حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة فيما يأتي بيانياً:

٨) س^٢ + ٧س + ١٤ = ٠

التمثيل البياني ليس له مقطع سيني لذا فليس للمعادلة جذور حقيقية وبالتالي يكون مجموعة الحل $\varnothing$.

٩) س^٢ + ٢س - ٢٤ = ٠

س = ٤، -٦

١٠) س^٢ = ٢س -١

المقطع السيني للدالة عند س= ١إذن حل معادلة س = ١.

حل كل معادلة فيما يأتي بيانياً، وإذا لم تكن الجذور أعداداً صحيحة، فقدرها إلى أقرب جزء من عشرة:

١١) س^٢ + ٢س - ٩ = ٠

الجذران هما: ٢,٢، ٤,٢

١٢) س^٢ +-٤س = ٢٠

الجذران هما: ٦,٩، -٢,٩

١٣) س^٢ + ٣س = ١٨

س = ٣، -٦,

١٤) أفعوانية: ترتفع أفعوانية براكبيها إلى الأعلى، ثم تنزل بهم إلى الأسفل وفق المعادلة ع = - ١٦ن^٢ + ١٨٥ن، حيث (ع) الارتفاع بالأقدام بعد (ن) ثانية، فكم ثانية تستغرق الأفعوانية للعودة إلى الأسفل؟

-١٦ن^٢ + ١٨٥ن = ٠

١٦ن = ١٨٥ن

ن = $\frac{\mathrm{١٨٥}}{\mathrm{١٦}}$ = ١١,٦

تستغرق ١١,٦ ثانية تقريباً.

استعمل التحليل إلى العوامل لتحديد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني محور السينات في كل دالة مما يأتي، ثم حدد أصفار كل منها:

١٥) ص = س^٢ -٨س + ١٦

س^٢ -٨س + ١٦ = ٠

(س - ٤) (س - ٤) = ٠

س = ٤

عدد المقاطع السينية = ١

١٦) ص = س^٢ +٣س + ٤

قيمة ب - ٤أ جـ سالبة إذن لا يوجد جذور حقيقية لهذه الدالة.

١٧) ص = س^٢ +١٢س + ٣٢

س^٢ +١٢س + ٣٢ = ٠

(س + ٤) (س + ٨) = ٠

س = -٤

س = -٨

عدد المقاطع السينية = ٢

١٨) نظرية الأعداد: استعمل معادلة تربيعية لإيجاد عددين مجموعهما ٩، وناتج ضربهما ٢٠.

س^٢ + ٩س + ٢٠ = ٠

العددين هما: ٥، ٤

١٩) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة كيفية تفسير العلاقة بين الدوال التربيعية وتمثيلاتها البيانية.

أ) بيانياً: مثل الدالة ص = س^٢

ب) تحليلياً: اكتب إحداثيات الرأس وإحداثيات نقطتين على التمثيل.

تحليلاً: (٠، ٠)، (١، ١)، (-١، ١)

جـ) بيانياً: مثل الدوال ص = س^٢ + ٢، ص = س + ٤، ص = س^٢ + ٦ بيانياً على المستوى الإحداثي السابق نفسه.

د) تحليلياً: اكتب إحداثيات الرأس وإحداثيات نقطتين على كل من هذه التمثيلات التي لها الإحداثيات السينية نفسها، ماذا تستنتج؟

ص س^٢ + ٢:

(٠، ٢)، (١، ٣)، (-١، ٥) ص = س^٢ + ٤

(٠، ٤)، (١، ٥)، (-١، ٥) ص = س^٢ + ٦

(٠، ٦)، (١، ٧)، (-١، ٧)

يمكن الحصول على التمثيلات البيانية للدوال

ص = س^٢ +٢، ص = س^٢ +٤، ص = س^٢ +٦

بانسحاب التمثيل البياني للدالة ص = س^٢ إلى الأعلى ٢، ٤، ٦، وحدات الترتيب.

٢٠) اكتشف الخطأ: يقوم معاذ وأحمد بإيجاد عدد الأصفار الحقيقة للدالة الممثلة بالشكل المجاور، فيقول معاذ إنه ليس لهذه الدالة أصفار حقيقية؛ لأنه لا يوجد لتمثيلها البياني مقاطع سينية، بينما يقول أحمد: إن لها صفراً حقيقياً واحداً؛ لأن للتمثيل البياني للدالة مقطعاً صادياً، فأيهما كانت إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

معاذ، أصفار الدالة التربيعية هي المقاطع السينية للتمثيل وبما أن التمثيل لا يقطع محور السينات فلا توجد مقاطع سينية ولا أصفار.

٢١) مسالة مفتوحة: صف مسألة من واقع الحياة يتم فيها قذف جسم في الهواء، واكتب معادلة تمثل ارتفاع الجسم بالنسبة للزمن، وحدد الفترة الزمنية التي يمكثها الجسم في الهواء.

قذفت كرة تنس في الهواء وفق المعادلة ع = -١٦ن^٢ + ٢٥ن + ٢

تبقي الكرة في الهواء ١,٦ ثانية تقريباً

-١٦ن^٢ + ٢٥ن + ٢

ن = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

ن = $\frac{-\mathrm{٢٥} \pm \sqrt{{\left(\mathrm{٢٥}\right)}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} -\mathrm{١٦} \times \mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}\times - \mathrm{١٦}}$

ن = $\frac{-\mathrm{٢٥} \pm \sqrt{\mathrm{٧٥٣}}}{\mathrm{٢} \times - \mathrm{١٦}}$ = ١,٦

٢٢) تحد: اكتب معادلة تربيعية لها الجذور المذكورة في كل مما يأتي:

أ) جذر مكرر مرة واحدة.

س^٢ + ٨س + ١٦ = ٠

ب) جذر نسبي (غير صحيح) واحد، وجذر صحيح واحد.

٢س^٢ - ٢٣س + ٤٥ = ٠

جـ) جذران صحيحان مختلفان ومتعاكسان جميعاً.

س^٢ - ٤ = ٠

٢٣) اكتب: وضح كيف تقرب جذور المعادلة التربيعية عندما لا تكون أعداداً صحيحة.

مثل أولاً الدالة المرتبطة بيانياً ثم حدد العددين الصحيحين المتتاليين اللذين يقطع التمثيل البياني محور السينات بينهما وأنشئ جدولاً بقيم بالأعشار بين هذين العددين الصحيحين ثم عين الموقع الذي تتغير عنده إشارة الدالة فتكون قيمة س التي تكون عندها الدالة أقرب إلى الصفر هي أفضل تقدير لجذر المعادلة.

٢٤) إذا حصل إبراهيم على الدرجة ٥٠ في اختبار درجته العظمى ٨٠ فما النسبة المئوية لدرجته في الاختبار؟

أ) ٦٢,٥ ٪

ب) ٦,٢٥ ٪

جـ) ١,٦ ٪

د) ٠,١٦ ٪

$\frac{\mathrm{٥٠} \times \mathrm{١٠٠}}{\mathrm{٨٠}}$ = ٦٢,٥ ٪

٢٥) تمثل الصيغة ف = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ جـ ن المسافة (ف) بالأمتار التي يقطعها جسم يسقط على كوكب سقوطاً حراً بعد (ن) ثانية، اكتب الصيغة بدلالة المتغير جـ، الذي يمثل تسارع الجاذبية.

أ) جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ جـ ن^٢ - ف

ب) جـ = ٢ف - ن^٢

جـ) جـ = ف - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ جـ ن^٢

د) جـ = $\frac{\mathrm{٢}ف}{{ن}^{\mathrm{٢}}}$