حل أسئلة تدرب وحل المسائل

عين العينة والمجتمع في كل من الموقفين الآتيين، ثم صف إحصائي العينة ومعلمة المجتمع:

٧) اختيرت عينة عشوائية طبقية من طلاب المدارس الثانوية في منطقة عسير التعليمية، وسئل أفراد العينة عن الوقت الذي يقضيه كل منهم في الأنشطة المنهجية الإضافية خلال الأسبوع.

• العينة: عينة عشوائية طبقية من طلاب المدارس الثانوية في منطقة عسير التعليمية.
• المجتمع: طلاب المدارس الثانوية في منطقة عسير جميعهم.
• إحصائي العينة: الوقت الذي يقضيه أفراد العينة في الأنشطة المنهجية الإضافية.
• معلمة المجتمع: الوقت الذي يقضيه كل طلبة المدارس الثانوية في منطقة عسير في الأنشطة المنهجية الإضافية.

٨) اختيرت عينة عشوائية طبقية مكونة من ٢٥٠٠ طالب من طلاب المدارس المتوسطة في المملكة، وسئل أفراد العينة عن المبلغ الذي ينفقه كل منهم في الشهر.

• العينة: عينة عشوائية طبقية مكونة من ٢٥٠٠ طالب من طلاب المدارس الثانوية في المملكة.
• المجتمع: طلاب المدارس الثانوية في المملكة جميعهم.
• إحصائي العينة: المبلغ الذي ينفقه كل واحد من أفراد العينة في الشهر.
• معلمة المجتمع: المبلغ الذي ينفقه كل طالب من طلبة المدارس الثانوية في المملكة في الشهر.

أوجد الانحراف المتوسط مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة لكل من مجموعتي البيانات الآتيين:

٩) أقراص مدمجة: طلب مدرس إلى طلاب الصف أن يحددوا عدد الأقراص المدمجة التي يمتلكونها فكانت النتائج كما في الجدول المجاور.

المتوسط الحسابي = [٢٦ + ٠ + ٢ + ٣٩ + ٣ + ٠ + ٥ + ١٥ + ١١ + ٨٢ + ١٩ + ١ + ١٢ + ٤١ + ١٩ + ١٤ + ٦ + ٢٩] ÷ ١٨ = ١٨

$\left|\mathrm{٢٦} - \mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{٠} - \mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{٢} - \mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{٣٩} - \mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{٣} - \mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{٠}- \mathrm{١٨}\right|+$$\left|\mathrm{٥} - \mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{١٥} - \mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{١١}-\mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{٨٢}-\mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{١٩}-\mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{١}-\mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{١٢}-\mathrm{١٨}\right|$$+\left|\mathrm{٤١}-\mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{١٩}-\mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{١٤}-\mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{٦}-\mathrm{١٨}\right|+\left|\mathrm{٢٩}-\mathrm{١٨}\right|$ ÷ ١٨ = ٢٥٨

الانحراف المتوسط = ٢٥٨ ÷ ١٨ = ١٤,٣

١٠) مبيعات: رصد صاحب محل عدد الأكياس التي تباع في كل ساعة من أحد أنواع الحلوى، فكانت: ١٦، ٢٤، ١٥، ١٧، ٢٢، ١٦، ١٨، ٢٤، ١٧، ١٣، ٢٥، ٢١

المتوسط الحسابي = [١٦ + ٢٤ + ١٥ + ١٧ + ٢٢ + ١٦ + ١٨ + ٢٤ + ١٧ + ١٣ + ٢٥ + ٢١] ÷ ١٩

$\left|\mathrm{١٦}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{٢٤}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{١٥}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{١٧}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{٢٢} -\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{١٦}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{١٨}-\mathrm{١٩}\right|$$+\left|\mathrm{١٨}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{٢٤}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{١٧}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{١٣}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{٢٥}-\mathrm{١٩}\right|+\left|\mathrm{٢١}-\mathrm{١٩}\right|$ ÷ ١٢ = ٤٢

الانحراف المتوسط = ٤٢ ÷ ١٩ = ٣,٥

أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري إلى أقرب جزء من عشرة لكل من مجموعتي البيانات الآتيين:

١١) ٣، ٨، ٧، ١٢

• المتوسط الحسابي س = ٧,٥
• التباين ع = ١٠,٣
• الانحراف المعياري ع = ٣,٢

١٢) ٧٦، ٧٨، ٨٣، ٧٤، ٧٥

• المتوسط الحسابي س = ٧٧,٥
• التباين ع = ١٠,٢
• الانحراف المعياري ع = ٣,٢

١٣) مزاد: يرسم نجيب لوحات لمناظر طبيعية ويعرضها للبيع في المزاد، فكان ثمن بيع بعض هذه اللوحات بالريال: ٣٢٥، ٤٥٠، ٥٠٠، ٥٧٥، ٢٢٥، ٨٥٠، ٦٠٠، ٣٥٠، ٤٥٠، ٥٠٠ أوجد الانحراف المعياري لهذه البيانات إلى أقرب جزء من عشرة.

مزاد: الانحراف المعياري = ١٦٤,٠

١٤) كرة السلة: يبين الجدول المجاور أطوال لاعبي فريق كرة السلة في أحد الأندية الرياضية بالسنتمترات.

أ) أوجد المتوسط الحسابي والانحراف المعياري للأطوال.

• كرة السلة: المتوسط الحسابي = ٢٠٠,٦
• الانحراف المعياري = ١٠,٥ تقريباً.

ب) إذا غيرنا اللاعب الذي طوله ١٧٥ سم، بلاعب طوله متر وسبعون سنتمتراً، فأوجد المتوسط الحسابي والانحراف المعياري، وصف أثر هذا التبديل في النتائج السابقة.

• المتوسط الحسابي = ٢٠٠,٣
• الانحراف المعياري = ١١,٤ نقص المتوسط الحسابي وزاد الانحراف المعياري.

١٥) اكتشف الخطأ: تصف كل من سحر ورغد طريقة لزيادة دقة دراسة مسحية، فأيهما كانت إجابتها صحيحة؟ فسر إجابتك.

كلاهما إجابة صحيحة إذ أن الطريقة التي ذكرتها كل من سحر ورغد تؤدي إلى زيادة دقة الدراسة المسحية.

١٦ ) تحد: أوجد المتوسط الحسابي والانحراف المعياري لمجتمع البيانات الممثلة بالمدرج التكراري أدناه.

تحد: المتوسط الحسابي = ٤,٥ والانحراف المعياري = ١٩,٢

١٧) تبرير: حدد إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحياناً أم صحيحة دائماً أم غير صحيحة أبداً، وفسر إجابتك:

"العينتان العشوائيتان المأخوذتان من المجتمع نفسه لهما المتوسط الحسابي والانحراف المعياري نفساهما".

تبرير: غير صحيحة إطلاقاً فإذا كانت العينات عشوائية حقاً فلن تحتوي عادة على العناصر نفسها وكذلك سيكون المتوسط الحسابي والانحراف المعياري للعينة الأولى مختلفين عن نظيريهما للعينة الثانية.

١٨) مسألة مفتوحة: صف موقفاً من واقع الحياة يكون من المفيد فيه استعمال متوسط العينة لتقدير متوسط المجتمع، وصف طريقة اختيار عينة عشوائية من هذا المجتمع.

لإيجاد متوسط دخل الأسرة في المملكة تؤخذ عينة عشوائية طبقية مكونة من ١٠٠٠ أسرة من مختلف مناطق المملكة.

١٩) اكتب: قارن بين الانحراف المعياري والانحراف المتوسط.

هما قيمتان إحصائيتان تبينان درجة انحراف كل قيمة عن المتوسط الحسابي لمجموعة البيانات ويحسب الانحراف المتوسط الحسابي لمجموعة البيانات ولإيجاد الانحراف المعياري تربع كل الفروق ثم تجد الجذر التربيعي لمتوسط هذه المربعات.

٢٠) إجابة قصيرة: زارت مجموعة من الطلاب مبنى التلفزيون، فدخل ٢٠ طالباً منهم إلى قسم الأخبار، فإذا شكل هؤلاء الطلاب ١٦٪ من مجموعة الطلاب، فما عدد أفراد المجموعة؟

$\frac{\mathrm{٢٠}}{س}=\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{١٠٠}}$ بفرض أن س عدد أفراد المجموعة.

إذن س = $\frac{\mathrm{٢٠}\times \mathrm{١٠٠}}{\mathrm{١٦}}$= ١٢٥ طالب.

٢١) أطوال أعلى ٧ أشجار في حديقة هي: ١٩، ٢٤، ١٧، ٢٦، ٢٤، ٢٠، ١٨، قدماً، أوجد الوسيط لهذه الأطوال؟

أ) ١٧

ب) ٢٠

جـ) ٢١

د) ٢٤

١٧، ١٨، ١٩، ٢٠، ٢٤، ٢٤، ٢٦

الوسيط = ٢٠