتمثيل كل دالة من الدالتين الآتيتين:

9) $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+4$

10) $g\left(x\right)=\frac{1}{x+7}-4$

صف العلاقة بين منحنيي $g\left(x\right),f\left(x\right)=\left[x\right]$ في كل من الحالتين الآتيتين، ثم اكتب معادلة الدالة g(x).

11)

منحنى g(x) عبارة عن منحنى f(x) تحت تأثير انسحاب مقداره ثلاث وحدات إلى اليسار |g(x)=|x+3

12)

منحنى g(x) عبارة عن منحنى f(x) بانعكاس حول محور x، يتبعه انسحاب مقداره أربع وحدات إلى الأعلى |g(x)=|-x+4.

صف العلاقة بين منحنيي $g\left(x\right),f\left(x\right)=\left[x\right]$ في كل من الحالتين الآتيتين، ثم اكتب معادلة الدالة g(x).

13)

منحنى g(x) عبارة عن منحنى f(x) بانعكاس بانسحاب مقداره 8 وحدات إلى اليمين |g(x)=|x-8

14)

منحنى g(x) عبارة عن منحنى f(x) تحت تأثير انسحاب مقداره ثلاث وحداة إلى اليمين ووحدتان إلى الأسفل $g\left(x\right)=|x-1|-2$

اكتب الدالة الرئيسة (الأم) f(x) للدالة g(x) في كل مما يأتي، وصف العلاقة بين المنحنيين، ومثلهما في مستوى إحداثي واحد.

15) $g\left(x\right)=3\left|x\right|-4$

$f\left(x\right)=\left|x\right|$، منحنى g(x) هو توسع رأسي بانسحاب أربع وحدات إلى الأسفل للدالة f(x)

16) $g\left(x\right)=3\sqrt{x+8}$

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$، منحنى g(x) هو توسع رأسي بانسحاب ثمان وحدات إلى اليسار للدالة f(x)

17) $g\left(x\right)=\frac{4}{x+1}$

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$، منحنى g(x) هو توسع رأسي بانسحاب وحدة واحدة إلى اليسار للدالة f(x)

18) $g\left(x\right)=2[x-6]$

$f\left(x\right)=\left|x\right|$، منحنى g(x) هو توسع رأسي بانسحاب ست وحدات إلى اليمين للدالة f(x)

19) $g\left(x\right)=\frac{1}{6x}+7$

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$، منحنى g(x) هو تضييق رأسي يتبعه انسحاب سبع وحدات إلى الأعلى للدالة f(x)

20) $g\left(x\right)=\frac{\sqrt{x+3}}{4}$

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$، منحنى g(x) هو تضييق رأسي يتبعه انسحاب ثلاث وحدات إلى اليسار للدالة f(x)

مثل منحنى كل من الدوال الآتية بيانياً:

21) $f\left(x\right)= \left\{\begin{array}{rl}-x^2,& x<-2\\ 3,& -2\le x<7\\ (x-5{)}^2+2,& x\ge 7\end{array}\right\}$

22) $g\left(x\right)= \left\{\begin{array}{ll}x+4& ,x<-6\\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}& ,-6\le x<4\\ 6& ,x\ge 4\end{array}\right\}$

23) $h\left(x\right)= \left\{\begin{array}{rl}|x-5|& ,x<-3\\ 4x-3& ,-1\le x<3\\ \sqrt{x},& x\ge 4\end{array}\right\}$

24) $g\left(x\right)= \left\{\begin{array}{rl}2,& x<-4\\ x^4-3x^3+5,& -1\le x<1\\ \left[x\right]+1,& x\ge 3\end{array}\right\}$

25) أسعار: يبين الجدول أدناه سعر سلعة منذ عام 1411هـ حتى 1431ه، استعمل هذه البيانات لتمثيل دالة درجية.

26) أعمال: قدمت إحدى شركات الهواتف المحمولة عرضاً لمشتركي شبكتها بحيث يدفع المشترك مبلغاً ثابتا شهرياً مقداره 20 ريالاً، ويدفع 0.2 ريال مقابل كل دقيقة اتصال، إن تكلفة هذا العرض تعطى بالدالة $c\left(x\right)=20+0.2\left[x\right]$ حيث x عدد دقائق الاتصال.

a) صف التحويلات الهندسية التي تطبق على الدالة الرئيسة (الأم) f(x)=[x] لتمثيل الدالة c(x).

منحنى c(x) هو تضييق رأسي يتبعه انسحاب عشرون وحدة إلى أعلى الدالة f(x).

b) إذا قدمت الشركة عرضاً آخر بحيث يدفع المشترك فيه 30 ريالاً شهرياً ويدفع 0.1 ريال عن كل دقيقة اتصال، فاكتب الدالة التي تصف تكلفة هذا العرض.

c(x)=30+0.1[x]

c) هل يمكن أن تتساوى التكلفة في العرضين؟ وكم يكون عدد دقائق الاتصال في هذه الحالة؟

نعم، بعد 100 دقيقة.

27) فيزياء: إذا علمت أن الطاقة المختزنة في نابض ما، تعطى بالدالة E(x)=4x² حيث تقاس الطاقة E بالجول، وتقاس المسافة x بالمتر.

a) صف التحويلات الهندسية التي تطبق على الدالة الرئيسة (الأم) f(x)=x² للحصول على الدالة E(x).

منحنى E(x) هو توسع رأسي للدالة f(x)

b) إذا كانت الطاقة المختزنة في نابض ما، آخر تعطى بالدالة E(x)=2x² فمثل بيانياً كل من الدالتين على الشاشة نفسها باستعمال الحاسبة البيانية.

منحنى E(x)=4x²، منحنى E(x)=2x²

استعمل منحنى الدالة f(x) في كل مما يأتي لتمثيل الدالتين $g\left(x\right)=\left|f\right(x\left)\right|,h\left(x\right)=f\left(\right|x\left|\right)$ بيانياً.

28) $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$

29) $f\left(x\right)=x^4-x^3-4x^2$

30) $f\left(x\right)=\frac{1}{x-3}+5$

31) $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}-6$

اكتب الدالة الناتجة عن إجراء التحويلات الهندسية المعطاة على الدالة الرئيسية (الأم) في كل من السؤالين الآتيين:

32) $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$: انسحاب 5 وحدات إلى أعلى، و7 وحدات إلى اليسار، وتوسع رأسي معامله 2.

$g\left(x\right)=\frac{2}{x+7}+5$

33) f(x)=[x]: انعكاس في المحور x وانسحاب 4 وحدات إلى أسفل، وتوسع رأسي معامله 3.

$g\left(x\right)=-3\left[x\right]-4$

فيزياء: إذا كانت المسافة التي يقطعها جسم تعطى بالدالة $g\left(t\right)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$، حيث x₀ المسافة الابتدائية، و v₀ السرعة الابتدائية وa تسارع الجسم، صف التحويلات الهندسية التي تمت على الدالة الرئيسية (الأم) f(t)=t² للحصول على g(t) في كل مما يأتي:

34) $x_0=0,v_0=2,a=2$

انسحاب بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار ووحدة واحدة إلى الأسفل.

35) $x_0=10,v_0=0,a=2$

انسحاب بمقدار 10 وحدات إلى الأعلى.

36) $x_0=1,v_0=8,a=4$

توسع رأسي، وانسحاب مقداره وحدتان إلى اليسار وانسحاب مقداره سبع وحدات إلى الأسفل.

37) $x_0=3,v_0=5,a=3$

توسع رأسي وانسحاب مقداره $\frac{5}{3}$ وحدة إلى اليسار وانسحاب مقداره $\frac{7}{6}$ وحدة إلى الأسفل.

38) اكتب معادلة الدالة g(x) إذا علمت أن منحناها ناتج عن عدة تحويلات هندسية لمنحنى الدالة f(x)، وأحد هذه التحويلات هو تضييق رأسي معامله 0.5.

$g\left(x\right)=-0.5(x-5{)}^3-8$

39) تسوق: توقعت إدارة أحد المجمعات التجارية الجديدة أن يعطى عدد المتسوقين بالآلاف بالدالة $f\left(x\right)=\sqrt{7x}$ خلال أول ستين يوماً من الافتتاح، حيث x رقم اليوم بعد الافتتاح، 1=x يرتبط بيوم الافتتاح، اكتب دالة g(x) بدلالة f(x) لكل حالة من الحالات الآتية:

a) زاد عدد الحضور %12 على المتوقع.

$g\left(x\right)=0.12f\left(x\right)$

b) تأخر موعد الافتتاح 30 يوماً بسبب تأخر أعمال البناء.

$g\left(x\right)=f(x-30)$

c) نقص عدد المتسوقين 450 عن المتوقع.

$g\left(x\right)=f\left(x\right)-0.45$

40) اكتب دالة تمثل المنحنى المرسوم:

$f\left(x\right)=\frac{-4}{x+5}+6$

استعمل منحنى f(x) لتمثيل منحنى g(x) لكل مما يأتي:

41) g(x)=0.25f(x)+4

42) g(x)=3f(x)-6

43) g(x)=f(x-5)+3

44) g(x)=-2f(x)+1

استعمل $f\left(x\right)=\frac{8}{\sqrt{x+6}}-4$ لتمثيل كل دالة مما يأتي:

45) g(x)=2f(x)+5

46) g(x)=-3f(x)+6

47) g(x)=f(4x)-5

48) g(x)=f(2x+1)+8

49) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة بعض العمليات على الدوال معتمداً على الدوال الآتية:

• f(x)=x²+2x+7

• g(x)=4x+3

• h(x)=x²+6x+10

a) جدولياً: اختر ثلاث قيم ل a، وأكمل الجدول الآتي:

b) لفظياً: ما العلاقة بين f(x), g(x), h(x)؟

h(a) تساوي جمع g(a) و f(a)

c) جبرياً: أثبت صحة العالقة التي حصلت عليها في الفرع b جبرياً.

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)+g\left(x\right)& =x^2+2x+7+4x+3\\ & =x^2+6x+10=h\left(x\right)\end{array}$