حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين v, u، ثم تحقق ممَّا إذا كانا متعامدين أم لا.

1) $\mathbf{u}=⟨3,-5⟩,\mathbf{v}=⟨6,2⟩$

8؛ غير متعامدين.

2) $\mathbf{u}=⟨9,-3⟩,\mathbf{v}=⟨1,3⟩$

0؛ متعامدان.

3) $\mathbf{u}=⟨4,-4⟩,\mathbf{v}=⟨7,5⟩$

8؛ غير متعامدين.

4) u=11i+7j,v =-7i+11j

0؛ متعامدان.

5) $\mathbf{u}=⟨-4,6⟩,\mathbf{v}=⟨-5,-2⟩$

8؛ غير متعامدين.

6) زيت زيتون: يمثل المتجه $\mathbf{u}=⟨406,297⟩$ أعداد علبتين مختلفتين من زيت الزيتون في متجر، ويمثّل المتجه $\mathbf{v}=⟨27.5,15⟩$ سعر العلبة من كلا النوعين على الترتيب.

a) أوجد u · v.

15620

b) فسر النتيجة التي حصلت عليها في الفرع a في سياق المسألة.

ثمن العلب جميعها هو 15620 ريالاً.

استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى.

7) $\mathrm{m}=⟨-3,11⟩$

$\sqrt{130}\approx 11.4$

8) $\mathbf{r}=⟨-9,-4⟩$

$\sqrt{97}\approx 9.8$

9) $\mathbf{v}=⟨1,-18⟩$

$5\sqrt{13}\approx 18.0$

10) $t=⟨23,-16⟩$

$\sqrt{785}\approx 28.0$

أوجد قياس الزاوية $\theta$ بين المتجهين u, v في كلّ مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة.

11) $\mathbf{u}=⟨0,-5⟩,\mathbf{v}=⟨1,-4⟩$

14.0°

12) $\mathbf{u}=⟨7,10⟩,\mathbf{v}=⟨4,-4⟩$

100.0°

13) $\mathbf{u}=⟨-2,4⟩,\mathbf{v}=⟨2,-10⟩$

164.7°

14) $\mathrm{u}=-2\mathrm{i}+3\mathrm{j},\mathrm{v}=-4\mathrm{i}-2\mathrm{j}$

82.9°

15) مخيم كشفي: غادر يوسف ويحيى مخيمهما الكشفي للبحث عن حطب، إذا كان المتجه $\mathbf{u}=⟨3,-5⟩$ يمثل الطريق الذي سلكه يوسف، والمتجه $\mathbf{v}=⟨-7,6⟩$ يمثل الطريق الذي سلكه يحيى، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين.

161.6°

16) فيزياء: يدفع طارق برميلاً على أرض مستوية مسافة 1.5 m بقوة مقدارها 534 N؛ بزاوية °25، أوجد مقدار الشغل بالجول الذي يبذله طارق، وقرب الناتج إلى أقرب عدد صحيح.

726J

أوجد متجهاً يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي:

17) $⟨-2,-8⟩$

$⟨-12,3⟩$

18) $⟨3,5⟩$

$⟨10,-6⟩$

19) $⟨7,-4⟩$

$⟨8,14⟩$

20) $⟨-1,6⟩$

$⟨6,1⟩$

21) عجلة دوارة: يعامد المتجه r في العجلة الدوارة في الوضع القياسي متجه السرعة المماسية v عند أيّ نقطة من نقاط الدائرة.

a) إذا كان طول نصف قطر العجلة 20 ft، وسرعتها ثابتة ومقدارها 40 ft/s، فاكتب الصورة الإحداثية للمتجه r في الوضع القياسي، إذا كان يصنع زاوية قياسها °35 مع الأفقي، فاكتب الصورة الإحداثية لمتجه السرعة المماسية في هذه الحالة؟ قرب الناتج إلى أقرب جزء من مئة.

(16.38, 11.47), (22.94, – 32.77)

b) ما الطريقة التي يمكن استعمالها لإثبات تعامد المتجه r، ومتجه السرعة باستعمال الصورتين الإحداثيتين اللتين أوجدتهما في
الفرع a؟ وأثبت أن المتجهين متعامدان.

(20 cos 35˚) (40 cos 35˚) + (20 sin 35˚) (– 40 sin 55˚) = 0

إذا علمت كلاً من v,u·v، فأوجد قيمة ممكنة للمتجه u في كلّ مما يأتي:

22) $\mathbf{v}=⟨3,-6⟩,\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=33$

u = (5, – 3)

23) $\mathrm{v}=⟨4,6⟩,\mathrm{u}\cdot \mathrm{v}=38$

u = (– 1, 7)

24) مدرسة: يسحب طالب حقيبته المدرسية بقوة مقدارها 100 N، إذا بذل الطالب شغلاً مقداره 1747 J، لسحب حقيبته مسافة 31 m، فما قياس الزاوية بين قوة السحب والأفقي (بإهمال قوة الاحتكاك)؟

55.7 تقريباً.

اختبر كل زوج من المتجهات في كلّ مما يأتي، من حيث كونها متعامدة أو متوازية أو غير ذلك.

25) $\mathbf{u}=⟨-\frac{2}{3},\frac{3}{4}⟩,\mathbf{v}=⟨9,8⟩$

متعامدان.

26) $\mathbf{u}=⟨-1,-4⟩,\mathbf{v}=⟨3,6⟩$

غير ذلك.

أوجد قياس الزاوية بين كل متجهين في كلّ مما يأتي، قرب الناتج إلى أقرب عشر.

27) u=i+5j,v=-2i+6j

29.7°

28) u=4i+3j,v=-5i-2j

164.9°

29) النقاط: (1,8) ,(7,4),(3,2) تمثّل رؤوس مثلث، أوجد قياسات زواياه باستعمال المتجهات.

37.8˚, 60.3˚, 81.9˚

إذا علمت كلاً من $\mathrm{u},\left|\mathrm{v}\right|$ والزاوية $\theta$ بين المتجهين u,v، فأوجد قيمة ممكنة للمتجه v، قرب الناتج إلى أقرب جزء من مئة.

30) $\mathbf{u}=⟨4,-2⟩,\left|\mathbf{v}\right|=10,\theta ={45}^{\circ }$

(3.16, – 9.49)

31) $\mathbf{u}=⟨3,4⟩,\left|\mathbf{v}\right|=\sqrt{29},\theta ={121}^{\circ }$

(– 5.36, 0.55)