حل أسئلة تدرب وحل المسائل

اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والموازي للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي:

٩) (٤، -٣)، ص = ٣س - ٥

ميل المستقيم المطلوب = ٣

٣ = $\frac{ص -(-\mathrm{٣})}{س - \mathrm{٤}}$

ص + ٣ = ٣س - ١٢

ص = ٣س - ١٥

١٠) (٠، ٢)، ص = -٥س + ٨

م = -٥

-٥ = $\frac{ص -\mathrm{٢}}{س -\mathrm{٠}}$

ص = -٥س + ٢

١١) (-٢، ٣)، ص = -$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س + ٤

م = -$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

-$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{ص -\mathrm{٣}}{س -(-\mathrm{٢})}$

ص - ٣ = -$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$(س + ٢)

ص = -$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$س + $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

١٢) (٩، ١٢)، ص = ١٣س - ٤

م = ١٣

١٣ = $\frac{ص -\mathrm{١٢}}{س -\mathrm{٩}}$

ص = ١٣س - ١٠٥

١٣) هندسة: يمثل الشكل جـ د هـ وطائرة ورقية، هل قطراها متعامدان؟ وفسر إجابتك.

نعم؛ لأن ميلهما = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ و $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ وحاصل ضربهما - ١

١٤) هندسة شبه منحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان فقط، فهل الشكل أ ب جـ د شبه منحرف؟ فسر إجابتك.

نعم؛ لأن ميل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = ميل $\overline{أ د}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

١٥) حدد ما إذا كان المستقيمان ص = -٦س + ٤، ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$س، متعامدين أم لا، وفسر إجابتك.

نعم؛ متعامدان لأن ميلهما - ٦ و $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

حدد ما إذا كانت التمثيلات البيانية للمستقيمات في كل من السؤالين ١٦، ١٧ متوازية أم متعامدة، وفسر إجابتك:

١٦) ٢س -٨ص = -٢٤، ٤س + ص = -٢، س -٤ص = ٤

٢س - ٨ص = - ٢٤ و٤س + ص = -٢ متعامدان.

٢س -٨ص = - ٢٤ وس - ٤ص = ٤ متوازيان.

١٧) ٣س - ٩ص = ٩، ٣ص = س + ١٢، ٢س - ٦ص = ١٢

جميعها متوازية.

اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والمعامد للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما يأتي:

١٨) (-٣، -٢)، ص = -٢س + ٤

م = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = $\frac{ص -\left(\mathrm{٢}\right)}{س -(-\mathrm{٣})}$

٢ص + ٤ = س + ٣

٢ص = س -١

ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

١٩) (-٥، ٢)، ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س - ٣

م = - ٢

-٢ = $\frac{ص -\mathrm{٢}}{س -(-\mathrm{٥})}$

ص = -٢س - ٨

٢٠) (-٤، ٥)، ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$س + ٦

م = -٣

-٣ = $\frac{ص -\mathrm{٥}}{س -(-\mathrm{٤})}$

ص - ٥ = -٣س - ١٢

ص = -٣س - ٧

٢١) اكتب معادلة المستقيم المعامد للمستقيم ص = -$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س - ٤ والمار بنقطة السيني بصيغة الميل والمقطع.

ص = ٢س + ١٦

حدد ما إذا كان المستقيمان في كل مما يأتي متوازيين أم متعامدين أم غير ذلك:

٢٢) ص = ٤س + ٣، ٤س + ص = ٣

غير ذلك.

٢٣) ص = -٢س، ٢س + ص = ٣

متوازيان.

٢٤) ٣س + ٥ص = ١٠، ٥س - ٣ص = -٦

متعامدان.

٢٥) اكتب معادلة المستقيم الموازي للمستقيم ص = ٧س - ٣ والمار بنقطة الأصل.

م = ٧

٧ = $\frac{ص - \mathrm{٠}}{س - \mathrm{٠}}$

٢٦) علم الآثار: وجد عالم آثار في منطقة ما قطعة فخارية عند النقطة (٢، ٦)، وقطعة معدنية عند النقطة (٤، -١)، فهل يتعامد المستقيم المار بكل من القطعة الفخارية والقطعة المعدنية مع المستقيم المار بالنقطتين (٢، -٧)، (١٤، ١٢)؟ فسر إجابتك.

نعم المستقيمان متعامدان ميل الأول = - $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}$ وميل الثاني = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٧}}$

٢٧) تصميم: أنشأ عبد الله تصميماً باستعمال برنامج حاسوبي، حيث رسم قطعة مستقيمة تمر بالنقطتين (-٢، ١)، (٤، ٣)، ثم قطعة أخرى تمر بالنقطتين (٢، -٧)، (٨، -٣)، فهل تصلح هذه النقاط لتكون رؤوساً لمستطيل؟ فسر إجابتك.

لا، القطعة المستقيمة الواصلة بين (-٢، ١)، (٤، ٣) لا تعامد القطعة المستقيمة الواصلة بين (٤، ٣)، (٨، -٣)

٢٨) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة.

أ) بيانياً: مثل النقاط أ (-٣، ٣)، ب (٣، ٥)، جـ (-٤، ٠) على المستوى الإحداثي.

ب) تحليلياً: حدد إحداثيات النقطة الرابعة د ليتشكل متوازي أضلاع من النقاط الأربع، وفسر إجابتك.

النقطة د (٢، ٢)

أ ب، جـ د لهما نفس الميل = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

أ جـ، ب د لهما الميل نفسه = ٣

٢٩) تحد: إذا وازى المستقيم المار بالنقطتين (-٢، ٤)، (٥، د) المستقيم ص = ٣س + ٤، فما قيمة د؟

المستقيم ص = ٣س + ٤ ميله يساوي ميل المستقيم المار بالنقطتين (-٢، ٤)، (٥، د) يساوي ٣.

٣ = - $\frac{د - \mathrm{٤}}{\mathrm{٥} + \mathrm{٢}}$

١٥ + ٦ = د - ٤

٢١ = د - ٤

٢٥ = د

٣٠) تبرير: هل المستقيم الأفقي يعامد المستقيم الرأسي أحياناً أم دائماً أم لا يعامد أبداً؟ فسر إجابتك.

دائماً المستقيم الأفقي يعامد المستقيم الرأسي؛ لأن تقاطعهما بشكل زوايا قائمة.

٣١) مسألة مفتوحة: مثل بيانياً مستقيماً يوازي المستقيم ص = ٢س - ١، ومستقيماً آخر يعامده.

٣٢) اكتشف الخطأ: يحاول فيصل وأسامة إيجاد معادلة المستقيم العمودي على المستقيم ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$س + ٢ والمار بالنقطة (-٣، ٥)، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

إجابة فيصل هي الصحيحة؛ لأنه حدد ميل المستقيم العمودي بشكل صحيح.

٣٣) اكتب: وضح كيف يمكنك أن تحدد ما إذا كان مستقيمان معطيان متوازيين أم متعامدين.

إذا كان ميل المستقيمان متساوياً فإنهما متوازيان، إذا كان حاصل ضرب ميلهما يساوي - ١ فإنهما متعامدان.

٣٤) أي نقطتين فيما يأتي يمر بهما مستقيم يوازي مستقيماً ميله $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$؟

أ) (٠، ٥)، (-٤، ٢)

ب) (٠، ٢)، (-٤، ١)

جـ) (٠، ٠)، (٠، -٢)

د) (٠، -٢)، (-٤، -٢)

٣٥) إجابة قصيرة: يملأ خالد بركة ماء سعتها ٦٠٠٠ جالون بمعدل ثابت، وبعد ٤ ساعات كان في البركة ٨٠٠ جالون، فما عدد الساعات اللازمة لملء البركة كاملة؟

عدد الساعات = ٦٠٠٠ ÷ ٢٠٠ = ٣٠ ساعة.