حل أسئلة تدرب وحل المسائل

٨) رياضة: يمكن استعمال الدالة ع = ط $\sqrt{\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٩}ل}{\mathrm{٧}}}$، لتقريب أقصى سرعة يمكن أن يركض بها شخص، حيث (ع) بالمتر/ثانية، (ل) طول ساق الشخص بالأمتار.

أ) ما أقصى سرعة يركض بها شخص طول ساقه ١,٥ متر إلى أقرب جزء من عشرة من المتر؟

ع = ط $\sqrt{\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٩}ل}{\mathrm{٧}}}$

ع = ط $\sqrt{\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٩} \times \mathrm{٥},\mathrm{١}}{\mathrm{٧}}}$

ع = ط $\sqrt{\mathrm{١},\mathrm{٢}}$

ع = ٤,٥ م/ث

ب) ما طول الساق لشخص سرعته ٢,٧ م/ث إلى أقرب جزء من عشرة من المتر؟

ع = ط $\sqrt{\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٩}ل}{\mathrm{٧}}}$

٢,٧ = ط $\sqrt{\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٩}ل}{\mathrm{٧}}}$

(٢,٧)^٢ = (٣,١٤)^٢ $\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٩} \times ل}{\mathrm{٧}}$

٧,٢٩ = (٣,١٤)^٢ $\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٩} \times ل}{\mathrm{٧}}$

٩,٨٥٩٦ × ٩,٨ × ل = ٧,٢٩ × ٧

٩٦,٦٢ × ل = ٧,٢٩ × ٧

ل = ٠,٥

جـ) هل تزيد السرعة القصوى أم تنقص بزيادة طول الساق؟

تزيد، كلما تزايد طول الساق تزداد قيمة ما تحت الجذر أيضاً.

حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل:

٩) $\sqrt{أ}$+ ١١ = ٢١

$\sqrt{أ}$+ ١١ = ٢١

$\sqrt{أ}$ = ٢١ - ١١

$\sqrt{أ}$ = ١٠

أ = (١٠)^٢

أ = ١٠٠

تحقق:

$\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ + ١١ = ٢١

١٠ + ١١ = ٢١

٢١ = ٢١ C

١٠) $\sqrt{ن - \mathrm{٣}}$= ٦

$\sqrt{ن - \mathrm{٣}}$= ٦

ن - ٣ = ٣٦

ن = ٣٦ + ٣

ن = ٣٩

تحقق:

$\sqrt{\mathrm{٣٩} - \mathrm{٣}}$ = ٦

$\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦ C

١١) $\sqrt{ك + \mathrm{٧}}= \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$

$\sqrt{ك + \mathrm{٧}}= \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$

ك + ٧ = ١٨

ك = ١١

تحقق:

$\sqrt{\mathrm{١١} + \mathrm{٧}}= \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$

$\sqrt{\mathrm{١٨}}= \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$

$\sqrt{\mathrm{٣}\times \mathrm{٢}\times \mathrm{٣}}= \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$

$\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}= \mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}$ C

١٢) ص = $\sqrt{\mathrm{١٢} - ص}$

ص = $\sqrt{\mathrm{١٢} - ص}$

ص^٢ = ١٢ - ص

ص^٢ + ص - ١٢ = ٠

(ص - ٣) (ص + ٤) = ٠

ص = -٤

ص = ٣

تحقق:

ص^٢ + ص - ١٢ = ٠

(-٤)^٢ - ٤ - ١٢ = ٠

١٦ - ٤ - ١٢ = ٠ C

ص^٢ + ص - ١٢ = ٠

(٣)^٢ + ٣ - ١٢ = ٠

١٢ - ١٢ = ٠ C

١٣) $\sqrt{ر + \mathrm{٣}}$ = ر - ٣

$\sqrt{ر + \mathrm{٣}}$ = ر - ٣

ر + ٣ = (ر - ٣)^٢

ر + ٣ = ر^٢ + ٩ - ٦ر

ر^٢ - ر + ٩ - ٣ - ٦ر = ٠

ر^٢ -٧ر + ٦ = ٠

(ر - ٦) (ر - ١) = ٠

ر = ١

ر = ٦

تحقق:

ر^٢ -٧ر + ٦ = ٠

(١)^٢ - ٧ + ٦ = ٠ C

ر^٢ -٧ر + ٦ = ٠

(٦) - ٤٢ + ٦ ٠ = C

١٤) ٥$\sqrt{أ - \mathrm{٣}}$ + ٤ = ١٤

٥$\sqrt{أ - \mathrm{٣}}$ + ٤ = ١٤

٥$\sqrt{أ - \mathrm{٣}}$ = ١٠

٢٥ (أ - ٣) = (١٠)^٢

٢٥أ - ٧٥ = ١٠٠

٢٥أ = ١٧٥

أ = ٧

تحقق:

٥$\sqrt{أ - \mathrm{٣}}$ = ١٠

٥$\sqrt{\mathrm{٤}}$ = ١٠

١٠ = ١٠ C

١٥) $\sqrt{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٩}س + \mathrm{١٥}}$ = س + ٥

$\sqrt{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٩}س + \mathrm{١٥}}$ = س + ٥

س^٢ + ٩س + ١٥ = (س + ٥)^٢

س^٢ + ٩س + ١٥ = س^٢ + ١٠س + ٢٥

٩س + ١٥ - ١٠س - ٢٥ = ٠

-س - ١٠ = ٠

س = -١٠

تحقق:

$\sqrt{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٩}س + \mathrm{١٥}}$ = س + ٥

$\sqrt{\mathrm{١٠} + \mathrm{١٥}}$ = -٥

$\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = -٥

٥ = -٥ لا يوجد حل

١٦) ٦$\sqrt{\frac{\mathrm{٥}ك}{\mathrm{٤}}}$ - ٣ = ٠

٦$\sqrt{\frac{\mathrm{٥}ك}{\mathrm{٤}}}$ - ٣ = ٠

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}\sqrt{\mathrm{٥}ك}$ = ٣

($\sqrt{\mathrm{٥}ك}$)^٢ = ١

ك = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

١٧) $\sqrt{\mathrm{٥}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$ = ٢س

$\sqrt{\mathrm{٥}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$ = ٢س

٥س^٢ - ٩ = ٤س^٢

٥س^٢ - ٤س^٢ - ٩ = ٠

س^٢ - ٩ = ٠

(س - ٣) (س + ٣) = ٠

تحقق:

$\sqrt{\mathrm{٥}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$ = ٢س

$\sqrt{\mathrm{٥} {\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$ = ٢(٣)

$\sqrt{\mathrm{٤٥} - \mathrm{٩}}$ = ٦

$\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦

٦ = ٦ C

$\sqrt{\mathrm{٥}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$ = ٢س

$\sqrt{\mathrm{٥} {(-\mathrm{٣})}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$ = ٢(-٣)

$\sqrt{\mathrm{٤٥} - \mathrm{٩}}$ = -٦

$\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = -٦

٦ = -٦ D

١٨) بندول: يطلق على الزمن (ن) بالثواني الذي يستغرقه بندول ساعة لعمل دورة كاملة الزمن الدوري، ويعبر عنه بالمعادلة: ن = ٢ط $\sqrt{\frac{ل}{\mathrm{٣٢}}}$، حيث (ل) طول البندول بالأقدام،

أ) ما طول بندول ساعة زمنه الدوري ٨ ثوانٍ؟ قرب إلى أقرب قدم.

٨ = ٢ط $\sqrt{\frac{ل}{\mathrm{٣٢}}}$

٦٤ = ٤ط^٢ × $\frac{ل}{\mathrm{٣٢}}$

١٦ = ط × $\frac{ل}{\mathrm{٣٢}}$

٣٢ × ١٦ = ط^٢ × ل

٥١٢ = ط^٢ × ل

ل = ٥١,٩ ≈ ٥٢ قدم تقريباً.

ب) هل زيادة طول البندول تزيد السرعة أم تنقصها؟ فسر إجابتك.

إذا كان الطول أكبر فإن ناتج القسمة سيكون عدداً أكبر من السابق وكذلك جذر ناتج القسمة سيكون أكبر من سابقه أيضاً.

١٩) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في حل المعادلة $\sqrt{\mathrm{٢}س -\mathrm{٧}}$ = س - ٧ طرائق متنوعة للحل.

أ) بيانياً: افتح شاشة جديدة، ثم أدخل الطرف الأيمن من المعادلة على صورة ص_١ = $\sqrt{\mathrm{٢}س -\mathrm{٧}}$, وأدخل الطرف الأيسر على صورة ص = س - ٧، ثم اضغط مفتاح .

ب) بيانياً مثل ما يظهر على الشاشة.

جـ) تحليلياً: استعمل مفتاح المقطع من قائمة ، لإيجاد نقطة التقاطع.

$\sqrt{\mathrm{٢}س - \mathrm{٧}}$ = س - ٧

٢س - ٧ = (س - ٧)^٢

٢س - ٧ = س^٢ + ٤٩ - ١٤س

س^٢ + ٤٩ - ١٤س -٢س + ٧ = ٠

س^٢ - ١٦س + ٥٦ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ ب}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{\mathrm{١٦}\pm \sqrt{{\mathrm{١٦}}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} \times \mathrm{١} \times \mathrm{٥٦}}}{\mathrm{٢}}$

س = $\frac{\mathrm{١٦} \pm \mathrm{٤}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$

س = ١٠,٥

س = ٥,٢

تحليلياً: ١٠,٣٨ تقريباً، الحلان متساويان تقريباً.

٢٠) تغليف: حجم علبة الشوكولاتة أسطوانية ١٦٢ سنتمتراً مكعباً، تستعمل المعادلة نق = $\sqrt{\frac{ح}{ط ع}}$ لإيجاد نصف قطر العلبة، حيث (ح) حجم العلبة، و(ع) ارتفاعها.

أ) إذا كان نصف قطر العلبة ٢,٥ سم، فأوجد ارتفاعها إلى أقرب جزء من مئة.

نق = $\sqrt{\frac{ح}{ط ع}}$

٢,٥ = $\sqrt{\frac{\mathrm{١٦٢}}{ط ع}}$

٦,٢٥ = $\frac{\mathrm{١٦٢}}{ط ع}$

ط ع × ٦,٢٥ = ١٦٢

ع = $\frac{\mathrm{١٦٢}}{ط \mathrm{٢٥},\mathrm{٦}}$

ع = ٨,٣

ب) إذا كان نصف قطر العلبة ١٠ سم، فأوجد ارتفاعها إلى أقرب جزء من مئة.

نق = $\sqrt{\frac{ح}{ط ع}}$

٢,٥ = $\sqrt{\frac{\mathrm{١٦٢}}{\mathrm{١٠} ط}}$

نق = ٢,٣

٢١) تبرير: بين الاختلاف في حل المعادلتين الآتيتين: ٥ = $\sqrt{س } + \mathrm{١}$، ٥ = $\sqrt{س + \mathrm{١}}$.

يتعين عليك في المعادلة الأولى وضع الجذور في طرف أولاً وذلك بطرح ١ من الطرفين ثم بتربيع الطرفين لإيجاد قيمة س، أما في المعادلة الثانية فإن الجذر في طرف وحده لذا ربع الطرفين أولاً ثم أطرح ١ من كل طرف لحل المعادلة وإيجاد قيمة س.

٢٢) مسألة مفتوحة: اكتب معادلة جذرية تحتوي متغيراً في كلا طرفيها، ثم حل المعادلة.

س = $\sqrt{\mathrm{٢}س -\mathrm{١}}$

س^٢ = ٢س -١

س^٢ - ٢س +١ = ٠

(س - ١) (س - ١) = ٠

س = ١

٢٣) تبرير: هل المعادلة الآتية صحيحة أحياناً، أم صحيحة دائماً أم غير صحيحة أبداً؟ فسر إجابتك.

$\sqrt{{(س -\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}$= س - ٢

أحياناً، المعادلة صحيحة لقيم س $\ge$٢،

وخطأ عندما س < ٢

٢٤) تحد: حل المعادلة: $\sqrt{س + \mathrm{٩}}=\sqrt{\mathrm{٣}}+\sqrt{س}$

س + ٩ = ($\sqrt{\mathrm{٣}}+\sqrt{س}$)^٢

س + ٩ = ٣ + س + $\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}س}$

٩ = ٣ + $\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}س}$

٦ = $\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}س}$

٣ = $\sqrt{\mathrm{٣}س}$

^٢٣ = ($\sqrt{\mathrm{٣}س}$)^٢

٩ = ٣س

س = ٣

٢٥) اكتب: بعض القواعد العامة المتعلقة بحل المعادلات الجذرية، موضحاً هذه القواعد من خلال حل معادلات جذرية.

جمع أو طرح العبارات التي ليست تحت الجذر في كل طرف، ضرب أو قسمة القيم س التي ليست تحت الجذر لكل طرف ربع طرفي المعادلة وحل لإيجاد المتغير كما عملت سابقاً.

٢٦) ما حل المعادلة: $\sqrt{س + \mathrm{٣}}$ -١ = س - ٤؟

أ) ١، ٦

ب) ١

جـ) -١، -٦

د) ٦

$\sqrt{س + \mathrm{٣}}$ -١ = س - ٤

$\sqrt{س + \mathrm{٣}}$ = س - ٤ + ١

$\sqrt{س + \mathrm{٣}}$ = س - ٣

س + ٣ = (س - ٣)^٢

س + ٣ = س^٢ - ٦س + ٩

س^٢ - ٧س + ٦ = ٠

(س - ٦) (س - ١) = ٠

س - ٦ = ٠

س = ٦ C

س = ١ D

الاختيار الصحيح: د)

٢٧) أي العبارات الآتية تكافئ $\sqrt{\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٢٧}}}$؟

أ) $\sqrt{\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٣}}}$

ب)$\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$

جـ) $\frac{\sqrt{\mathrm{٦}}}{\mathrm{٣}}$

د) $\frac{\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٢٧}}}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣٦}}}{\sqrt{\mathrm{٢٧}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{٣}\times \mathrm{٣}\times \mathrm{٢}\times \mathrm{٢}}}{\sqrt{\mathrm{٣}\times \mathrm{٣}\times \mathrm{٣}}}$

= $\frac{\mathrm{٣}\times \mathrm{٢}}{\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣}}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣}}}\times \frac{\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣}}}$

= $\frac{\mathrm{١٨}\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢٧}}= \frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$

الاختيار الصحيح: ب) $\frac{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$