حل أسئلة مراجعة الدرس الرابع: المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها

أوجد القيم الدقيقة لكل من: ل $\sin 2\theta ,\cos 2\theta ,\sin \frac{\theta }{2},\cos \frac{\theta }{2}$، إذا علمت أن:

33) $\cos \theta =\frac{4}{5};0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& si{n}^2\theta =1-co{s}^2\theta \\ & si{n}^2\theta =\frac{9}{25}\\ & sin\theta =\frac{12}{13}\\ & sin2\theta =2sin\theta cos\theta \\ & =2(\frac{4}{5}\times \frac{3}{5})\\ & sin2\theta =\frac{24}{25}\\ & cos2\theta =2co{s}^2\theta -1\\ & cos2\theta =2{\left(\frac{16}{25}\right)}^2-1\\ & =\frac{7}{25}\\ & sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}\\ & sin\frac{\theta }{2}=\frac{1}{\sqrt{10}}\\ & cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}\\ & cos\frac{\theta }{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}\end{array}$

34) $\sin \theta =-\frac{1}{4};{180}^{\circ }<\theta <{270}^{\circ }$

$\begin{array}{r}co{s}^2\theta =1-si{n}^2\theta \\ si{n}^2\theta =\frac{9}{25}\\ sin\theta =\frac{\sqrt{15}}{16}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta \\ =2\left(-\frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{15}}{4}\right)\\ sin2\theta =\frac{\sqrt{15}}{2}\\ cos2\theta =2cos{}^2\theta -1\\ cos2\theta =2{\left(\frac{15}{16}\right)}^2-1\\ sin\frac{\theta }{2}=2-\frac{\sqrt{15}}{4}\\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}\\ cos\frac{\theta }{2}=2+\frac{\sqrt{15}}{16}\end{array}$

35) $\cos \theta =-\frac{2}{3};\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$

$\begin{array}{r}si{n}^2\theta =1-co{s}^2\theta \\ si{n}^2\theta =\frac{5}{9}\\ sin\theta =\frac{\sqrt{5}}{3}\\ sin2\theta =2sin\theta cos\theta \\ =2\left(\frac{\sqrt{5}}{3}x-\frac{2}{3}\right)\\ sin2\theta =\frac{-4\sqrt{5}}{9}\\ cos2\theta =2co{s}^2\theta -1\\ cos2\theta =2{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2-1\\ =-\frac{1}{9}\\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta }{2}}\\ sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{5}{6}}\\ cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+cos\theta }{2}}\\ cos\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1}{6}}\end{array}$

36) ملاعب: ملعب على شكل مربع طول ضلعه 90 ft.

a) أوجد طول قطر الملعب.

طول القطر= 127ft

b) اكتب النسبة °45 sin باستعمال أطوال أضلاع الملعب.

$cos45=\frac{90}{127}$

c) استعمل الصيغة $\sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$، لبرهنة صحة النسبة التي كتبتها في الفرع (b).

$\begin{array}{r}sin\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{74}{127}}\\ \frac{\theta }{2}=22.5\end{array}$