حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد القيمة الدقيقة لكل من النسب المثلثية الآتية:

1) tan θ إذا كان $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }\cdot \cot \theta =2$.

$tan\theta =\frac{1}{cot\theta }=\frac{1}{2}$

2) csc θ إذا كان $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ },\cos \theta =\frac{2}{3}$.

$csc\theta =\frac{1}{sin\theta }=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

3) sin θ إذا كان ${270}^{\circ }<\theta <{360}^{\circ }\circ \cos \theta =\frac{5}{13}$.

$\begin{array}{rl}& si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1\\ & \therefore si{n}^2\theta =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\\ & \therefore sin\theta =\frac{-12}{13}\end{array}$

4) sec θ، إذا كان ${270}^{\circ }<\theta <{360}^{\circ }،\tan \theta =-1$.

$\begin{array}{rl}& se{c}^2\theta =ta{n}^2\theta +1\\ & \therefore se{c}^2\theta =1+1=2\\ & \therefore sec\theta =\sqrt{2}\end{array}$

5) tan θ إذا كان ${180}^{\circ }<\theta <{270}^{\circ }،\sec \theta =-3$.

$tan\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

6) csc θ إذا كان ${180}^{\circ }<\theta <{270}^{\circ }،\cot \theta =\frac{1}{4}$.

$\begin{array}{rl}& co{t}^2\theta +1=cs{c}^2\theta \\ & \therefore \frac{1}{16}+\frac{16}{16}=cs{c}^2\theta \\ & \therefore cs{c}^2\theta =\frac{17}{16}\\ & \therefore csc\theta =\frac{\sqrt{17}}{4}\end{array}$

7) cos θ إذا كان ${90}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$.

$\begin{array}{rl}& si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1\\ & \therefore co{s}^2\theta =1-si{n}^2\theta \\ & \therefore co{s}^2\theta =1-\frac{16}{25}\\ & \therefore cos\theta =\frac{3}{5}\end{array}$

8) cot θ إذا كان $\sin \theta <0,\sec \theta =-\frac{9}{2}$.

$\begin{array}{rl}& sin\theta =\frac{1}{csc\theta }\\ & \therefore =\frac{2}{9}si{n}^2\theta \\ & \therefore co{t}^2\theta =cs{c}^2\theta -1\\ & \therefore cos\theta =-\frac{\sqrt{27}}{9}\end{array}$

بسط كل عبارة مما يأتي:

9) $\tan \theta {\cos }^2\theta$

$tan\theta co{s}^2\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }\times co{s}^2\theta =sin\theta cos\theta$

10) ${\csc }^2\theta -{\cot }^2\theta$

$cs{c}^2\theta -co{t}^2\theta =\frac{1}{si{n}^2\theta }-\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }=\frac{1-co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{si{n}^2\theta }=1$

11) $\frac{\cos \theta \csc \theta }{\tan \theta }$

$\frac{cos\theta csc\theta }{tan\theta }=\frac{cos\theta \times \frac{1}{sin\theta }}{\frac{sin\theta }{cos\theta }}-\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }=co{t}^2\theta$

12) $\sec \theta {\tan }^2\theta +\sec \theta$

$\begin{array}{c}sec\theta ta{n}^2\theta +sec\theta =\frac{1}{cos\theta }\times \frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }+\frac{1}{cos\theta }\\ =\frac{si{n}^2\theta +co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta }=\frac{1}{co{s}^3\theta }=se{c}^3\theta \end{array}$

13) $\sin \theta (1+{\cot }^2\theta )$

$\begin{array}{c}sin\theta (1+co{t}^2\theta )=sin\theta \left(1+\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }\right)\\ =sin\theta \left(\frac{si{n}^2\theta +co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }\right)=sin\theta \left(\frac{1}{si{n}^2\theta }\right)\\ =\frac{1}{sin\theta }=csc\theta \end{array}$

14) $\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )\sec \theta$

$sin(\frac{\pi }{2}-\theta )sec\theta =cos\theta \times \frac{1}{cos\theta }=1$

15) $\frac{\cos (-\theta )}{\sin (-\theta )}$

$\frac{cos(-\theta )}{sin(-\theta )}=\frac{cos\theta }{-sin\theta }=-cot\theta$

16) $(1+\sin \theta )(1-\sin \theta )$

$(1+sin\theta )(1-sin\theta )=1-si{n}^2\theta =co{s}^2\theta$

17) $2-2{\sin }^2\theta$

$2-2si{n}^2\theta =2(1-si{n}^2\theta )=2co{s}^2\theta$

18) $\csc \theta -\cos \theta \cot \theta$

$\begin{array}{c}csc\theta -cos\theta cot\theta =\frac{1}{sin\theta }-cos\theta \left(\frac{cos\theta }{sin\theta }\right)\\ =\frac{1-co{s}^2\theta }{sin\theta }=sin\theta \end{array}$

19) بصريات: عندما يمر الضوء من خلال عدسة مستقطبة للضوء، فإن شدة الضوء المار بهذه العدسة سيقل بمقدار النصف، ثم إذا مر الضوء بعدسة أخرى بحيث يكون محور هذه العدسة يصنع زاوية قياسها θ مع محور العدسة الأولى، فإن شدة الضوء تقل مرة أخرى، يمكننا إيجاد شدة الضوء باستعمال الصيغة $I=I_0-\frac{I_0}{{\csc }^2\theta }$، حيث I₀ شدة الضوء القادمة من العدسة الأولى المستقطبة، I هي شدة الضوء الخارجة من العدسة الثانية، θ الزاوية بين محوري العدستين.

a) بسط الصيغة بدلالة cos θ.

$I=I\cdot {\cos }^2\theta$

b) ستعمل الصيغة المبسطة؛ لمعرفة شدة الضوء المار بالعدسة الثانية بدلالة شدة الضوء قبل المرور بها إذا كان محور العدسة الثانية يصنع زاوية قياسها °30 مع محور العدسة الأولى.

$I=\frac{3}{4}{I}_0$، أي أن شدة الضوء تساوي ثلاث أرباع شدة الضوء قبل مرورها بالعدسة الثانية.

20) الشمس: ترتبط قدرة كل جسم على امتصاص الطاقة بعامل e يسمى قابلية الامتصاص للجسم، ويمكن حساب قابلية الامتصاص باستعمال المعادلة $e=\frac{W\sec \theta }{AS}$، حيث W معدل امتصاص جسم الإنسان للطاقة من الشمس، وS مقدار الطاقة المنبعثة من الشمس بالواط لكل متر مربع، وA المساحة السطحية المعرضة لأشعة الشمس، وθ الزاوية بين أشعة الشمس والخط العمودي على الجسم.

a) حل المعادلة بالنسبة ل w.

$W=\frac{eAS}{\sec \theta }=eAS\cos \theta$

b) أوجد w إذا كانت $e=0.80,\theta ={40}^{\circ },A=0.75$، $S=1000\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. (قرب إلى أقرب جزء من مئة).

$\begin{array}{rl}W=eAS\cos \theta =& 0.8\times 0.75\times 1000\times \cos 40\\ & =459.63w\end{array}$

21) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تستعمل الحاسبة البيانية؛ لتحدد ما إذا كانت معادلة ما تمثل متطابقة مثلثية أم لا. هل تمثل المعادلة: ${\tan }^2\theta -{\sin }^2\theta ={\tan }^2\theta {\sin }^2\theta$ متطابقة؟

a) جدولياً: أكمل الجدول الآتي.

b) بيانياً: استعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من طرفي المعادلة ${\tan }^2\theta -{\sin }^2\theta ={\tan }^2\theta {\sin }^2\theta$ كدالة، بيانياً.

متطابقان:

c) تحليلياً: "إذا كان التمثيلان البيانيان لدالتين متطابقين؛ فإن المعادلة تمثل متطابقة"، هل التمثيلان البيانيان في الفرع (b) متطابقان؟

نعم التمثيلان متطابقان.

d) تحليلياً: استعمل الحاسبة البيانية لمعرفة ما إذا كانت المعادلة: ${\sec }^{2}x-1={\sin }^{2}x{\sec }^{2}x$ تمثل متطابقة أم لا؟ (تأكد أن الحاسبة البيانية بنظام الدرجات).

نعم تمثل متطابقة.

22) التزلج على الجليد: يتزلج شخص كتلته m في اتجاه أسفل هضبة ثلجية بزاوية قياسها θ درجة وبسرعة ثابتة، عند تطبيق قانون نيوتن في مثل هذه الحالة ينتج نظام المعادلات الآتي:

$F_n-mg\cos \theta =0,mg\sin \theta -{\mu }_k{F}_n=0$، حيث g تسارع الجاذبية الأرضية، و F_n القوة العمودية المؤثرة في المتزلج، وµk معامل الاحتكاك، استعمل هذا النظام لتكتب k µ كدالة في θ.

${\mu }_k=\frac{mg\sin \theta }{F_n}=\frac{mg\sin \theta }{mg\cos \theta }=\tan \theta$

بسط كلاً مما يأتي:

23) $\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)-1}{1+\sin (-\theta )}$

$\frac{cot(\frac{\pi }{2}-\theta )-1}{1+sin(-\theta )}=\frac{sin\theta -1}{1-sin\theta }=-1$

24) $\frac{\sec \theta \sin \theta +\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)}{1+\sec \theta }$

$\begin{array}{rl}& \frac{sec\theta sin\theta +cos(\frac{\pi }{2}-\theta )}{1+sec\theta }=\frac{\frac{1}{cos\theta }sin\theta +sin\theta }{1+\frac{1}{cos\theta }}\\ & =\frac{sin\theta +cos\theta sin\theta }{cos\theta +1}=\frac{sin\theta (1+cos\theta )}{cos\theta +1}=sin\theta \end{array}$