حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة فيما يأتي باستعمال القانون العام مقرباً الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ضرورياً:

١١) ٤س^٢ +٥س - ٦ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٥}\pm \sqrt{{\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{٤} \times -\mathrm{٦}}}{\mathrm{٢}\times \mathrm{٤}}$

س = $\frac{-\mathrm{٥} \pm \sqrt{\mathrm{١٢١}}}{\mathrm{٨}}$

س = $\frac{-\mathrm{٥}+ \mathrm{١١}}{\mathrm{٨}} =\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

س = $\frac{-\mathrm{٥} - \mathrm{١١}}{\mathrm{٨}}$ = -٢

١٢) س^٢ + ١٦ = ٠

س^٢ = -١٦

$\varnothing$

١٣) ٦س^٢ -١٢س +١ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{١٢}\pm \sqrt{{(-\mathrm{١٢})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{٦} \times \mathrm{١}}}{\mathrm{٢}\times \mathrm{٦}}$

س = $\frac{\mathrm{١٢} \pm \sqrt{\mathrm{١٢٠}}}{\mathrm{١٢}}$

س = $\frac{\mathrm{١٢}+\sqrt{\mathrm{١٢٠}}}{\mathrm{١٢}}$ = ١,٩

س = $\frac{\mathrm{١٢}-\sqrt{\mathrm{١٢٠}}}{\mathrm{١٢}}$ = ٠,٠٩

١٤) ٥س^٢ -٨س = ٦

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{٨} \pm \sqrt{{(-\mathrm{٨})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{٥} \times -\mathrm{٦}}}{\mathrm{٢}\times \mathrm{٥}}$

س = $\frac{\mathrm{٨} \pm \sqrt{\mathrm{١٨٤}}}{\mathrm{١٠}}$

س = $\frac{\mathrm{٨} +\sqrt{\mathrm{١٨٤}}}{\mathrm{١٠}}$ = ٢,٢

س = $\frac{\mathrm{٨} -\sqrt{\mathrm{١٨٤}}}{\mathrm{١٠}}$ = - ٠,٦

١٥) ٥س^٢ +٢١س = - ١٨

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٢١}\pm \sqrt{{(-\mathrm{٢١})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{٥} \times \mathrm{١٨}}}{\mathrm{٢}\times \mathrm{٥}}$

س = $\frac{-\mathrm{٢١}\pm \sqrt{\mathrm{٨١}}}{\mathrm{١٠}}$

س = $\frac{-\mathrm{٢١}+ \mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}$= -١,٢

س = $\frac{-\mathrm{٢١} - \mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}$ = -٣

١٦) ٢س^٢ = ١٢س -١٨

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{١٢}\pm \sqrt{{(-\mathrm{١٢})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{٢} \times \mathrm{١٨}}}{\mathrm{٢}\times \mathrm{٤}}$

س = $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٤}}$

س = ٣

حل كل معادلة فيما يأتي، واذكر الطريقة التي استعملتها:

١٧) ٢س^٢ -٨س = ١٢

القانون العام:

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{٨}\pm \sqrt{{(-\mathrm{٨})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{٢} \times -\mathrm{١٢}}}{\mathrm{٢}\times \mathrm{٢}}$

س = $\frac{-\mathrm{٢١}\pm \sqrt{\mathrm{١٦٠}}}{\mathrm{٤}}$

س = $\frac{\mathrm{٨}+ \sqrt{\mathrm{١٦٠}}}{\mathrm{٤}}$= ٥,٢

س = $\frac{\mathrm{٨} - \sqrt{\mathrm{١٦٠}}}{\mathrm{٤}}$ = -١,٢

١٨) ٣س^٢ -٢٤س = -٣٦

التحليل إلى العوامل:

٣س^٢ - ٢٤س + ٣٦ = ٠

س^٢ -٨س + ١٢ = ٠

(س + ٢) (س - ٦) = ٠

س = -٢

س = ٦

١٩) س^٢ -٣س = ١٠

التحليل إلى العوامل:

س^٢ - ٣س - ١٠ = ٠

(س + ٢) (س - ٥) = ٠

س = -٢

س = ٥

أوجد قيمة المميز لكل معادلة فيما يأتي، ثم حدد عدد حلولها الحقيقية:

٢٠) س^٢ -$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$س = ٣

س^٢ -$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$س - ٣ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (-$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$)^٢ -٤ × ١ × -٣

= ١٢,٦٤ حلان حقيقيان

٢١) ٠,٥س^٢ -٢س = -٢

٠,٥س^٢ -٢س + ٢ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (-٢)^٢ -٤ × ٠,٥ × ٢

= ٠ حل واحد حقيقي.

٢٢) ٠,٢س^٢ -١,٥س + ٢,٩ = ٠

٠,٢س^٢ -١,٥س + ٢,٩ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (-١,٥)^٢ -٤ × ٠,٢ × ٢,٩

= -٠,٠٧ لا يوجد حلول حقيقية.

٢٣) مرور: تمثل المعادلة ف = ٠,٠٠٧ع + ٠,١٩ع المسافة (ف) بالأمتار التي تقطعها سيارة تسير بسرعة (ع) كلم/ساعة للتوقف تماماً مع استعمال المكابح، فإذا كانت حدود السرعة القصوى في أحد الشوارع ٨٠ كلم/ساعة، وتوقفت سيارة منذر بعد ٥٥ متراً من استعمال المكابح، فهل كانت سرعته تزيد على السرعة القصوى؟ فسر تبريرك.

ف = ٠,٠٠٧ × (٨٠)^٢ + ٠,١٩ × ٨٠

ف = ٦٠

المسافة للسرعة القصوى = ٦٠ متراً.

والمسافة لـ منذر = ٥٥ متراً.

إذن سرعة منذر لا تزيد عن السرعة القصوى.

٢٤) إعلان: يعد راشد ملصقاً للإعلان عن رحلة عمرة، ويريد أن يغطي جزءاً من المساحة بنصوص كتابية.

أ) اكتب معادلة لمساحة القسم النصي.

(٢٠ - ٢س) (٢٥ - ٧س) = ٣٧٥

ب) حل المعادلة باستعمال القانون العام.

(٢٠ - ٢س) (٢٥ - ٧س) = ٠

٤٠٠ - ١٤٠ س - ٥٠س + ١٤س^٢ = ٠

٥٠٠ - ١٩٠س + ١٤س^٢ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{١٩٠}\pm \sqrt{{\left(\mathrm{١٩٠}\right)}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{١٤} \times \mathrm{٥٠٠}}}{\mathrm{٢٨}}$

س = $\frac{\mathrm{١٩٠}\pm \sqrt{\mathrm{٨١٠٠}}}{\mathrm{٢٨}}$

س = $\frac{\mathrm{١٩٠}+ \mathrm{٩٠}}{\mathrm{٢٨}}$= ١٠

س = $\frac{\mathrm{١٩٠}- \mathrm{٩٠}}{\mathrm{٢٨}}$ = ٣,٥٧

جـ) كم يجب أن تكون هوامش الملصق؟

هوامش الملصق ٧س، ٢س أي ٧٠، ٢٠

حدد دون استعمال التمثيل البياني عدد المقاطع السينية لكل دالة فيما يأتي:

٢٥) ٤,٢٥س + ٣ = -٣س^٢

٣س^٢ + ٤,٢٥س + ٣ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (٤,٢٥)^٢ -٤ × ٣ × ٣

≈ ١٧,٩

قيمة المميز سالبة، إذن لا يوجد مقاطع سينية لهذه المعاملة صفر.

٢٦) س^٢ + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢٥}}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$س

٢٥س^٢ - ١٥س + ٢ = ٠

٢٥س^٢ - ٥س - ١٠س + ٢ = ٠

(٥س - ٢) (٥س + ١) = ٠

س = -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

س = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$

عدد المقاطع السينية = ٢

٢٧) ٠,٢٥س^٢ + س = -١

ضربي طرفي المعادلة × ١٠٠

٢٥س^٢ + ١٠٠س + ١٠٠ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{- \mathrm{١٠٠}\pm \sqrt{{ ( \mathrm{١٠٠} )}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{٢٥} \times \mathrm{١٠٠}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢٥}}$

س = $\frac{- \mathrm{١٠٠}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢٥}}$ = -٢

عدد المقاطع السينية = ١

حل كل معادلة فيما يأتي باستعمال القانون العام مقرباً الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضرورياً:

٢٨) -٢س^٢ -٧س = -١,٥

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{٧}\pm \sqrt{{(-\mathrm{٧})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times -\mathrm{٢} \times \mathrm{٥},\mathrm{١}}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٢}}$

س = $\frac{\mathrm{٧}\pm \sqrt{\mathrm{٦١}}}{-\mathrm{٤}}$

س = $\frac{\mathrm{٧}+\sqrt{\mathrm{٦١}}}{-\mathrm{٤}}$ = ٣,٧

س = $\frac{\mathrm{٧}-\sqrt{\mathrm{٦١}}}{-\mathrm{٤}}$ = -٠,٢

٢٩) ٢,٣س^٢ - ١,٤س = ٦,٨

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

٢,٣س^٢ - ١,٤س - ٦,٨ = ٠

س = $\frac{\mathrm{٤},\mathrm{١}\pm \sqrt{{(-\mathrm{٤},\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{٣},\mathrm{٢} \times -\mathrm{٨},\mathrm{٦}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣},\mathrm{٢}}$

س = $\frac{\mathrm{٤},\mathrm{١}\pm \sqrt{\mathrm{٥٢},\mathrm{٦٤}}}{\mathrm{٦},\mathrm{٤}}$

س = $\frac{\mathrm{٤},\mathrm{١}+\sqrt{\mathrm{٥٢},\mathrm{٦٤}}}{\mathrm{٦},\mathrm{٤}}$ = ٢,٠٥

س = $\frac{\mathrm{٤},\mathrm{١}-\sqrt{\mathrm{٥٢},\mathrm{٦٤}}}{\mathrm{٦},\mathrm{٤}}$ = -١,٤

٣٠) س^٢ -٢س = ٥

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{٢}\pm \sqrt{{\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{١} \times -\mathrm{٥}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$

س = $\frac{\mathrm{٢}\pm \sqrt{\mathrm{٢٤}}}{\mathrm{٢}}$

س = $\frac{\mathrm{٢}+\sqrt{\mathrm{٢٤}}}{\mathrm{٢}}$ = ٣,٤

س = $\frac{\mathrm{٢}-\sqrt{\mathrm{٢٤}}}{\mathrm{٢}}$ = -١,٤

٣١) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف الدوال الأسية في هذه المسألة:

أ) جدولياً: انسخ الجدول الآتي وأكمله:

ب) بيانياً: مثل المعلومات المعطاة في الجدول بيانياً باستعمال النقاط (الزمن، عدد البكتيريا)، وهل التمثيل خطي أم تربيعي أم غير ذلك؟

التمثيل البياني ليس خطياً ولا تربيعياً،

جـ) تحليلياً: ماذا يحدث لعدد البكتيريا كل ساعة؟ اكتب دالة تمثل هذا النمط.

يتضاعف عدد البكتيريا كل ساعة د (س) = ٢^س

٣٢) تحد: أوجد جميع قيم ك التي تجعل للمعادلة: "٢س^٢ -٣س + ٥ك = ٠" حلين حقيقين.

ك < $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤٠}}$

٢س^٢ -٣س + ٥ك = ٠

ب - ٤أ جـ = (-٣)^٢ - ٤ × ٢ × ٥ك

= ٩ - ٤٠ ك

=٩ - ٤٠ ك = ٠، ك = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤٠}}$

ك < $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤٠}}$

تبرير: بين فيما إذا كان عدد الحلول الحقيقية لكل مما يأتي حلان، أو حل واحد، أو لا يوجد حل:

٣٣) التمثيل البياني لدالة تربيعية لا تحتوي على مقطع سيني.

لا يوجد حل.

٣٤) التمثيل البياني لدالة تربيعية تمس محور السينات.

حل واحد.

٣٥) التمثيل البياني لدالة تربيعية تقطع محور السينات مرتين.

حلان.

٣٦) قيمتا كل من أ، ب أكبر من صفر، وقيمة جـ أصغر من صفر في الصيغة القياسية للدالة التربيعية.

حلان.

٣٧) مسألة مفتوحة: اكتب ٣ دوال تربيعية على أن يكون مميز الأولى موجب، ومميز الثانية سالباً، ومميز الثالثة صفراً.

• المميز موجب للدالة = د(س) = س^٢ - ٤
• المميز سالب للدالة = د(س) = س^٢ + ٤
• المميز صفر للدالة = د(س) = س^٢ -٨س + ١٦

٣٨) اكتب: وضح طرق حل المعادلات التربيعية، وأعط مثالاً مختلفاً لكل طريقة، فسر إجابتك.

• التحليل: طريقة سهلة عندما تكون ثلاثية الحدود قابلة للتحليل.
• التمثيل البياني: يعطي فقط جذوراً تقريبية لإيجاد الجذر التربيعي طريقة سهلة عندما تكون المعادلة من الشكل أ س^٢ + ب = ٠
• إكمال المربع: طريقة مضمونة لحل جميع المعادلات التربيعية.
• القانون العام: طريقة مضمونة لحل جميع المعادلات التربيعية.

٣٩) إجابة قصيرة: إذا علمت أن المثلث المجاور متطابق الضلعين، فما قيمة س؟

مجموع زوايا المثلث = ١٨٠°

وبما أن المثلث متطابق الضلعين إذن زوايا القاعدة متساوية.

س = ٦٤° أو س = $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٦٤}}{\mathrm{٢}}$ = ٥٨°

٤٠) ما حلول المعادلة التربيعية ٦هـ^٢ + ٦هـ = ٧٢؟

أ) ٣ أو - ٤

ب) -٣ أو ٤

جـ) لا يوجد حلول حقيقية.

د) ١٢ أو - ٤٨

٦هـ^٢ + ٦هـ - ٧٢ = ٠

هـ^٢ + هـ - ١٢ = ٠

(هـ - ٣) (هـ + ٤) = ٠

هـ = ٣

هـ = - ٤

الاختيار الصحيح: أ) ٣ أو -٤